概率论---第2章随机变量及其分布1-3节1

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另外，有时我们总是将随机试验的基本结果与另外的数量
关系结合起来，比如
赢1000元钱； +1000
输1000元钱； 1000
1000 800 200 2000
实际上，给随机试验的每个基本结果赋予一个数值，这样
将样本空间与实数值之间建立一种对应关系，是我们用数 学理论和方法深入和系统研究随机试验规律的基础.
(3)离散随机变量X，F (x)是右连续函数, 即
lim F(x) F(a)
xa
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例1. 掷一颗质量均匀的骰子2次， 设随机变量X
表示出现3点的次数，求①X的分布函数;
②求P(X≤1/2), P(-1<X≤3/2), P(1≤ X≤2),
解：据题意知X～B(2,1/6), 其分布律为
……体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏
分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由
观测值的平均值求出。
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随机变量X的分布函数
定义：设X为一随机变量， x R,则事件“X ≤x” 的概率P(X≤x)称为随机变量X的分布函数, 记作
F(x) =P (X≤x)，任x∈R
注：当x1 x2时, P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1).
第
样本点
一 章 随 机
几个基本概念
样本空间
随机事件
统计定义
事 件 及 其 概 率
概率的三种定义
公理化定义
概率的计算
古典定义
条件概率
概率乘法公式
全概率公式和贝叶斯公式
独立性
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第二章 随机变量及其分布
基本内容：
一、随机变量的概念 二、离散随机变量(二项分布 0-1分布 泊松分布) 三、连续随机变量(均匀分布、指数分布、正态分布) 四、随机变量的分布函数 五、二维随机变量 六、边缘分布 七、条件分布 八、随机变量的独立性 九、随机变量函数的分布
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1. 随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为 S {e}, 若对于每 一个样本点 e S, 变量X 都有唯一确定实数与之对应,
则X是定义在 S上的单值实函数, 即 X X (), 称
X为随机变量. 常用X, Y, Z等或 , , 等表示,
而表示随机变量所取的值时,常用x, y, z等.
n! k!(n k)!
p k q nk
n(n 1) (n k 1) ( )k (1 )nk
k!
n
n
k (1 1 ) (1 k 1)(1 )nk
k! n
n
n
lim (1 )nk lim (1 )n lim (1 )k
n
n
lim
n
n
Cnk pk q
lim (1
n
nnk
) n
nn(k)k!een,
Cnk pk qnk Cn0 p0qn Cn1 pqn1 L Cnn pnq0 1.
k 0
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二项分布（Binomial distribution）
定义：设随机变量X具有分布律
P( X k) Cnk pk qnk , k 0,1, 2,L , n
其中n为正整数， 0 p 1, p q 1;
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例5.经验表明人们患了某种疾病，有30%的人不 经治疗会自行痊愈。医药公司推出一种新药，随 机地选10个患这种病的患者服用了新药，知道其 中有9人很快就痊愈了。设各人自行痊愈与否相 互独立。试推断这些患者是自行痊愈的，还是新 药起了作用。
解：假设新药毫无效用，则一个患者痊愈的概率为 P=0.3. 以X表示10个患者中痊愈的病人数， 则X~B（10，0.3）
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三、泊松分布 (Poisson’s distribution)
定义. 设随机变量X的分布律为
P( X k) k e , k 0, 1, 2, ; (其中 0)
k!
则称随机变量X服从参数为λ泊松分布，记作
X ~ (),
泊松分布是由法国数学家S.D.Poisson(1983)提出.
(2) 非离散随机变量 连续随机变量: 取值是在某个实数区间(有界或无界)
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第二节 离散型随机变量及其分布律
一、 离散随机变量的分布律
要完整地了解一个离散随机变量,不仅要知道它的所有
可能取值,还需要知道它的所有可能取值相应的概率。
定义: 设X为离散随机变量, 其所有可能取值为
x1, x2,L , xk , (L ), 且 P( X xk ) pk (k 1,2, ) 或记
X x1 x2 L xk L
P
p1 p2 L pk L
则称为 X 的概率分布律（简称分布律）.
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(2)性质 显然，概率分布pk有下面的性质:
10 pk 0, k 1, 2, ;
20 pk 1.
k
例1. 已知离散随机变量X的分布律为
P(X k) a( 2)k , (k 0,1,2) 3
A A A A A A;
k次 n-k次
A A A A A A A A; ……
k-1次
n-k-1次
共有Cnk种方式, 由于各次试验相互独立，
每一种方式 发生的概率均为 p k (1-p) n - k
因此事件A在n次试验中发生k次的概率为
n
P( X k) Cnk pkqnk , k 0,1,L , n
解：由题意知 P( X 0) 0 e 0.2, 则 1.61.
0! 而P(X 1) 1 P(X 0) P(X 1)
1 0.2 1 e 1 0.2 1.610.2
1!
0.478.
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泊松分布与二项分布的关系
泊松定理： 设 X ~ B(n, p), 若当n→∞时，
设np=（ 0 常数）, 则有
k
0,1,2,
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例7.某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.01， 设各人患病与否相互独立。现随机抽取200人, 求 其中至少4人患这种病的概率。
解: 设X表示200人中患此疾病的人数，则 X~B(200,0.01）
由于n很大， np 200 0.01 2 适中
所以二项分布的分布律近似于泊松分布的分布律，
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若某人做某事的成功率为1%，他重复努力 400次，则至少成功一次的概率为
P{X 1} 1 P{X 0} =1 0.99400 0.9820
成功次数服从二项概率 B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力
爱因斯坦: 天才＝1%的灵感＋99%的汗水”
但那1%的灵感是最重要的，甚至比那99%的汗水都要重要
反面；
P( X
1000)
P( 正面)
1 ；P( X 2
1000)
1； 2
令X 表示掷骰子出现点数的平方，则
X（i） i2，则P(X 25)
P(i 5) 1 . 6
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二、 随机变量的分类
根据随机变量 X 的取值情况，它可分为 (1) 离散随机变量:
取值只有有限个或可列无穷多个值
A表示第一次罚球罚中，B表示第二次罚球罚中 P(X=0) P( AB ) P(A)P(B | A) 0.250.3 0.075.
