圆锥曲线范围问题
二轮复习Ⅴ3大题考法——直线与圆锥曲线的简单应用及最值范围问题课件(33张)
方法例解 [典例] (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直
线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直
2．已知椭圆E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为2 3的等边三角 形的三个顶点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝
2b2 3
相切且交椭圆E于M，N两点，求
|MN|的最大值．
解：(1)由题意得，椭圆上、下两顶点与左、右顶点中的一个是边长为2 3 的
所以当―M→Q ＝3―N→Q ，即y1＝3y2时，结合③得a2＝2＞43，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1； 当―M→Q ＝－3―N→Q ，即y1＝－3y2时，结合③得a2＝12＞43，所以椭圆C的方程为1x22＋y62＝1. 综上，椭圆C的方程为x22＋y2＝1或1x22 ＋y62＝1.
题型(二) 圆锥曲线中的最值问题
－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0，
故k＞1或k＜－1.
由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－5－k23＋0k4＝5k320＋k 4，x1x2＝5k22＋5 4， 进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－5k22＋4 4， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝356k－2＋204k2. 直线AB的方程为y＋2＝y1x＋1 2x，令y＝－3， 则x＝－y1x＋1 2，故点M－y1x＋1 2，－3.
圆锥曲线综合问题——取值范围问题
17 （2） e 4
x2 y2 【例 3】设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)，动直线 l 与椭圆 C 只 a b 有一个公共点 P，且点 P 在第一象限． (1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的 距离的最大值为 a－b.
ka 2 b2 , (1) P 2 2 2 2 2 2 a k b a k b
(2) 略
x2 y 2 【例 1 】已知椭圆 1 的左右焦点分别是 F1 , F2 , 椭圆上有不同的三点 25 9 A, B, C 且 BF2 Ox ， F2 A , F2 B , F2C 成等差数列. （1）求弦 AC 的中点 M 的横坐标； （2）设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y kx m(k 0) ，求 m 的取值范围. 16 16 (1) x 4 (2) m , 5 5
ka 2 b2 , (1) P 2 2 2 2 2 2 a k b a k b
(2) 略
x2 y 2 【例 1 】已知椭圆 1 的左右焦点分别是 F1 , F2 , 椭圆上有不同的三点 25 9 A, B, C 且 BF2 Ox ， F2 A , F2 B , F2C 成等差数列. （1）求弦 AC 的中点 M 的横坐标； （2）设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y kx m(k 0) ，求 m 的取值范围. 16 16 (1) x 4 (2) m , 5 5
ka 2 b2 , (1) P 2 2 2 2 2 2 a k b a k b
(2) 略
x2 y 2 【例 2】设双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的右顶点为 A , P 是双曲线上异于 a b 顶点的一个动点， 从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点.
圆锥曲线中的最值及范围问题探究教案1
圆锥曲线中的最值及范围问题探究一、内容的地位和作用纵观历年高考，以圆锥曲线为载体，求最值及范围的问题经常出现，这类问题不仅涉及的知识面广，综合性强，变量多，应用性强，而且情景新颖，能很好地考察学生的突破性思维和数学素养，所以一直是高考的热门。
题型有选择题、填空题、解答题，难度较大。
二、教学目标1、知识与技能通过本节内容的学习，使学生进一步理解和掌握圆锥曲线的定义，学会利用定义及转化与整合、函数与方程等数学思想解决圆锥曲线中的最值及范围问题，强化数学概念及几何图形在解题中的重要作用，提高应用定义及几何图形解题意识，同时向学生渗透数形结合、划归转化、函数与方程思想。
2、过程与方法通过学生的积极参与，让学生自己体会从例题中寻找解决问题的方法，理解知识的形成过程，培养学生发现问题，解决问题的能力，归纳总结深化知识的探究能力。
本节课主要采用“讲练结合法”教学，层次渐进地设计问题，从不同方法解决同类问题，引导学生会用类比的方法发现问题、提出问题、解决问题。
教师参与其中适当引导，为学生营造一个愉快而振奋的学习情境，并围绕“情知融合点”展开积极、有效、丰富的认知活动，配以反馈思考题，检验教学效果。
用问题组织教学，通过层层深入的问题将教学的各环节连成一线，融为一体，充分调动学生的学习积极性，活跃学生思维，从而使一个个问题得到解决。
3、情感态度与价值观通过对同类问题不同解决方法的讲解，增强学生学习的自觉性和主动性增强学生善于发现问题、解决问题的探究意识，善于寻找知识间的内在联系及相互转化的意识，使思维得到升华，同时体会到成功的喜悦，体会到数学知识的奥秘与神奇，体会到数学中的语言美、图形美、联系美、变化美、方法美、在学习数学知识的同时得到美的享受。
三、重点难点的确立及依据重点：求最值及范围问题的思路分析及方法探究难点：问题的转化过程及利用函数与方程思想解决问题设计依据：在复习过程中发现多数高三学生对圆锥曲线的定义及解题方法基本理解，但掌握不准，用的不活，在运用定义时，只是停留在肤浅的层面上，凭感觉和经验做题，缺少学习的动机及兴奋点，没有形成梳理知识和归纳总结的好习惯，更少去分析每个问题考察的知识点是什么，出题者的意图在哪，针对此实际情况，在经过一轮复习之后，特设计了此专题。
2022届数学圆锥曲线题型归纳讲义 (3)
高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题例1 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=√32，直线x+√3y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑：（1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式（3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。
