极坐标系中质点运动描述

二、角量和线量的关系：
o
ds rd
Q
ds
d r
P
x (极轴)
ds r d
dt dt
dv r d
dt dt
an
v2 r
r
2
v r
a r
an r 2
位置
线 量r
位移
角 速度
量 与
加速度
vΔarddrrv//ddr0tt
线
量 切线加速度
的
比 较
法向加速度a dv /dFra bibliotek an v 2/r
解 (1) 由运动学方程可得
d 12t 2
dt an rω2 230.4(m/s2 )
d2
dt 2
24t
aτ r 4.8(m/s2 )
a an2 aτ 2 230.5(m/s2 )
(2) 设 t´ 时刻, 质点的加速度与半径成45o角, 则
t' : aτ an
rω2 r
(12t'2 )2 24t'
144t'4 24t' t' 0.55(s) 2 4t'3 2.67(rad)
例
质点沿半径为R的圆周按
v0、b为常量。
s
v
0t
运 动b t，2 式中s为自然坐标， 2
求 (1) 质点的加速度；
(2) 质点的角速度、角加速度；
(3) 法向加速度和切向加速度数值相等前，质点运动的时间。
解 (1) 本题是自然坐标的第一类问题。
先求出速率
v
ds dt
v0
bt
at
dv dt
b
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
a
an 2
at2
1 R
R2b2 (v0 bt)4
tan (v0 bt)2
Rb
(2) 根据线量和角量关系，写出用角量描述的运动方程 θ(t)
s v0 t b t2
R R 2R
d v0 b t
dt R R
匀速直线运动 Δx vΔt
匀变速直线运动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at
2
v 2 v02 2a(x x0 )
角量
角位置 θ
角位移 Δθ θ θ0 角速度 ω dθ/dt
角加速度 β dω/dt
匀速圆周运动 t
匀变速圆周运动
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
一、圆周运动的角量描述
角位置 角位移
方向:
沿逆时针转动， 为正； 沿顺时针转动， 为负。
B s
A
oR
x
角量表示的运动方程
(t)
角速度
Δ
lim
Δt 0
Δt
d
dt
角加速度
（）
lim
t 0
Δ
Δt
d
dt
用角量表示匀变速圆周运动的基本方程：
0 t
0
0t
1
2
t2
2 02 2 0
线量和角量的关系
v r
a r
an r 2
解题思路 极坐标中质点运动学问题也分为两类问题。
求导
积分
求导
积分
质点的圆周运动可用线量描述也可用角量描述。
例 一质点作半径为0.1m 的圆周运动,已知运动学方 程为 2 4t3(rad)
求 (1) 当t =2s时,质点运动的an 和 aτ 以及 a 的大小 (2) 当 =? 时,质点的加速度与半径成45o角？
得：
0
t
8
4
0
2
rad
/
s2
由： 2 02 2
得：
2 2
1（6 rad）
R =R
= RR
50 20
16
40
n
2
20 圈
d b
dt R
(3) 由 at 可an得
b (v0 bt)2 R
解出
t v0 R bb
例 半径为20cm的主动轮与半径为50cm的从动轮，用无相
对滑动的皮带连接。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在
8rad / s 4s
内从动轮角速度达
。求在这4s内主动轮转过多少圈。
解：由： 0 t