多目标决策方法
2-多目标决策分析方法
式中： i和 d i分别表示与 f i 相应的、与 f i* d 相比 的目标超过值和不足值，即正、负偏差变 量；pl 表示第l个优先级； lk 、 lk表示在同一优
先级 pl 中不同目标的正、负偏差变量的权系数。
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f jmin f j f jmax ( j 2,3,, k )
采用矩阵可记为
max(min) f1 ( X ) Z
Φ( X ) G
F1min F1 F1max
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
数，假定有K个目标，L个优先级
(L K ) 目标规划模型的数学形式为
，
，
f i 同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系
min Z pl ( lk d k lk d k ) l 1 k 1
L
K
（2.18） （2.19） （2.20）
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
2
多目标规划求解技术简介
效用最优化模型
罚款模型
约束模型 目标规划模型
为了求得多目标规划问题的非劣 解，常常需要将多目标规划问题转化 为单目标规划问题去处理。实现这种 转化，有如下几种建模方法：
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目 标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过 效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单 目标规划问题
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可 以给出一个可供选择的范围，则该目标就 可以作为约束条件而被排除出目标组，进 入约束条件组中。
多目标决策分析决策理论与方法课件
反馈与改进
根据实施结果和监控数据，对多 目标决策分析过程进行反馈和改
进，提高决策质量。
04
多目标决策分析的案例研究
案例一：企业投资决策分析
总结词
企业投资决策是一个多目标问题，涉及到风险、收益、市场 等多个方面。
详细描述
企业在进行投资决策时，需要综合考虑多个目标，如风险控 制、收益最大化、市场份额扩大等。多目标决策分析方法可 以帮助企业权衡不同目标之间的矛盾，制定出最• 多目标决策分析概述 • 多目标决策分析的基本方法 • 多目标决策分析的步骤与流程 • 多目标决策分析的案例研究 • 多目标决策分析的挑战与展望
01
多目标决策分析概述
定义与特点
定义
多目标决策分析是指在多个相互 冲突或竞争的目标下进行决策的 方法。
特点
多目标决策分析考虑了多个目标 的权衡和取舍，旨在寻找满足所 有目标的最佳解决方案。
详细描述
环境保护方案评估需要综合考虑多个环境要素，如空气质量、水质量、土壤保护等。多目标决策分析方法可以帮 助评估者全面评估方案对环境的影响，为决策者提供科学的依据。
案例四：交通规划方案选择
总结词
交通规划需要考虑多个目标，如交通效率、交通安全、环保等。
详细描述
交通规划需要考虑多个目标，如提高交通效率、保障交通安全、减少环境污染等。多目标决策分析方 法可以帮助规划者权衡不同目标之间的矛盾，制定出最优的交通规划方案。
重要性及应用领域
重要性
多目标决策分析在现实世界中具有广 泛的应用，如企业管理、城市规划、 环境保护等。
应用领域
多目标决策分析广泛应用于金融、医 疗、军事、科研等领域。
多目标决策分析的历史与发展
多目标决策
3 3 1 2 1
7 2 5 1 / 2 1 1 3 1 / 3 1 4
矩阵C2-D， C3-D 各为四阶（略）:
目标层A
A
合理使用资金
C1
准则层C
C2 提高企业 技术水平
C3 改变员工物 质文化生活
调动员工工作 积极性
D1 方案层D 发奖金
D2 扩建福利设施
D3 办技校
D4 建图书馆
某公司员工绩效考核 员工绩效
工作业绩
工作能力
个人素质
工 作 质 量
工 作 效 率
工 作 量
协 调 能 力
决 策 能 力
执 行 能 力
个 人 品 德
事 业 心 与 责 任 感
员工1
员工2
员工3
引例 2
某企业资金使用方案决策
合理使用资金
调动员工工作 积极性
提高企业 技术水平
改变员工物 质文化生活
发奖金
一般情形：
A1 A2
C
……
……
Am