变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.（1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率（2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围.题型二最值问题例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）.（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值.例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）.经过点（1，√22（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值.思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解.变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .变式3 椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√32，求△AOB面积的最大值.题型三定点问题例4 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（−√3，0），F2（√3，0），且经过点A（√3，12）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点B（4，0）的一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.思维总结：求圆锥曲线综合问题的一般步骤（1）求出圆锥曲线方程（一般根据待定系数法或定义法）；（2）设直线方程并于曲线方程联立，得到关于x或y的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系（或求出交点坐标）；（4）将第三步得出的关系式代入，解决范围、最值或定点、定值等问题；（5）反思回顾，考虑方程有解条件和图形的完备性.变式4 已知椭圆C：x 22+y2=1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D.（1）求四边形QAHB（O为坐标原点）的面积的取值范围；（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.题型四定值问题例5 设F1，F2为椭圆x 24+y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足M F1⊥M F2，已知△M F1F2的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设C的上顶点为H，过点（2，-1）的直线与椭圆交于R，S两点（异于H），求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.思维总结：圆锥曲线定值问题的常见类型及解题思路（1）求代数式为定值：根据题意设出条件，得到与代数式中参数相关的等式，代入代数式中，从而化简得出定值.（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得到相关的解析式，利用题设条件化简、变形得出定值.（3）求线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再根据题目中的条件对解析式进行化简、变形得出定值.变式5 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，且过点A（2，1）.（1）求C的方程；（2）点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.题型五证明问题例6 设椭圆E：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为√22，△AB F2的周长为4√6. （1）求椭圆E的方程；（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.思维总结：圆锥曲线中证明问题常见的有以下两种：（1）位置关系：如证明直线与曲线相切，直线间的平行，垂直，直线过定点等；（2）数量关系：如存在定值，恒成立，相等等。
高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(解析版)
高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题题型一 圆锥曲线中的定点、定值问题【题型要点】圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量，那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．解决这类问题的一般思路是：(1)引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等．(2)根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．(3)求解定点、定值问题，如果事先不知道定点、定值，可以先对参数取特殊值，通过特殊情况求出这个定点、定值，然后再对一般情况进行证明．【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b ,在椭圆上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．(1)【解】 ∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2① 又点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b ,在椭圆C 上，∴b 2a 2＋a 2b 4＝1，② 联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)【证明】 当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为x ＝2或x ＝－2， 从而有|PN |＝23，所以S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26； 当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将PN 的方程代入椭圆C 的方程，整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k 2，由OM →＝OP →＋ON →，得M ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22212,214k m k km 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2.又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k 2， |PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，∴S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2| ＝1＋2k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48k 2＋242k 2＋1＝2 6. 综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6. 