第八章 随机事件及其概率(1)汇总
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事件B: 出现奇数点. 事件B就是Ω的一个子集。
B = {1,3,5}
“掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.
15
三、 事件的关系与运算
1、包含关系：“ A发生必导致B发生”，记为A B。
AB
A B
相等: A＝B A B 且 B A.
16
2、事件的和(并):“事件A与B至少有一个发生”
其结果可能为: 正品 、次品.
7
实例5 “出生的婴儿可 能是男,也可能是女”.
实例6 “明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨”等都为随机现象.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
8
３、随机试验
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
9
在概率论中,把对随机现象的一次观察或实验， 称为一次随机试验. 它具有以下三个特征：
集合的划分
B3 B1
B6
B4
B7
B2
B5
B8
21
6、对立事件(逆事件)：
对 事 件 A,B， 若 满 足 A B ， A B Φ ，
则称事件 A 与 B 互为对立事件或逆事件.
A 的逆事件记为 A ,即 A A 。
实 际 上 ， A 表 示 “ 事 件 A 不 发 生 ”。
显然有 A B AB .
注意: 对立事件必互斥；
A
但互斥的事件未必为对立
事件。
A
22
事件运算的规律
事件间的关系与运算与集合的关系与运算是完 全相似的，运算规律也是完全相似的。但要注意， 应该用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且 会用这些运算关系来表示一些复杂的事件。
交换律 A B B A , AB BA 结合律 ( A B) C A (B C) , ( AB)C A(BC)
记作 A B 或 A B ，
A
B
n
推 广 : A1 A2 An Ak 表 示 事 件
k 1
“ A1 , A2 ,, An 至 少 发 生 一 个 ” .
17
Biblioteka Baidu
3、事件的积(交)：“事件A与B同时发生”
记作 A B 或AB
A
B
n
推 广 : Ak A1 A2 An ,
k 1
或记为 A1 A2 An ,
称为随机现象.
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反
两面出现的情况”.
H
T
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “抛掷一枚骰子,观
察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 6
实例3 “从一批含有正 品和次品的产品中任意抽 取一个产品”.
实例4 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
1
概率论是数学的一个分支,它研究随机现象 的数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的 科学领域, 例如天气预报, 地震预报； 产品的抽样 调查；保险费率计算；药物疗效评价; 在通讯工 程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.
2
第八章
3
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
11
４、样本空间
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便
的工具 . 我们把随机试验的每个基本结果称为基本事
件或样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为 样本空间. 样本空间 表示.
如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空 间由如下四个样本点组成：
S ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
表 示 事 件 “ A1, A2 ,, An 同 时 发 生 ” .
18
4、事件的差：A－B称为A与B的差事件,表示 事件A发生而B不发生。
A B
A
B
A B
A B
思考：何时A-B=Ø ? 何时A-B=A？
19
5、不相容事件：
如果事 件 A 与 B 不可能同时 发生，即 AB ， 则称事件 A 与 B 互不相容(或互斥).
4
第一节 随机现象与随机事件
一、随机试验和样本空间
自然界所观察到的现象： 确定性现象、 随机现象
1、确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”,
确定性现象的特征
条件完全决定结果 5
2、随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
10
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
12
如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上 界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故样本空间为
Ω = {t ：t ≥0｝
样本空间在如下意义上提供了一个理想试验 的模型：
在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现.
13
二、随机事件
定义 随机试验中每一种可能的结果，称为随机事 件，简称事件.记作 A、B、C 等.
分配律 A(B C) AB AC
A(B C) (A B)(AC)
任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 每次试验中都一定出现的事件，称做必然事件， 记作Ω ； 任何一次试验中都不会出现的事件，称做不可 能事件，记作Ø； 为了讨论问题方便，我们把必然事件和不可能 事件也看成是特殊的随机事件。
14
例如，掷一颗骰子一次，观察出现的点数 样本空间：
Ω = { 1,2,3,4,5,6 }
A
B
AB
基本事件是两两互不相容的.
20
定 义 若 事 件 组 B1, B2,, Bn 满 足 以 下 两 个 条 件 ：
( 1 ) B1, B2 ,, Bn 两 两 不 相 容(即每次至多发生其中一个)
(2) B1 B2
Bn (即每次至少发生其中一个)
则 称 B1, B2,, Bn 为一个完备事件组.