B1 单排序 A层 结果
B2
Bn
A1 a1
A2 a2
… …
Am am
B层总排序结果
b1 ai b1i
i b2 ai b2 i 1 i 1 m m
B层
B1
B2
…
b b
1 1
b
2 1 2 2
…
…
…
b
m 1 m 2
1 2
b
b
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
…
…
i bn ai bn i 1 m
矩阵C1-D:
2 1 1 / 2 1 1 / 3 1 / 3 1 / 4 1 / 2 1 / 7 1 / 5
多目标决策的方法
多目标决策的方法
多目标决策的方法有以下几种：
1.加权平均法
将每个目标的重要性以权重的形式表达，通过求加权平均数来选择最优方案。
2.熵权法
通过熵的概念，确定每个指标的权重来进行决策。
3.层次分析法
对多个目标进行层次化，确定目标层次之间的关系，并根据重要性对每个层次所涉及的目标进行权重分配，最终选择最优方案。
4.电子表格法
将多个目标以及相应的权重列出，通过电子表格进行计算，根据计算结果确定最优方案。
5.支持向量机
利用支持向量机来处理多个目标之间的较为复杂的关系，从而选择最优方案。
基于多目标优化的智能决策方法研究
基于多目标优化的智能决策方法研究研究背景决策问题的复杂性和多样性促使人们定义不同的目标，通过处理这些目标，使得决策具有更大的实用性。
多目标优化是解决这些问题的一种有效方法，它为决策过程提供了一种可行的方法。
多目标优化基于优化理论，旨在解决存在多个相互矛盾的目标的复杂问题。
在实践中，多目标优化已经被广泛应用于诸如工业、物流、机器人和交通等各个领域。
通过结合人工智能技术，可以更加有效地实现多目标优化的目标。
研究内容基于多目标优化的智能决策方法可以分为以下几个主要部分：1. 多目标优化算法多目标优化算法是解决多目标优化问题的核心。
目前，常用的多目标优化算法包括遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法等。
这些算法在求解多目标问题时具有一定的效率和准确性。
2. 多目标优化模型多目标优化模型是基于多目标优化算法开发的一个应用程序，其目的是为用户提供一个解决多目标决策问题的工具。
该模型通常结合了数据分析和决策支持系统等技术，可以有效支持用户进行多目标决策分析。
3. 智能优化算法智能优化算法是基于机器学习和数据挖掘技术，利用数学模型来优化决策过程。
智能优化算法可以通过学习和自适应性改善自己的表现。
通过与多目标优化算法相结合，可以实现更加智能化的决策过程。
4. 智能决策支持系统智能决策支持系统是基于多目标优化、智能优化算法等多种技术开发的一个软件系统。
通过该系统，用户可以进行多个目标的同时优化，同时也可以获得可行的解决方案。
该系统具有良好的可视化效果和高度自适应性。
5. 实例研究实例研究是基于多目标优化的智能决策方法研究的重要组成部分。
通过开发一些具体的案例，可以验证多目标优化算法、智能优化算法和智能决策支持系统等相关技术的实用性和可行性。
同时为各个领域的实际应用提供有效的启示。
研究意义基于多目标优化的智能决策方法在决策领域得到了广泛应用，可以有效地解决多目标决策问题。
这种技术可以帮助决策者更好地理解和分析问题，提供更加全面和准确的解决方案，同时也可以节约时间和成本，提高工作效率。
强化学习多目标决策与控制方法
强化学习多目标决策与控制方法强化学习是一种基于试错的机器学习方法，其通过智能体与环境之间的交互学习，从而使其在面临类似任务时能够自主作出决策和控制行为。
在多目标决策与控制问题中，强化学习可以帮助我们在面对多个目标或者多个约束条件时，找到最优的决策策略。
本文将介绍强化学习在多目标决策与控制方法中的应用。
一、多目标决策问题的定义多目标决策问题是指在面临多个相互矛盾的目标时，需要从可行解空间中找到一组最优的解决方案。
在实际问题中，我们常常需要考虑多个目标之间的权衡和平衡。
例如，在交通管制系统中，我们需要同时考虑车辆的通行效率和路口的交通安全。
为了找到最优的解决方案，我们可以使用强化学习进行多目标决策与控制。
二、多目标强化学习算法传统的强化学习算法通常只考虑单一目标，在多目标决策问题中无法直接应用。
为了解决这个问题，研究人员提出了多目标强化学习算法，其中最常用的方法是基于Q-value的多目标强化学习算法。
基于Q-value的多目标强化学习算法扩展了传统的Q-learning算法，引入了一个额外的目标向量，用于表示每个状态-动作对的多个目标值。
具体来说，我们定义一个目标向量，包含每个目标函数的权重。