题组训练一 圆锥曲线中的定点、定值问题已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解析】 (1)由题意得a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 又c ＝a 2－b 2＝3，∴离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)，∴直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. ∴四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM | ＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+221120000x y y x ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 从而四边形ABNM 的面积为定值．题型二 圆锥曲线中的范围问题【题型要点】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．【例2】设圆F 1：x 2＋y 2＋4x ＝0的圆心为F 1，直线l 过点F 2(2,0)且不与x 轴、y 轴垂直，且与圆F 1相交于两点C 、D ，过F 2作F 1C 的平行线交直线F 1D 于点E .(1)证明||EF 1|－|EF 2||为定值，并写出点的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹曲线与直线l 交于M ，N 两点，过F 2且与垂直的直线与圆F 1交于P ，Q 两点，求△PQM 与△PQN 的面积之和的取值范围．【解析】 (1)圆F 1：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心F 1(－2,0)，半径r ＝2，如图所示．因为F 1C ∥EF 2，所以∠F 1CD ＝∠EF 2D .又因为|F 1D |＝|F 1C |，所以∠F 1CD ＝∠F 1DC ，所以∠EF 2D ＝∠F 1DC ，又因为∠F 1DC ＝∠EDF 2，所以∠EF 2D ＝∠EDF 2，故ED ＝EF 2，可得||EF 1|－|EF 2||＝||EF 1|－|ED ||＝2<|F 1F 2|，根据双曲线的定义，可知点E 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(顶点除外)，易得点E的轨迹方程为x 2－y 23＝1(y ≠0)． (2)Γ：x 2－y 23＝1(y ≠0)． 依题意可设l ：x ＝my ＋2(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由于PQ ⊥l ，设l PQ ：y ＝－m (x －2)．圆心F 1(－2,0)到直线PQ 的距离d ＝|－m (－2－2)|1＋m 2＝|4m |1＋m 2， 所以|PQ |＝2r 2－d 2＝41－3m 21＋m 2， 又因为d <2，解得0<m 2<13.联立直线与双曲线的方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1x ＝my ＋2， 消去得(3m 2－1)＋12my ＋9＝0，则y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1， 所以|MN |＝1＋m 2|y 2－y 1| ＝1＋m 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝6(m 2＋1)1－3m 2， 记△PQM ，△PQN 的面积分别为S 1，S 2，则S 1＋S 2＝12|MN |·|PQ |＝12m 2＋11－3m 2 ＝121－3＋4m 2＋1， 又因为0<m 2<13，所以S 1＋S 2∈(12，＋∞)， 所以S 1＋S 2的取值范围为(12，＋∞)．题组训练二 圆锥曲线中的范围问题设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解析】 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |，又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3. 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ | ＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．题型三 圆锥曲线中的存在性问题【题型要点】解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．【例3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，F 为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4,0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 设椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，又点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0，解得－12<k <12. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，① x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.② 因为△AMF 与△MFN 的面积相等，所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③由①③消去x 2得x 1＝4＋16k 23＋4k 2.④ 将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2⑤ 将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5.∴k ＝±56，经检验满足题设 故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4)． 题组训练三 圆锥曲线中的存在性问题已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1,3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．【解】 (1)∵直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,2)，∴F (0,2)，则抛物线C 的方程为x 2＝8y ，准线l ：y ＝－2.设过D 作DG ⊥l 于G ，则|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE |，当E ，D ，G 三点共线时，|DF |＋|DE |取最小值2＋3＝5.(2)假设存在，抛物线x 2＝2py 与直线y ＝2x ＋2联立方程组得：x 2－4px －4p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝(4p )2＋16p ＝16(p 2＋p )>0，则x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p ， ∴Q (2p,2p )．