10.4 安培环路定理
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解：视为无限多平行长 直电流的场。 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
dB
dB '
dB' '
dl '
p
o
dl ' '
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
N 2 R1
B μ0nI
当 2 R d （管截面直径）时，螺绕环内可视为均 匀场 。
例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
r
O
I
R
dS1
dB
dB2
dB1
l
P
dS 2
wk.baidu.com
电流及其产生的磁场具有轴对称分布. 方向?
L内
I1 I1
L
1 2
I2 I 3
I1
B d l ( I I I I )
0 1 1
（ 0 I1 I 2）
思考：
1） B 是否与回路 L 外电流有关？
2）若
此时是否回路 L 内必无电流穿过？
L
B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0？
(1)环路要经过所要考察的场点。
(3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 I 0 一致，目的是将: L B dl 0 I 写成 B dl 或 B 的方向在环路上某些部位与环路方向垂直， B dl , cos 0， B dl 0， B dl 0 I
B 沿闭合回路的环流为：
I
a
d
a
b
B
Bdl
l
c
b
a
B d l B d l B d l B d l Bab
b c d
c
d
Bab
得：长直载流螺线管内的磁场：
l
B d l 0nabI
B 0nI
作一安培回路如图，
d
B
c
L
B dl B 2l 0 jl
B
0 j
a
2 方向如图所示。
B
b
l
结论 在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱
半径为R1，外导体圆筒内外
半径分别为R2、 R3，电缆载 有电流I，求磁场的分布。
课堂练习
l l
根据安培环路定理： 线圈内：
Amperian loop
［方向（与电流关系）？] B0 线圈外： B dl 0
l
0 NI B (不均匀) 2πr
l
B dl 0 NI
B
0 NI B 2 r
o
R1
R2
o r
R2
R1
r
若 R1、R2 R2 R1
n
则:
3. 明确几点 (1) 电流有正负规定（电流方向与环路方向满 足右手螺旋关系时电流为正）。
(2) B 是指环路上场点的磁感应强度，但它是 环内外所有电流共同产生的总场强。 (3) B 沿闭合环路的路径积分值（环流），跟 电流从何处穿过该环路所围成的曲面以及 环路之外的电流无关。 (4) 环路定理仅适用于闭合稳恒电流的磁场。
静电场： E静 dl 0
L
保守场／无旋场
稳恒磁场：
L
B dl ?
§10.4 安培环路定理
(Ampé re’s Circulation Theorem) 1. 定理表述 对真空中的稳恒磁场，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的线积分，等于 μ0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和。 数学表达式：
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )
B0 r R3
R3 I I
R1
R2
r
有磁介质时的 高斯定理和安培环路定理
高斯定理:
B dS 0
S
L
B 0
安培环路定理(稳恒电流情形):
H dl I i
L内
H J
对线性各向同性 磁介质:
H B
H
B
0
M
V内
M lim
磁矩m
V
i
V 0
0 r
作积分回路如图，
r>R时
则 B 沿该闭合回路的环流为：
I
R
L
B dl
L
Bdl 2 rB
r
B
根据安培环路定理：
L B dl 0 I
得：
μ 0I B 2 πr
如图示，对 r R 处
作积分回路如图，
I
R
则 B 沿该闭合回路的环流为：
L B dl L Bdl 2rB
垂直部分 平行部分
(2)环路的长度便于计算；
4. 安培环路定理的应用举例 例题 长直密绕螺线管，单位长度上电流匝 数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁感线平行于 轴线，且在同一条磁感线上各点的 B 大小相 等， 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
选择安培环路如图：
B0
内
外 内 外
E0
E 2 0 r
E r 2 2 0 R
0 I B 2r 0 I B r 2 2 R
0 I B 2r
E 2 0 r
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀，大小为 j 。
L
B dl 0 I i
L内
安培环路定理
L
B dl 0 I i 0
L内
(积分形式)
S以L为边
J dS
I
L
注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 环路方向 成右螺旋时，I 为正；反之为负。
附：[真空中]安培环路定理的微分形式
B 0 J
2. 物理含义： 磁场是有旋场 (非保守场)
［一段不闭合的载流导线产生的磁场，以 及电流随时间变化时，不适用］
(5) 安培环路定理反映磁场的性质—— 磁场是非保守场，是有涡旋的场。
安培环路定理的例证： 考虑闭合回路在与导线垂直的平面内。
载流长直导线的B μ0 I 磁感应强度为： 2πr
I
o
B
r
L
B dl
2πr 0 I dl 2πr L
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
例题 一载流螺绕环，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
o r
R2
R1
解 1） 对称性分析：电流分布 有轴对称性，故 B 分布亦然。 2）选回路：取同心圆安培环路。
o r
R2
R1
B d l Bdl 2 π rB
L
0 I
dl
dl
L
L
B dl 0 I
取闭合回路 L 为圆形回 路（ L与 I 成右螺旋）
I
o
R
B
若取回路绕向为逆时针时，
dl
L
则：
L 与 I 成左螺旋
0 I dl L B d l 2 π r L 0 ( I )
讨论： 安培环路定理
L
L
B dl 0 I i
根据安培环路定理：
I
r
0 I 2 R
o
B
I 2 0 r 2 R 0 I r 得： B 2 2 R
' L B dl 0 I
r
R
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面 长 直 圆 柱 体
E 2 0 r
电流均匀分布
0 I B 2r
闭合回路包围电流的判断： 方法：以闭合回路为边界任意做一曲面， 电流穿过曲面就算被环线包围。 s
2
L
s1
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度，要求磁场具 有一定的特点（即有特定的对称性） 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关键：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。 选取安培环路的原则：
dB
dB '
dB' '
dl '
p
o
dl ' '
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
N 2 R1
B μ0nI
当 2 R d （管截面直径）时，螺绕环内可视为均 匀场 。
例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
r
O
I
R
dS1
dB
dB2
dB1
l
P
dS 2
wk.baidu.com
电流及其产生的磁场具有轴对称分布. 方向?
