(小学奥数)5-2-3 数的整除之四大判断法综合运用(三).学生版

5-2-1.数的整除之四大判断法

综合运用

教学目标

1.了解整除的性质；

2.运用整除的性质解题；

3.整除性质的综合运用.

知识点拨

一、常见数字的整除判定方法

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11

或13整除.

5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个

数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

二、整除性质

性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a．

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．

性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；

性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；

例题精讲

综合系列

【例 1】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________．

【例 2】有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是________．

【例 3】173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

【例 4】1872

a a是2008的倍数．a=_________

n-是63的倍数的最小正整数n是。

【例 5】使得101

【例 6】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

【例 7】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？

【例 8】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?

【例 9】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

【例 10】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少?

【例 11】用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？

【例 12】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全

数是多少？

【例 13】将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？

【例 14】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小

于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？

【例 15】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的最小值是；已知当ABCDEF

取得最大值时0

F=，那么ABCDEF的最大值是________．

C=，6

【例 16】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？

【例 17】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，……，前9位数能被10整除．已知最高位数为8．这个十位数是

【例 18】N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是．

【例 19】a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cdab是9的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd是。

【例 20】利用数字0，1，2，3，4，，8，9(每个数字可以重复)构造一个6位数，满足要求：前k位能被k整除(1

k=，2，，6)．这样的6位数最小是，最大是．

【例 21】有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．