B = {1,3,5}
“掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.
15
三、 事件的关系与运算
1、包含关系：“ A发生必导致B发生”，记为A B。
AB
A B
相等: A＝B A B 且 B A.
16
2、事件的和(并):“事件A与B至少有一个发生”
其结果可能为: 正品 、次品.
7
实例5 “出生的婴儿可 能是男,也可能是女”.
实例6 “明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨”等都为随机现象.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
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３、随机试验
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
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在概率论中,把对随机现象的一次观察或实验， 称为一次随机试验. 它具有以下三个特征：
集合的划分
B3 B1
B6
B4
B7
B2
B5
B8
21
6、对立事件(逆事件)：
对 事 件 A,B， 若 满 足 A B ， A B Φ ，
则称事件 A 与 B 互为对立事件或逆事件.
A 的逆事件记为 A ,即 A A 。
实 际 上 ， A 表 示 “ 事 件 A 不 发 生 ”。
显然有 A B AB .
注意: 对立事件必互斥；
A
但互斥的事件未必为对立
事件。
A
22
事件运算的规律
事件间的关系与运算与集合的关系与运算是完 全相似的，运算规律也是完全相似的。但要注意， 应该用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且 会用这些运算关系来表示一些复杂的事件。
交换律 A B B A , AB BA 结合律 ( A B) C A (B C) , ( AB)C A(BC)
记作 A B 或 A B ，
A
B
n
推 广 : A1 A2 An Ak 表 示 事 件
k 1
“ A1 , A2 ,, An 至 少 发 生 一 个 ” .
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Biblioteka Baidu
3、事件的积(交)：“事件A与B同时发生”
记作 A B 或AB
A
B
n
推 广 : Ak A1 A2 An ,
k 1
或记为 A1 A2 An ,
称为随机现象.
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反
两面出现的情况”.
H
T
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “抛掷一枚骰子,观
察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 6
实例3 “从一批含有正 品和次品的产品中任意抽 取一个产品”.
实例4 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
1
概率论是数学的一个分支,它研究随机现象 的数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的 科学领域, 例如天气预报, 地震预报； 产品的抽样 调查；保险费率计算；药物疗效评价; 在通讯工 程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.
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第八章
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在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
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４、样本空间
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便
的工具 . 我们把随机试验的每个基本结果称为基本事
件或样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为 样本空间. 样本空间 表示.
如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空 间由如下四个样本点组成：
S ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
表 示 事 件 “ A1, A2 ,, An 同 时 发 生 ” .
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4、事件的差：A－B称为A与B的差事件,表示 事件A发生而B不发生。
A B
A
B
A B
A B
思考：何时A-B=Ø ? 何时A-B=A？
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5、不相容事件：
如果事 件 A 与 B 不可能同时 发生，即 AB ， 则称事件 A 与 B 互不相容(或互斥).
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第一节 随机现象与随机事件
一、随机试验和样本空间
自然界所观察到的现象： 确定性现象、 随机现象
1、确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”,
确定性现象的特征
条件完全决定结果 5
2、随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
10
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
12
如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上 界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故样本空间为
Ω = {t ：t ≥0｝
样本空间在如下意义上提供了一个理想试验 的模型：
在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现.
13
二、随机事件
定义 随机试验中每一种可能的结果，称为随机事 件，简称事件.记作 A、B、C 等.
分配律 A(B C) AB AC
A(B C) (A B)(AC)
任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 每次试验中都一定出现的事件，称做必然事件， 记作Ω ； 任何一次试验中都不会出现的事件，称做不可 能事件，记作Ø； 为了讨论问题方便，我们把必然事件和不可能 事件也看成是特殊的随机事件。
14
例如，掷一颗骰子一次，观察出现的点数 样本空间：
Ω = { 1,2,3,4,5,6 }
A
B
AB
基本事件是两两互不相容的.
20
定 义 若 事 件 组 B1, B2,, Bn 满 足 以 下 两 个 条 件 ：
( 1 ) B1, B2 ,, Bn 两 两 不 相 容(即每次至多发生其中一个)
(2) B1 B2
Bn (即每次至少发生其中一个)
则 称 B1, B2,, Bn 为一个完备事件组.