∵|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|，∴QA ⊥QB .则QA →·QB →＝0，得(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p )＝(x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )(2x 2＋2－2p )＝5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0，代入得4p 2＋3p －1＝0，解得p ＝14或p ＝－1(舍去)． 因此存在实数p ＝14，且满足Δ>0，使得|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|成立．题型四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题【题型要点】求解圆锥曲线中的最值问题，主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．求最值方法有：(1)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．(2)通过代换、拆项、凑项等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．【例4】 已知P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝12上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点T ，记点T 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)设M ，N 是Γ上的两个动点，MN 的中点H 在圆x 2＋y 2＝1上，求原点到MN 距离的最小值．【解析】 (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 3.由已知|TB |＝|TP |，于是|TA |＋|TB |＝|TA |＋|TP |＝23，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以23为长轴长的椭圆，a ＝3，c ＝1，b ＝2，曲线Γ的方程为x 23＋y 22＝1； (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，H (x 0，y 0)，将M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，代入作差得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)3＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0 ①x 1＝x 2时，y 1＋y 2＝0，所以H (x 0,0)，因为H 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 0＝±1，则原点O 到直线MN 的距离为1；②x 1≠x 2时，设直线MN 的斜率k ，则2x 0＋3ky 0＝0，且x 20＋y 20＝1，所以x 20＝9k 29k 2＋4，y 20＝49k 2＋4， 所以x 0y 0＝－32ky 20＝－6k 9k 2＋4. 设原点O 到直线MN 距离为d ，因为MN 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，所以d 2＝1－k 29k 4＋13k 2＋4， k ＝0时，d 2＝1；k ≠0时，d 2＝1－19k 2＋13＋4k 2≥1－125＝2425. 因为2425<1，所以d 2的最小值为2425，即d 的最小值为265，此时k ＝±63， 由①②知，原点O 到直线MN 的最小值为265. 题组训练四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【解析】 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎪⎭⎫⎝⎛21,0，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明：设P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2m m (m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )．即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)，因为y 0x 0＝－14m .所以直线OD 方程为y ＝1－4mx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,02m ， 又P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2m m ，F ⎪⎭⎫⎝⎛21,0，D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+)14(2,1422222m m m m ，所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1).所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2.法一：S 1S 2＝2(4m 4＋5m 2＋1)4m 4＋4m 2＋1＝2＋2m 24m 4＋4m 2＋1＝2＋24m 2＋1m2＋4≤94，当且仅当m ＝22时，满足(*)式，所以P 坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41,22. 法二：设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛41,22. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41,22.【专题训练】1．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【解析】 (1)易知x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0,1)，当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0，设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)， k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为：y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0， ①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得2k 2－m 2＋1>0. ②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2，由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得： 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又因为m ≠1，所以m ＝3，此时， 直线BC 的方程为y ＝kx ＋3.