然后，我们通过最小化目标向量和当前状态-动作对的Q-value之间的距离来更新Q-value。
这样，我们可以在不同的目标函数之间找到最优的权衡。
三、多目标决策与控制应用案例以下是一个多目标决策与控制的应用案例，以说明强化学习在解决多目标问题上的优势。
假设我们有一个机器人需要在一个复杂的环境中完成多个任务。
这些任务包括清理垃圾、洗碗和打扫地板。
我们希望机器人能够快速高效地完成这些任务，并且在操作过程中保证安全。
使用传统的单目标强化学习算法，我们只能优化其中一个任务的性能，无法考虑到其他目标。
然而，使用多目标强化学习算法，我们可以在保证安全的前提下，找到一组最优策略，使机器人在清理垃圾、洗碗和打扫地板之间进行权衡，从而提高整体任务的效率。
机械设计中的多目标优化与决策方法
机械设计中的多目标优化与决策方法在机械设计领域，为了满足不断变化和日益复杂的市场需求，提高产品的性能、质量和降低成本等多方面的要求，多目标优化与决策方法逐渐成为了至关重要的工具。
这些方法能够帮助设计师在众多可能的设计方案中，找到最理想的解决方案，实现多个相互冲突的目标之间的平衡。
多目标优化问题的特点在于需要同时考虑多个目标函数，这些目标往往相互制约、相互影响。
例如，在设计一款汽车发动机时，既要追求更高的功率输出，又要降低燃油消耗，同时还要减少尾气排放和降低噪声。
这些目标之间并非完全独立，提高功率可能会导致燃油消耗增加，而降低噪声又可能会增加成本。
因此，多目标优化的关键在于找到一组最优的设计变量，使得各个目标函数都能达到相对满意的水平。
在解决多目标优化问题时，常用的方法包括加权法、目标规划法和Pareto 最优解方法等。
加权法是将多个目标函数通过赋予不同的权重转化为一个综合的目标函数，然后进行优化求解。
这种方法的优点是简单直观，但权重的确定往往具有一定的主观性，可能会影响最终的优化结果。
目标规划法则是通过设定各个目标的期望水平和偏差范围，将多目标问题转化为一个目标与期望水平偏差最小的规划问题。
这种方法能够较好地处理目标之间的优先级关系，但对于复杂的多目标问题，可能会出现计算量过大的问题。
Pareto 最优解方法是目前多目标优化中应用较为广泛的一种方法。
Pareto 最优解是指在一组解中，不存在任何一个解在不降低其他目标函数值的情况下，能够使得某一个目标函数值得到进一步的改善。
通过寻找 Pareto 最优解集，设计师可以根据实际需求从众多非劣解中选择一个最满意的解。
这种方法能够充分考虑多个目标之间的权衡关系，为设计师提供更多的选择。
然而，仅仅得到多目标优化的解集还不够，还需要进行决策以确定最终的设计方案。
决策过程需要综合考虑各种因素，如技术可行性、经济成本、市场需求和社会环境等。
常用的决策方法包括基于偏好的决策方法、基于多属性决策的方法和基于模糊理论的决策方法等。
多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型
程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法 ．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 n 个因素 C1 , C 2 , , C n 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。 採用的方法是：每次取两个因素 C i 和 C j 比较其对目标因素 O 的影响，并用 aij 表示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
分析：
W1 W2 若重量向量 W 未知时， 则可由决策者对物体 M 1 , M 2 , , M n 之间两两相比关系， W n 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致 的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量 W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离 一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向 量 W 也相差不大的道理：由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件） ，但用特征根来求特征向量 时， 应回答充分条件： 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 A 的最大特征根 max n 时， A 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A 的特征根 和特征向量 W 连续逼近一致阵 A 的特征根 和特征向量 W 时，即： 由 lim k
