函数的基本性质——单调性与最大(小)值

函数的基本性质——单调性与最大(小)值

【教学目标】

1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思

2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间

3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性

【教学重难点】

教学重点：函数的单调性的概念。

教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性

【教学过程】

一、复习引入。

1

分别画函数2x y =和3x y =的图象。2

x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2．

2．引入：从函数2x y =的图象（图

1）看到：

图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当

1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。

这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ，

2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。

这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。

1．增函数与减函数。

定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值

21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是

增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2

x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增

函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。

2．单调性与单调区间。

若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；

（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，

（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或)

(1x f ≥

)(2x f ，”即可；

（4）定义的内涵与外延：

内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；

外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。

②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。

例1：如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数

)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以

及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数。

解：函数)(x f y =的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]，其中)(x f y =在区间[－5，－2），[1，3）上是减函数，在区间[－2，1），[3，5]上是增函数。

说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。

例2：证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数。 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x ＜2x ，则

)(1x f －)(2x f =（31x +2）－（32x +2）=3（1x －2x ），

由1x ＜2x x ，得1x －2x ＜0，于是)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f 。 ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数。 例3：证明函数x

x f 1

)(=

在（0，+∞）上是减函数。 证明：设1x ，2x 是（0，+∞）上的任意两个实数，且1x ＜2x ， 则)(1x f －)(2x f =

11x －21x =2

112x x x x -， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得1x 2x >0，

又由1x ＜2x ，得2x －1x >0，于是)(1x f －)(2x f >0，即)(1x f >)(2x f ∴x

x f 1

)(=

在（0，+∞）上是减函数。 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在（－2，2）内的单调性。

解：∵

222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴

a x =

∴若2-≤a ，则322+-=ax x f(x)在（－2，2）内是增函数；

若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在（－2，a ）内是减函数，在[a ，2]内是增函数

若2≥a ，则322+-=ax x f(x)在（－2，2）内是减函数。

四、练习。