所以直线BC 恒过一定点(0,3)．2．已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．(1)【解】 设点P 坐标为(x ，y )，∴点Q 坐标为(0，y )．∵2P A →·PB →＝|PQ →|2，∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2，化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)[证明] 当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y )，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k(x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.则Δ>0恒成立． ∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+12,122222k k k k ，同理，MN 中点E 2坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2222k k k ， ∴kE 1E 2＝－3k2(k 2－1)，∴lE 1E 2的方程为y ＝－3k 2(k 2－1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-32x ，∴过点⎪⎭⎫⎝⎛0,32， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎪⎭⎫⎝⎛0,32，综上所述，lE 1E 2过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,32.3．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)【解】 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)[证明] 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2111x x ＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.4．已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率为双曲线y 2－x 22＝1离心率的一半，直线y ＝x 被椭圆E 截得的线段长为4105.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于A ，B 两个相异点，且AP →＝λPB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在实数m ，使OA →＋λOB →＝4OP →？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线y 2－x 22＝1离心率e ＝3，由椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，则a ＝2b ， 将y ＝x 代入椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1，解得：x ＝±a 55，∴2×2×a 55＝4105，解得：a ＝2，∴椭圆E 的方程为y 24＋x 2＝1；(2)假设存在实数m ，使OA →＋λOB →＝4OP →成立，由题意可得P (0，m )，当m ＝0时，O ，P 重合，λ＝1显然成立，当m ≠0时，由AP →＝λPB →，可得OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，则OA →＋λOB →＝(1＋λ)OP →，∴λ＝3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝3PB →，可得x 1＝－3x 2 ①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y 24＋x 2＝1，整理得：(k 2＋4)x 2＋2kmx ＋m 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－2kmk 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4， ②由①②可得：m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0，则k 2＝m 2－41－m2，m 2≠1，由Δ＝(2km )2－4(k 2＋4)(m 2－4)＞0，则k 2＋4－m 2＞0，∴k 2＋4－m 2＝m 2－41－m 2＋4－m 2＝(m 2－4)m 21－m2＞0，则1＜m 2＜4，解得：－2＜m ＜－1或1＜m ＜2，综上可得：m 的取值范围是(－2，－1)∪(1,2)∪{0}．。
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种
备考指南离心率是圆锥曲线的重要性质之一,用e=c a来表示.抛物线的离心率为1，椭圆离心率的范围为（0,1），双曲线离心率的范围为（1，+∞），因而圆锥曲线离心率问题主要是指椭圆与双曲线的离心率问题.圆锥曲线离心率的范围问题比较常见，这类问题的难度不大，侧重于考查圆锥曲线的方程、定义、几何性质以及a、b、c之间的关系.本文主要谈一谈求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路.一、利用一元二次方程的判别式求解利用一元二次方程的判别式求圆锥曲线离心率的范围，需先将直线与圆锥曲线的方程、两条圆锥曲线的方程联立，通过消元，得到一元二次方程；然后根据一元二次方程有解，建立关于判别式△≥0的不等式，即可得到关于a、b的不等式；再根据椭圆方程中a、b、c之间的关系a2=b2+c2，双曲线方程中a、b、c之间的关系c2=a2+b2，得到关于a、c的不等式；最后根据圆锥曲线的离心率公式e=c a将不等式转化为关于e的不等式，解该不等式即可求得离心率的范围.例1.已知双曲线C:x 2a2-y2=1()a＞0与直线l:x+y=1相交于A、B两点，则双曲线C的离心率e的取值范围_____.解：联立直线和双曲线的方程得ìíîïïx2a2-y2=1，x+y=1，消去y整理可得()1-a2x2+2a2x-2a2=0，由于直线l与双曲线C相交于两个不同的点，则ìíî1-a2≠0，Δ=4a4+8a2()1-a2＞0，解得0＜a＜2且a≠1，而e，且e≠2，所以双曲线离心率e的取值范围为èöø÷，2⋃()2,+∞.首先联立直线和双曲线的方程，消去y得到含有参数a的一元二次方程；然后根据直线与曲线相交于不同的两点，建立关于判别式的不等式，并将其转化为关于离心率e的不等式，即可解题.在求双曲线的离心率问题时，要注意隐含条件:双曲线离心率的范围为（1，+∞）.例2.点M是椭圆E:x2a2+y2b2=1()a＞b＞0上的一点，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若||MF1∙||MF2 =2b2，求椭圆E离心率的范围.