两角和与差的正弦余弦正切公式定理

两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标

1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)

2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)

3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 两角和与差的余弦公式

阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．

【解析】逆用两角和的余弦公式可得

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.

【答案】0

教材整理2 两角和与差的正弦公式

阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．

1．公式

2.重要结论－辅助角公式

y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其

sin θ

中cos θ

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )

(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )

(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )

(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )

解：(1)√.根据公式的推导过程可得．

(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.

(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°

＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．

【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√

教材整理3两角和与差的正切公式

阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )

(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

都成立．( )

(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )

解：(1)√.当α＝0，β＝π

3

时，tan(α＋β)＝tan

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0＋

π

3

＝tan 0＋

tan π

3

，但一般情况下不成立．

(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋

π

2

(k∈

Z)．

(3)√.当α≠kπ＋π

2

(k∈Z)，β≠kπ＋

π

2

(k∈Z)，α＋β≠kπ＋

π

2

(k∈

Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．【答案】(1)√(2)×(3)√

[小组合作型]

灵活应用和、差角公式化简三角函数式

(1)(2016·济宁高一检测)

sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝( )

A．－

3

2

B．－

1

2

C．1

2

D．

3

2

(2)化简求值：

①1＋tan 75°1－tan 75°

； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)； ③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan

40°.

(1)化简求值应注意公式的逆用．

(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．

解：(1)sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°

＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°

＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.

【答案】 C

(2)①原式＝tan 45°＋tan 75°

1－tan 45°tan 75°

＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. ∴原式＝－

3.

②设α＝θ＋15°，

则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.

∴原式＝0.

③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝

3.

∴原式＝ 3.

1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan

α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．

2．化简过程中注意“1”与“tan π

4

”、“

3”与“tan π3”、“1

2

”

与“cos π

3

”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．

[再练一题] 1．化简求值：

(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°

.