L内
I1 I1
L
1 2
I2 I 3
I1
B d l ( I I I I )
0 1 1
（ 0 I1 I 2）
思考：
1） B 是否与回路 L 外电流有关？
2）若
此时是否回路 L 内必无电流穿过？
L
B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0？
(1)环路要经过所要考察的场点。
(3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 I 0 一致，目的是将: L B dl 0 I 写成 B dl 或 B 的方向在环路上某些部位与环路方向垂直， B dl , cos 0， B dl 0， B dl 0 I
B 沿闭合回路的环流为：
I
a
d
a
b
B
Bdl
l
c
b
a
B d l B d l B d l B d l Bab
b c d
c
d
Bab
得：长直载流螺线管内的磁场：
l
B d l 0nabI
B 0nI
作一安培回路如图，
d
B
c
L
B dl B 2l 0 jl
B
0 j
a
2 方向如图所示。
B
b
l
结论 在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱
半径为R1，外导体圆筒内外
半径分别为R2、 R3，电缆载 有电流I，求磁场的分布。
课堂练习
l l
根据安培环路定理： 线圈内：
Amperian loop
［方向（与电流关系）？] B0 线圈外： B dl 0
l
0 NI B (不均匀) 2πr
l
B dl 0 NI
B
0 NI B 2 r
o
R1
R2
o r
R2
R1
r
若 R1、R2 R2 R1
n
则:
3. 明确几点 (1) 电流有正负规定（电流方向与环路方向满 足右手螺旋关系时电流为正）。
(2) B 是指环路上场点的磁感应强度，但它是 环内外所有电流共同产生的总场强。 (3) B 沿闭合环路的路径积分值（环流），跟 电流从何处穿过该环路所围成的曲面以及 环路之外的电流无关。 (4) 环路定理仅适用于闭合稳恒电流的磁场。
静电场： E静 dl 0
L
保守场／无旋场
稳恒磁场：
L
B dl ?
§10.4 安培环路定理
(Ampé re’s Circulation Theorem) 1. 定理表述 对真空中的稳恒磁场，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的线积分，等于 μ0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和。 数学表达式：
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )
B0 r R3
R3 I I
R1
R2
r
有磁介质时的 高斯定理和安培环路定理
高斯定理:
B dS 0
S
L
B 0
安培环路定理(稳恒电流情形):
H dl I i
L内
H J
对线性各向同性 磁介质:
H B
H
B
0
M
V内
M lim
磁矩m
V
i
V 0
0 r
作积分回路如图，
r>R时
则 B 沿该闭合回路的环流为：
I
R
L
B dl
L
Bdl 2 rB
r
B
根据安培环路定理：
L B dl 0 I
得：
μ 0I B 2 πr
如图示，对 r R 处
作积分回路如图，
I
R
则 B 沿该闭合回路的环流为：
L B dl L Bdl 2rB
垂直部分 平行部分
(2)环路的长度便于计算；
4. 安培环路定理的应用举例 例题 长直密绕螺线管，单位长度上电流匝 数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁感线平行于 轴线，且在同一条磁感线上各点的 B 大小相 等， 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
选择安培环路如图：
B0
内
外 内 外
E0
E 2 0 r
E r 2 2 0 R
0 I B 2r 0 I B r 2 2 R
0 I B 2r
E 2 0 r
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀，大小为 j 。
L
B dl 0 I i
L内
安培环路定理
L
B dl 0 I i 0
L内
(积分形式)
S以L为边
J dS
I
L
注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 环路方向 成右螺旋时，I 为正；反之为负。
附：[真空中]安培环路定理的微分形式
B 0 J
2. 物理含义： 磁场是有旋场 (非保守场)
［一段不闭合的载流导线产生的磁场，以 及电流随时间变化时，不适用］
(5) 安培环路定理反映磁场的性质—— 磁场是非保守场，是有涡旋的场。
安培环路定理的例证： 考虑闭合回路在与导线垂直的平面内。
载流长直导线的B μ0 I 磁感应强度为： 2πr
I
o
B
r
L
B dl
2πr 0 I dl 2πr L
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
例题 一载流螺绕环，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
o r
R2
R1
解 1） 对称性分析：电流分布 有轴对称性，故 B 分布亦然。 2）选回路：取同心圆安培环路。
o r
R2
R1
B d l Bdl 2 π rB
L
0 I
dl
dl
L
L
B dl 0 I
取闭合回路 L 为圆形回 路（ L与 I 成右螺旋）
I
o
R
B
若取回路绕向为逆时针时，
dl
L
则：
L 与 I 成左螺旋
0 I dl L B d l 2 π r L 0 ( I )
讨论： 安培环路定理
L
L
B dl 0 I i
根据安培环路定理：
I
r
0 I 2 R
o
B
I 2 0 r 2 R 0 I r 得： B 2 2 R
' L B dl 0 I
r
R
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面 长 直 圆 柱 体
E 2 0 r
电流均匀分布
0 I B 2r
闭合回路包围电流的判断： 方法：以闭合回路为边界任意做一曲面， 电流穿过曲面就算被环线包围。 s
2
L
s1
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度，要求磁场具 有一定的特点（即有特定的对称性） 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关键：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。 选取安培环路的原则：