解：根据椭圆的定义知，||MF1+||MF2=2a，∵||MF1∙||MF2=2b2，∴||MF1、||MF2分别是方程x2-2ax+2b2=0的两个不等实数根，∴Δ=()-2a2-4×2b2≥0，解得a2≥2b2，∵a2=c2+b2，∴a2≥2()a2-c2，将上式两边同除以a2，可得e2≥12，即e≥，∴椭圆E离心率的范围为ëöø÷.解答本题，要根据直线与椭圆有两个交点，将问题转化为一元二次方程x2-2ax+2b2=0有两个根，据此建立关系式△≥0，得到关于a、c的不等式，再根据圆锥曲线的离心率公式e=c a进行求解.二、利用几何图形的性质求解利用几何性质求解圆锥曲线离心率的范围问题，关键要根据圆锥曲线的定义以及几何图形的性质建立关于a、c的不等式.常用的几何图形性质有：①三角形的两边之差小于第三边；②三角形的两边之和大于56备考指南第三边；③圆的切线到圆心的距离最短；④三角形的内角的范围为（0,180o ）；⑤双曲线无限趋近于渐近线.例3.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1()a ＞0,b ＞0的左、右焦点分别为F 1()-c ,0,F 2()c ,0,若双曲线上存在一点P ,使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线离心率的取值范围为______.解：设||PF 1=m ，||PF 2=n ，如图所示：由正弦定理可得m n =sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2，因为sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=e ，所以mn =e ，即m =en ①，而e ＞1，则点P 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得m -n =2a ②，由①②式可得，m =2ae e -1，n =2a e -1，因为m +n ≥2c ，所以2ae e -1+2a e -1≥2c ，化简得e 2-2e -1≤0，解得-2+1≤e ≤2+1，故双曲线离心率的取值范围为(]1，2+1.由于点P 和双曲线的左右焦点构成三角形，所以可运用三角形的性质：三角形两边之和大于第三边，即||PF 1+||PF 2＞||F 1F 2，建立关系式，再根据双曲线的定义得到关于a 、c 的不等式,即可求得离心率的范围.例4.已知F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，满足 MF 1∙MF 2=0的点M 在椭圆的内部，求椭圆离心率的取值范围.解：由题意可知，点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，∵点M 在椭圆的内部，∴c ＜b ，可得c 2＜b 2=a 2-c 2，即e 2＜12，∵e ∈()0,1，∴椭圆离心率e 的取值范围为æèçø0.由题意可知MF 1⊥MF 2，则满足条件的M 点的集合是圆，根据圆的性质：圆()x -a 2+()y -b 2=r 2内所有的点需满足关系式()x -a 2+()y -b 2<r 2，据此建立关于a 、c 的不等式，即可求得e 的取值范围.三、根据三角函数的有界性求解三角函数具有有界性，如||sin α≤1()α∈R 、||cos α≤1()α∈R 、tan α≥0æèöø0≤α<π2.在求解圆锥曲线离心率的取值范围问题时，可引入参数，将圆锥曲线中的变量x 、y 用sin α、cos α、tan α表示出来，并求得离心率e =c a的表达式，便可利用三角函数的有界性来求得离心率的取值范围.例5.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1()a ＞b ＞0上有一动点A ，点B 与点A 关于原点对称，点F 1、F 2是椭圆的左、右焦点.若AF 2⊥BF 2，∠ABF =α，α∈éëùûπ12，π4，则椭圆离心率的取值范围是_____.解：由题意可得点B 在椭圆上，∵AF 2⊥BF 2，点B 和点A 关于原点对称，∴四边形AF 1BF 2是矩形，∴AO =BO =OF 1=OF 2=c ,AB =2c ，∵AF 1=BF 2,AF 1+AF 2=2a ，∴2c sin α+2c cosα=2a ，可得e =c a =1sin α+cos α=12sin æèöøα+π4，∵α∈éëùûπ12，π4，∴≤2sin æèöøα+π4≤2，即≤e ≤，∴椭圆离心率的取值范围为ëû.用α表示椭圆方程中的参数a 和c ，借助椭圆的定义和离心率公式，即可将问题转化为三角函数最值问题，利用正弦函数的有界性求得最值，就能顺利求得问题的答案.可见，求解圆锥曲线离心率的取值范围问题，可以从方程、几何图形、三角函数入手，利用一元二次方程的判别式、几何图形的性质、三角函数的有界性建立与圆锥曲线离心率e ，或a 、c 有关的不等式，即可顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省淮安市洪泽湖高级中学）57。
圆锥曲线离心率及范围问题
因为 MH
OF2 ，所以， OF2
MH
OM
MF2 , MH
ab c
，即 M
点纵坐标为
ab c
，
将M
点纵坐标带入圆的方程中可得
x2
a2b2 c2
b2
，解得 x
b2 c
,M
b2
c
,
ab c
，
将M
b4
点坐标带入双曲线中可得
a2c2
a2 c2
1，
化简得 b4 a4 a2c2 ， c2 a2 2 a4 a2c2 ， c2 3a2 ， e c 3 ，选 D. a
PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为（
A．1 3 2
B． 2 3
） C． 3 1 2
D． 3 1
【答案】 3 1
【解析】设椭圆焦点在 x 轴上，则椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0.
因为 F2PF1 90 ， PF2F1 60 ， F1F2 2c ，所以 PF2 c ， PF1 3c
因为 MF1 3 MF2 ， M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知 MF1 MF2 2a ， 即 3 MF2 MF2 2a ， MF2 a 因为圆 x2 y2 b2 的半径为 b ， OM 是圆 x2 y2 b2 的半径，所以 OM b ， 因为 OM b, MF2 a,OF2 c, a2 b2 c2 ， 所以 OMF2 90 ，三角形 OMF2 是直角三角形，
设 F1 为椭圆右焦点， F2 为椭圆左焦点，则 PF1 PF2 2a ，所以 3 1 c 2a ，
所以 e c 2 2 3 1 3 1.故选 D. a 3 1 3 1 3 1
圆锥曲线的热点问题—最值、范围、证明问题
23，
当且仅当4t ＝3t，即 t2＝34时等号成立，此时 k2＝73，所以△OAB 面积的最大值为
3 2.
索引
思维升华
求最值常用的方法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现图形 的几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决；②代数法，若题目的条 件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数 的最值.