P(X=1) P( AB AB) P( AB ) P( AB)
P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.750.2 0.250.7 0.325
种结果, 如某批产品抽样检查得到合格或不合格;
射击手命中目标或不命中; 发报机发出信号0或1;
掷一次骰子点数“6”是否出现等. 伯努利试验
设随机试验E只有两种可能的结果:A及A—,
且P(A)=p,则称E为伯努利试验.将E独立地重
复进行n次,则称这一串试验为n重伯努利试验。
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设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数， 则X的所有可能取值为0,1,2,…,n,
“P概（率X很=9小）的C事190 (件0.，3)9在(0一.7次) 试0验.00中01实38际上几乎是不
发P生(X”（9称) 为P实(X际推9)断 P原(理X ） 1，0)现在概率很小的事 件在一次试验C1中90 (竟0.3然)9 (发0.生7)了 C，1100推(0断.3)新10 (药0.7是)0有 疗0.0效00的14。4
lim
n
Cnk
p k qnk
k
k!
e ,
k
0,1,2,
注：当n充分大, p很小 (p<0.1), 即np比较适中时，
二项分布B( n, p)的分布律近似等于泊松分布
()的分布律:
Cnk
pk qnk
k
k!
e , 其中
np
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证明： 记 np , p , 则
n
Cnk pk qnk
P(X 2) P(AB) P(A)P(B | A) 0.750.8 0.6
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或将分布律表示为
X
0
1
2
pk 0.075 0.325 0.6
或用线条图、直方图表示
01 2
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01 2
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二、 n重伯努利试验、二项分布
考虑一个简单的试验, 它只出现 (或只考虑) 两
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布， 记作X～B (n, p)。
特别当n=1时，X的分布律为 P( X k) pk q1k , k 0, 1 (0 p 1) X 01
pk 1-p p 则称X服从参数为p的 (0-1)分布或伯努利分布.
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例4. 已知某公司生产的螺丝的废品率是0.01,这家公司
求a ，且P(1<X≤2)
解：根据概率函数的规范性，有
a( 2)0 a( 2)1 a( 2)2 1 故 a 9 .
3
3
3
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例2. 据以往的资料知道，某一篮球运动员罚球有 以下规律:若罚球两次, 第一次罚中的概率为0.75， 若第一次罚中则第二次罚中的概率为0.8，若第一 次未罚中则第二次罚中的概率为0.7.以X记罚球两 次其中罚中的次数，求X的分布律。 解：X的可能取值为0，1，2.
注：随机变量是定义在样本空间 S上的单值实函数;
e
S
X (e)
R
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随机变量的特征：
（1）随机变量的取值是随机的，事前并不知道取什么值；
（2）所取的每一个值都对应于一个随机事件；
（3）随机变量所取的每个值的概率大小是确定的；
令X 表示丢硬币赌博的赢钱数，则
1000， 正面；
X
1000，
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第一节 随机变量
在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率的计算， 随机现象大量存在，基本结果的描述也千变万化，例如
正面，反面 男孩，女孩 红球，白球，黑球
1，2，3，4，5，6 L L
从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时我们关心的
不是基本结果的描述，而更多的是一种数量关系.
3
P(X 4) 1 P(X k) k 0
1
3
k 0
2k k!
e
2
1
0.8571
0.1429
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实际问题中若干稠密性问题是服从或近似 服从Poisson分布
例如：1) 某服务设施在一定时间内到达的人数； 2)一本书一页中的印刷错误的个数； 3)显微镜下相同大小的方格内微生物的数目; 4)某医院在一天内的急诊病人数; 5) 某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数;
将每10个螺丝包成一包出售,并保证若发现某包中 多于一个废品则可退款.问被售出的各包螺丝中,
被退回公司的占多大比例?
解 :记 X为某包螺丝中废品的个数,则 X B( 10, 0.01 )
这包螺丝被退回的概率为 P( X 1) 1 P( X 0) P( X 1) 1 C100 0.010 0.9910 C110 0.01 0.999 0.07
它适合于描述单k e位时间e内随k机事 e件e发 生 1的次数, 而
参数 是单k位0 时k! 间内随机k事0 k件! 的平均发生率(次数).
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例6.一时段内通过某交叉路口的汽车数X可看作
服从泊松分布的随机变量，若在该时段内没有
汽车通过的概率为0.2，求在这一时段内多于一
辆汽车通过的概率.
x1
x2
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分布函数F (x)的性质
(1) F(x)是非减函数, 即若x1 <x2, 则 F(x1) F(x2 ); (2) 0 F(x) 1;且
F() lim F(x) 0; F() lim F(x) 1;
x
x
事件“X≤x”当x→-∞时是不可能事件;
事件“X≤x”当x→+∞时是必然事件.
P2 ( X
k
)
C2k
(
1 6
)k
(
5 6
)2k
,
其中k = 0,1,2.
即X的分布律为
X
0
1
2
P (x) 0.6944 0.2778 0.0278
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