圆与组合图形

第四讲圆与组合图形（二）

一、训练目标

知识传递：运用整体代换法、旋转、平移、等积变形、及等腰三角形的特殊性来解题。

能力强化：分析能力、综合能力、观察能力、操作能力。

思想方法：转化思想、比较思想、恒等思想。

二、知识与方法归纳

数量代换法。有些图形，数量关系比较隐蔽，可以利用题中数量间的关系，相互代换，求出其中一个数量，把未知条件转化成已知条件。

旋转平移变形法。面积的大小具有恒定性，有时图形的位置或方向不利于解题，可以把某一部分能力旋转平移来使条件之间有关联，从而为解题创造条件。

等积变形法。在三角形中，如果两个三角形（或平行四边形）等底等高，则这两个三角形（或平行四边形）面积相等。除去这两个图形的公共部分，则它们剩余部分面积相等。我们经常要用到这种思想方法。

等腰直角三角形的特殊性。在等腰直角三角形中，两直角边相等。斜边上的高等于斜边的一半。斜边上的高恰好是等腰直角三角形的对称轴。

三、经典例题

类型5 利用R2代换

例1已知正方形ABCD的对角线AC长为10厘米，求阴影部分的面积。

例2如图，已知下图中阴影部分面积为200平方厘米，求两圆之间的环形面积。

类型

6 利用等积变形求面积

例3如图，已知大正方形边长为10分米，求阴影部分的面积。

A B

C

D

E

F

G

H

类型7 利用等腰直角三角形的特殊性求面积

例4如图，已知等腰直角三角形ABC的面积为12平方厘米，求阴影部分的面积。

A B

C

类型8 利用平移与旋转来求面积

例5如图是个对称图形，求阴影部分的面积。

四、内化练习

1、圆内有一最大的正方形，已知圆的面积是50.24

平方厘米，请计算四个弓形的面积之和。

2、如图，已知三角形ABC为等腰直角三角形，BC

为圆的直径且BC=12厘米，求阴影部分的面积。

A

B

C

3、已知正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面

积。

4、已知直角三角形ABC，其中AC=20厘米。求阴

影部分的面积是多少。

5、如图，已知阴影部分的面积为30平方厘米，求

圆环的面积。

A

B

C

D

6、如图，求阴影部分的面积。

7、如图中，正方形面积为50，求阴影部分的面积。

8、如图，已知AB为小圆的直径，AB垂直CO，∠

ACB=90°，三角形ABC的面积为29平方分米，求阴影部分的面积。

9、如图，已知平行四边形面积为40平方厘米，求

阴影部分的面积。

10、在羊圈外面的一角用长30米的绳子拴着一只羊

（见下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

（π取3.14）

羊

五、家庭交流内容

类型5 利用R2代换

例6已知正方形ABCD的对角线AC长为10厘米，求阴影部分的面积。

解答提示：作四个同样的ADC扇形，则可以拼成一个完整的圆，中间有一个正方形。正方形的面积容易求出来，正方形面积除以4容易得到一个三角形的面积。又因为三角形面积也可以等于半径乘以半径再除以2，由此容易求出半径的平方。继而容易求出扇形的面积。再就容易求出阴影面积。

专家点评：利用R2来替换是一种重要的思想方法，大

家要熟练掌握。

例7如图，已知下图中阴影部分面积为200平方厘米，求两圆之间的环形面积。

解答提示：作如图的辅助线，则辅助线将阴影部分分成了4个部分，则每个部分阴影面积为50平方厘米，每个阴影部分面积恰好等于R2-r2。由此问题可解。

专家点评：利用整体来替换是一种重要的思想方法，大家要熟练掌握。

类型6 利用等积变形求面积

例8如图，已知大正方形边长为10分米，求阴影部分的面积。

A B

C

D

E

F

G

H

解答提示：连结DB，则三角形DBG与三角形DBE等底等高，所以面积相等，所以三角形DHG面积等于BEH。所以求阴影面积等于求扇形BEG的面积。

专家点评：在求不规则图形面积时，经常要用到等积变形。

类型7 利用等腰直角三角形的特殊性求面积

例9如图，已知等腰直角三角形ABC的面积为12平方厘米，求阴影部分的面积。

A B

C

解答提示：连结OC，设圆的半径为r厘米，则有 2r ×r÷2=12

所以可以得 r2=12，由此容易求出半圆面积，进而容易求出阴影部分面积。

专家点评：同一个三角形，它的面积有三种不同的表达方式（因为它有三条底和三条对应的高），这种思想在数学中要经常用到。

类型8 利用平移与旋转来求面积

例10如图是个对称图形，求阴影部分的面积。

解答提示：将右半边图形以中心点顺时针旋转180度，则刚好可以拼成一个半圆。阴影部分刚好是半圆减去一个等腰直角三角形。

专家点评：在图形中，旋转与平移是常用的思想方法。

O

六、学习反思