圆锥曲线范围问题

圆锥曲线中的范围问题探讨

★母题探究★

1、椭圆中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为

2、离心率为

22

，直线l 与y 轴交于点()0,P m ，与椭圆C 交于相异两点,A B ，且3AP PB =.

（1）求椭圆方程；

（2）求m 的取值范围。

2、设12,F F 是椭圆2

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x y +=的左右焦点。 （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；

（2）设过定点()0,2的直线l 与椭圆交于不同的两点M N 、，且M N ∠O （O 为原点）

为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围；

（3）设()()2,0,0,1A B 是椭圆的两个顶点，直线(0)y kx k =>与AB 交于D 点，与

椭圆交于E F 、两点，求四边形AE F B 面积的最大值。

★知识储备★

圆锥曲线既是热点，又是难点。解决此类问题基本思想是建立目标函数和不等关系，根据目标函数和不等式求范围。建立目标函数的关键在于选择一个合适的变量，原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等式的关键是运用运用圆锥曲线的几何性质、判别式法或基本不等式灵活处理。

★举一反三★

1、已知抛物线C 的方程为：2

8y x =-，设过点()2,0N 的直线l 的斜率为k ，且与抛物线相交于S T 、，若S T 、两点只在第二象限运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，则Q 横坐标的取值范围是 。

2、已知点12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B ，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 。

3、已知点12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，若22

18PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是 。

4、直线1y kx =+与双曲线221x y -=左支交于,A B ，另一条直线l 过点()2,0-和AB

的中点，则直线l 在y 轴上截距的取值范围是 。

5、已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c -若椭圆上存在点P 使

1221

sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆离心率的取值范围是 。

6、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为()

0,2，且离心率为32

，过点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同两点P Q 、，点N 在PQ 上。 （1）求椭圆的标准方程；

（2）设PM MQ PN NO λ==，试求λ的取值范围。

7、已知圆M ：()22536x y ++=，定点()

5,0N ，点P 为圆上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2,0NP NQ GQ NP =⋅=。

（1）求点G 的轨迹C 的方程；

（2）过点()2,0做斜率为k 的直线l 与曲线C 交于A B 、，O 为原点，

若1OA OB ⋅≤-，求直线l 斜率k 的取值范围。

8、已知定点()01A -，，点B 在圆F ：()2

2116x y +-=上运动，F 为圆心，线段A B 的垂直平分线交F B 于P 。

（1）求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线222

21x ax y a -++=被轨迹E 包围着，求实

数a 的最小值；

（2）已知()2,0M -，()2,0N ，动点G 在圆F 内，且满足2MG NG OG ⋅=，O

为原点，求MG NG ⋅的取值范围。

9、已知椭圆的一个顶点为()0,1-，焦点在x 轴上，右焦点F 到直线220x y -+=的

距离为3。

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线y kx m =+()0k ≠与椭圆相交于M N 、两点，当AM AN =时，求m

的取值范围。

10、已知椭圆()22

22:10x y C a b b a

+=>>的焦点()()120,,0,F c F c -，抛物线:P ()220x py p =>的焦点与1F 重合，过2F 的直线与与抛物线P 相切，切点在第一象限，且与椭圆相交于A B 、两点，且22F B AF λ=。

（1）切线l 的斜率为定值；

（2）若抛物线P 于直线l 及y 轴围成的图形面积为

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，求抛物线P 的方程； （3）当[]2,4λ∈时，求椭圆离心率的取值范围。