二阶电路分析

① ②
iL
+ L +
uL
－
1 LC
uc
－
C
d 2 u c (t ) 1 u c (t ) 0 2 LC dt
uc (t ) K1e K 2 e
s1t
s 2t
K1e
j
t
K2e
j
1 LC
t
将②代入①得
将初始值
uc (0) U 0
(0 ) uc i L (0 ) 0 代入有 C
如图电路，已知uC(0-)=U0，iL(0-)=0，求t>0后uC(t)和iL(t)。 一、定性分析
1、 t 0 uc (0) U 0 2、 t 3、 t
iL
i L (0) 0
L
+
+
0
u c (t )
iL (t )
iL (t1 ) I 0 iL max
uL
－
uc
电路的电压和电流仍是非振荡的 但此状态下电路响应临近振荡，因此称为“临界阻尼” 状态。
思考 回答
s1t s 2t j 1 t LC
K 2e
1 LC t
j
1 t LC
1 K1 K 2 U 0 2
所以
j 1 uc (t ) U 0 (e 2 结论：
1 LC
t
e
j
) U 0 cos
1 LC
t
t0
无耗的LC电路，在初始储能作用下产生等幅振荡。 振荡角频率（谐振频率）
0
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电路分析基础
本章要求
一、要求
1、掌握LC电路正弦振荡的基本概念；掌握RLC串联电 路及GLC并联电路的零输入响应特性；深刻理解过阻尼、 临界阻尼、欠阻尼（包括无阻尼）过程。 2、熟练掌握衰减系数、震荡角频率、谐振角频率等 概念及计算。会根据特征根求解RLC串联电路及GLC并 联电路的零输入响应。 3、了解一般二阶电路的分析方法。
二、作业
9.6，9.7
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电路分析基础
二阶电路： 含有两个动态元件。 特点： 1、响应不一定是指数变化； 2、零输入响应有三种情况： 欠阻尼（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ减震荡过程）、临界阻尼、过阻尼 特别地：无阻尼（等幅震荡过程）
产生振荡（振荡 是一重要特性）
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电路分析基础
8.1 LC电路中的正弦振荡
——电能、磁能相互转换
1 LC
振荡幅度与储能有关。
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电路分析基础
8.2
RLC串联电路的零输入响应
图示电路，已知 uC(0-)=U0 ， iL(0-)=0 ， t=0 时开关闭合， 求t>0 后uC(t) 和iL(t)。 （t=0）
解： u
L
u R uc 0
R
C
di L Ri u c 0 dt d 2uC du C LC RC uC 0 2 dt dt 特征方程：LCS2+RCS+1=0
－
C
t1 uc (t1 ) 0
4、 t
5、
t1 iL (t )
uc (t )负
t t 2 iL (t 2 ) 0 uc (t 2 ) U 0
电能磁能相互转换 ----电磁振荡。
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……
电路分析基础 定量分析
du c (t ) i ( t ) i ( t ) C L c 由t>0图有： dt di (t ) u c (t ) u L (t ) L L dt 将①代入②得 故
s1t
s2t
0
tm
2tm
t uL
指数衰减，非振荡过程。（过阻尼）
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R 1 在“欠阻尼”状态下， ， S 0 0 2 L 电容电压和电路中的充、 LC L 放电电流均为减幅振荡。 2、若： 0，（即R 2 ） C 显然，这种情况下电场 特征根为一对实部为负值的共扼复根。 和磁场交替建立和释
S
＋ uR－ ＋ uC－
iL L uL
－
＋
二阶线性齐次微分方程
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电路分析基础
LCS2+RCS+1=0
特征根
S R 1 R 2 2 0 2L 2 L LC
2
其中：
R ， 0 2L
1 LC
L ） U0 C
1、若： 0，（即R 2
—衰减系数
tm
ic 2tm
t
esp R 0 即 0
等幅振荡（无阻尼）
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电路分析基础
S 0
2 2
R ， 2L
C
0
1 LC
3、若
0（R 2 L ）
s1, 2
特征根为相等的负实根。 临界过程（临界阻尼）
uc (t ) K1e s1t K 2te s1t
电路分析基础
第8章 二阶电路分析
8.1 LC电路中的 正弦振荡
8.2 RLC串 联电路的 零输入响应
8.3 GLC并联 电路的零 输入响应
8.4 一般二 阶电路的 分析
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电路分析基础
【内容提要】
本章首先从物理概念上阐明LC电路的零输入 响应具有简谐振荡的形式，然后重点讨论RLC 串联电路的零输入响应，最后对二阶电路在恒 定激励下响应的求解做简单分析。 学习本章时，应着重掌握微分方程的编写及 求解二阶微分方程的步骤和方法；学会分析解 答结果的物理含义；深刻理解固有频率（特征 根）、过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等重要概念 的意义。
j K2 LC
d 2 i L (t ) 1 i L (t ) 0 2 LC dt 1 2 0 特征方程 s LC
特征根
U 0 K1 K 2
0 j K1 LC
s1, 2 j
1
LC
解得
1 K1 K 2 U 0 2
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电路分析基础
uc (t ) K1e K2e K1e
2
2 2 令 d 0
电路分析基础 2
s1,2 jd
uc (t ) K1e s1t K 2 e s2t Ke
t
U0 uc
放，能量随着在电阻上 的消耗越来越少直至消 耗完毕。
cos( d t )
指数衰减的振荡过程。（欠阻尼） d―振荡角频率， 0 0―谐振角频率。
uc ic
“过阻尼”状态下，电容电 压单调衰减最终趋于零，始 终 为放电状态，放电电流由零 增大；对应tm时刻达到最大， 之后衰减到零。显然这种情 况下uC和iL是非振荡的，没 有正、负交替状况。电路中 的原始能量全部消耗在电阻 上。
特征根为不相等的负实根。则
uc (t ) K1e K 2 e