1.3 正方形的性质与判定

1.3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

01基础题

知识点1正方形的定义

1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD 的形状是(D)

A．平行四边形B．矩形

C．菱形D．正方形

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是正方形．

知识点2正方形的性质

3．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于(B)

A．30°B．45°C．60°D．75°4．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有(D)

A．1条B．2条

C．3条D．4条

5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(B)

A．四个角都相等B．四边都相等

C．对角线相等D．对角线互相平分

6．(凉山中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的

周长为(C)

A．14 B．15

C．16 D．17

7．(吉林中考)如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连

接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为(C)

A．1 B．2 C．3 D．3 2

8．(来宾中考)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(A)

A．8 B．4 2

C．8 2 D．16

9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是22.5°.

10．(泸州中考)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足

为点G.求证：AE＝BF.

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.

∵AE⊥BF，

∴∠ABG＋∠BAE＝90°.

又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF.

∴△ABE≌△BCF(ASA)．

∴AE＝BF.

02中档题

11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为(C)

A．(3，1) B．(－1，3)

C．(－3，1) D．(－3，－1)

12．(龙岩中考)如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接

BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝(B)

A. 2 B．2 2 C．2 D．1

13．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为(B)

A ．16

B ．17

C ．18

D ．19

14．(济源校级期中)如图，已知正方形ABCD 的边长为16，M 在DC 上，且DM ＝4，N 是AC 上的一动点，则DN ＋MN 的最小值是20．

15．(广安中考)如图，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，连接BP ，DP ，延长BC 到E ，使PB ＝PE.求证：∠PDC ＝∠PEC.

证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCP ＝∠DCP. 在△BCP 和△DCP 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP PC ＝PC ，

， ∴△BCP ≌△DCP(SAS)． ∴∠PDC ＝∠PBC. ∵PB ＝PE ， ∴∠PBC ＝∠PEC. ∴∠PDC ＝∠PEC.

16．(周口校级一模)如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且AG ＝CE ，AE ⊥EF ，AE ＝EF ，求∠FCD 的度数．

解：∵AE ⊥EF ，

∴∠AEF ＝90°.

∴∠AEB ＋∠FEC ＝180°－∠AEF ＝180°－90°＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠B ＝90°，AB ＝BC.

∴∠AEB ＋∠BAE ＝180°－∠B ＝180°－90°＝90°. ∴∠BAE ＝∠FEC.

在△AGE 和△ECF 中，⎩⎨⎧AG ＝EC ，

∠GAE ＝∠CEF ，AE ＝EF ，

∴△AGE ≌△ECF(SAS)． ∴∠AGE ＝∠ECF.

∵AB ＝BC ，AG ＝CE ，

∴BG ＝BE.

∴∠BGE ＝45°.

∴∠AGE ＝180°－∠BGE ＝180°－45°＝135°. ∴∠ECF ＝135°.

∴∠FCD ＝∠ECF －∠ECD ＝135°－90°＝45°.

03 综合题

17．已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别作直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F.

(1)如图1，当P 点在线段AB 上时，PE ＋PF 的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明；

(2)如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求PE －PF 的值． 解：(1)是定值．

∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ，∴PF ∥AC.

同理：PE ∥BD.

∴四边形PFOE 为矩形．∴PE ＝OF. 又∵∠PBF ＝45°，∴PF ＝BF. ∴PE ＋PF ＝OF ＋FB ＝OB ＝

22

a. (2)∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ，∴PF ∥AC.

同理：PE ∥BD.

∴四边形PFOE 为矩形．∴PE ＝OF. 又∵∠PBF ＝∠ABO ＝45°，∴PF ＝BF. ∴PE －PF ＝OF －BF ＝OB ＝

22

a.