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类型二 范围问题
例2 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x
上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； 证明 设 P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2. 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y2＋2 x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以 y1＋y2＝2y0，即y1＋2 y2＝y0，因此 PM 垂直于 y 轴.
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(2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围. 解 由(1)可知yy11＋ y2＝y2＝ 8x02－y0，y20， 所以 PM＝18(y21＋y22)－x0＝43y20－3x0，|y1－y2|＝2 2（y02－4x0）. 因此，△PAB 的面积 S△PAB＝21PM·|y1－y2|＝342(y20－4x0)32. 因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)， 所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
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思维升华
求参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)法，根据题意结合图 形列出所讨论的参数满足的不等式(组)，通过不等式(组)得出参数的取值范围； ②函数值域法，用某变量的函数表示所讨论的参数，通过讨论函数的值域求 得参数的取值范围.
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圆锥曲线中的范围问题探讨
★母题探究★
1、椭圆中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2、离心率为22，直线l与y轴
交于点0,Pm，与椭圆C交于相异两点,AB，且3APPB.
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围。
2、设12,FF是椭圆2214xy的左右焦点。
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的取值范围；
（2）设过定点0,2的直线l与椭圆交于不同的两点MN、，且MNO（O为原点）
为锐角，求直线l 斜率k的取值范围；
（3）设2,0,0,1AB是椭圆的两个顶点，直线(0)ykxk与AB交于D点，与
椭圆交于EF、两点，求四边形AEFB面积的最大值。
★知识储备★
圆锥曲线既是热点，又是难点。解决此类问题基本思想是建立目标函数和不等关系，根
据目标函数和不等式求范围。建立目标函数的关键在于选择一个合适的变量，原则是这
个变量能够表达要解决的问题；建立不等式的关键是运用运用圆锥曲线的几何性质、判
别式法或基本不等式灵活处理。
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★举一反三★
1、已知抛物线C的方程为：28yx，设过点2,0N的直线l 的斜率为k，且与抛
物线相交于ST、，若ST、两点只在第二象限运动，线段ST的垂直平分线交x轴
于Q点，则Q横坐标的取值范围是 。
2、已知点12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，过点1F且垂直于x轴
的直线交双曲线于A、B，若2ABF是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围
是 。
3、已知点12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，P是双曲线右支上一
点，若2218PFaPF，则双曲线离心率的取值范围是 。
4、直线1ykx与双曲线221xy左支交于,AB，另一条直线l过点2,0和AB
的中点，则直线l在y轴上截距的取值范围是 。
5、已知椭圆222210xyabab的左右焦点分别为12,0,,0,FcFc若椭圆上存
在点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆离心率的取值范围是 。
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6、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为0,2，且离心率为
3
2
，过点0,2M的直线l 与椭圆交于不同两点PQ、，点N在PQ上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设PMMQPNNO，试求的取值范围。
7、已知圆M：22536xy，定点5,0N，点P为圆上的动点，点Q在
NP
上，点G在MP上，且满足2,0NPNQGQNP。
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点2,0做斜率为k的直线l 与曲线C交于AB、，O为原点，若1OAOB，
求直线l 斜率k的取值范围。
8、已知定点01A，，点B在圆F：22116xy上运动，F为圆心，线段
AB
的垂直平分线交FB于P。
（1）求动点P的轨迹E的方程；若曲线22221xaxya被轨迹E包围着，求实
数a的最小值；
（2）已知2,0M，2,0N，动点G在圆F内，且满足2MGNGOG，O
为原点，求MGNG的取值范围。
；
’.
9、已知椭圆的一个顶点为0,1，焦点在x轴上，右焦点F到直线220xy的
距离为3。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线ykxm0k与椭圆相交于MN、两点，当AMAN时，求
m
的取值范围。
10、已知椭圆2222:10xyCabba的焦点120,,0,FcFc，抛物线
:P
2
20xpyp
的焦点与1F重合，过2F的直线与与抛物线P相切，切点在第
一象限，且与椭圆相交于AB、两点，且22FBAF。
（1）切线l 的斜率为定值；
（2）若抛物线P于直线l 及y轴围成的图形面积为23，求抛物线P的方程；
（3）当2,4时，求椭圆离心率的取值范围。