用《几何画板》实现三次函数的切线的条数.doc

《几何画板》小妙招
判断三次函数的切线的条数
于非洲
山东临沂第一中学276000
1引言
过平面内任意一点P作一个三次函数图彖的切线，可能有一条，二条或三条.可是，当点P 落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.
2探索
由于一般的三次函数g(x) = ax3+ hx2 + cr+d(a H 0)都是中心对称曲线，其对称中心为(-#，
&(-#))，所以其函数解析式可化为：
3a 3a
(b z戾、/ b、( b、
y = a^+(c--)(x+-) + g(--)
于是通过变换：
b
X — X 9 3a
, (b
y =y-g(-—)9 < 3a
(*)
m = a,
b2
n = c --- •
3ci
就可以把问题转化为研究最简单的三次函数/(对=肌「+处(加工0)的切线问题了.
设点MOo，%)为平血上任一点，过点M作函数/(x) = mx3+ tvc的切线，设切点樂标为(西』),则切线方程为：
°
y-y x =(3mx「+肪(兀_若).
把点M(x o,>J o)的坐标代入上式，并整理得关于西的方程：
2mX] 一3nvc{)x^ + %-'%) = 0 ・
于是，过点M有几条切线，就等价于这个关于西的三次方程有几个不同的零点.
设h{x) = - 3mx o x2 + % 一(加工0),
则由h f(x) = 6nvc2 -6nvc()x = 6nix(x-x()) = 0,得到x = 0,x = x o.
当兀=0时,h(x) = 2mx3 + y Q(m^0)在R上是单调函数,/?(x)只有一个零点，这时过点M只有一条切线.特别的，当点M(0,0)为/(兀)=机丘+心的对称中心时，其切线方程为y = nx.
当兀()工0时，力(x)有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是力(0) = % 一S ‘ K XQ) = y Q -mxj -nx Q. h(x)的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若力(0)与/?(x())同号，即/?(O)-/z(x o) > 0时〃(兀)只有一个零点，这时过点M只有一条切线；
若加0)与加兀°)中有且只有一个为0,即加0)•心)=0时方(兀)有两个零点,这时过点M有两条切线；
若加0)与处G异号,即力(0)•心)<0时,%(兀)有三个零点,这时过点M有三条切线.
3规律及图解：
注意到当/?(0) = y0-tvc(}= 0时,点M恰在过对称中心的切线y =力上；当力(不)=% —m* - n^=Q时，点M恰在函数f\x) = mx34- nx的图像上.如果把函数f(x) = fnx3的图像想象成一条直线的话，那么y = nx与/(x) = mx3 +/xr的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分(如图1)：一个交点(三次函数的对称中心)，四条射线，四个两两对顶的区域.通过以上的研究，我们不仅很容易知道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《儿何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：
当点M为/(x) = twc' + ivc的对称中心(0, 0)时，过点M有且只有一条切线y = A?x (如图2)；
当点M 落在两个对顶区域且满足（％-71¥（））（%）-肌¥（:-啟（））>0时，过点M 有
且只有
一条切线（如图3和图4）；
过点M 有且只有两条切线（如图5和图6）；
当点M 落在两个对顶区域且满足（y Q -ztr 0）（^0 -fnx^-nx^ < 0时，过点M 有且只有
三条切线（如图7和图8）；
4应用
掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以当点落M 在四条射线上（不含对称中心） 即满足（％ - nx 0）（y 0 - inxj 一 农（））=0 时
/| （人山伙0）（丫03%3山伙0）= 0.00
利用这一规律轻松解题呢!
例 1 已知曲线 C ： /(X ) = X 3-X +2,试问：分别过点(1) (0,-54), (2) (2,0),
(3)(罟,2)作曲线C 的切线有儿条？
解：这里 a = l,b = 0,c = —l,d = 2 , ------- = 0,/(— ) = 2, m = 1, /? = c --------- = —1,
3a 3a 3a
所以通过变换(*) BP \ y =y ~2,可以把原函数转化为y = x 3-x,三个点分别转化为 tn = 1,
n = -\.
(0,一56),(2,一2),(罟,0).
(1) (y 0 - nr ())(y 0 - inxj - ) = 3136 > 0,
・•・过点(0,-56)作y =丘一兀的切线只有一条；
(2) (y 0-/zx 0)(y 0 一叫彳一吒)=0,
・•・过点(2,-2)作y = x 3-x 的切线有两条; 16 Q
・•・过点(亓,0)作y = W 一兀的切线有三条 于是原问题获解. 例2 (2008南昌一模)已知/(x) = x 3 -3x, 点A(l,d)(dH-2)可作曲线丿=/(x)的
三条切线，则Q 的取值范围是(
) A.(l,・1) B. (-2, 3) C. (-1, -2) D.(・3, -2)
解：这里的m = },n = -3f x 0 = 1,y 0 = 6?,所以当
[a_(_3)・l][a_F + 3xl]v0
即-3<tz<-2时为所求.答案为D.
例3 (2007全国II 卷)己知函数f(x) = x 3-x.
(1)求曲线y = /(兀)在点M(f, /(/))处的切线方程;
(2)设6/>0，如果过点(a, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，证明：—xbjf(a).
解：(1)求函数/(兀)的导数；广(兀)=3兀2_1・曲线y = f(x)在点f(t))处的
(%—处())(％ _码)3 16 、
— =— ° 111 7
<0,
切线方程为：= ,即y = (3t2-l)x-2t\
(2)过点(Q, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，其充要条件为
(Z? + d)・(b-/(d)) <0 ,
注意到。

> 0, /(ci) = — a > —a、
所以有一a < b < /(d).。