Matlab中的多目标决策与多目标规划方法
Matlab中的多目标决策与多目标规划方法在工程和科学领域中，我们经常需要做出多个决策来解决一个问题。
而在现实中，这些决策可能有不同的目标或要求。
为了解决这个问题，我们可以利用Matlab中的多目标决策和多目标规划方法。
首先，让我们了解一下什么是多目标决策。
在传统的决策模型中，我们通常只有一个目标，在决策过程中我们优化这个目标。
然而，在实际问题中，往往存在多个目标，这些目标之间可能是相互矛盾的。
例如，在设计一个产品时，我们可能要同时考虑成本、品质和交货时间等多个目标。
这时，我们就需要多目标决策方法来找到一个最优解。
在Matlab中，我们可以利用多种多目标决策方法来解决这个问题。
其中一种常用的方法是多目标遗传算法（MOGA）。
遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。
它从一个初始的种群开始，通过模拟自然进化的过程，逐渐优化目标函数。
而多目标遗传算法则是在遗传算法的基础上进行了改进，使其能够同时优化多个目标。
多目标遗传算法的基本思想是通过保留当前种群中的一些非支配个体，并利用交叉和变异操作产生新的个体。
通过不断迭代，逐渐逼近最优解的非支配解集。
这样，我们就可以得到一系列的解，这些解都是在多个目标下都是最优的。
除了遗传算法外，Matlab还支持其他多目标决策方法，如多目标粒子群算法（MOPSO）和多目标蚁群算法（MOACO）。
这些方法在原理上有所不同，但都能够有效地解决多目标决策问题。
与多目标决策密切相关的是多目标规划。
多目标规划是一种数学优化方法，用于解决存在多个目标的问题。
在多目标规划中，我们需要同时优化多个目标函数，而不是简单地将它们合并成一个目标函数。
这使得我们可以获得一系列的最优解，而不是一个单一的最优解。
在Matlab中，我们可以使用多种多目标规划方法来解决这个问题。
其中一种常用的方法是帕累托前沿方法（Pareto Front）。
帕累托前沿是指在多目标问题中，不能通过改变一个目标而改善其他目标的解。
第17章多目标决策法
W1
M1
3
Mi
1.9439 3
0.6480
W2
i 1
M2
3
Mi
i 1
0.6896 3
0.2299
AW
1 3
1
20.2299 0.6903
1 5
1 2
10.1222
0.3668
max
3 i 1
( AW )i nWi
1.9487 3 0.6480
0.6903 0.3668 3.0038 3 0.2299 3 0.1222
23
15
0.1304
a12
a22
a12
3
ak 2
k 1
a22
3
ak 2
k 1
3 9 2 1 9 2
0.6667 0.2222
a32
a32
3
ak 2
k 1
1 2
9
2
0.1111
a13
a13
3
ak 3
5 8
0.625
a23
k 1
a23
3
ak 3
k 1
2 8
0.25
第十七章 多目标决策法
17.1 多目标决策概述 17.2 层次分析法 17.3 优劣系数法
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17.1 多目标决策概述
多目标决策的概念：统计决策中的目标通 常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个 目标的决策问题的决策，即称为多目标决策。
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一、多目标决策的特点 多目标决策的两个较明显的特点： （1）目标之间的不可公度性； （2）目标之间的矛盾性。
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多目标决策分析之层次分析法
效用函数正是一种统一的数量标度。
2.1.3 评价准则和效用函数
多目标决策中，任何一个方案的效果均可 以由目标准则体系的全部结果值所确定。 可行方案在每一个目标准则下，确定—个 结果值，对目标准则体系，就得到一组结 果值，并经过各目标准则的效用函数，得 出一组效用值。
方案层各方案关于目标准则体系整体的优 先权重，是通过递阶层次从下到上逐层计 算的。这一过程称为递阶层次权重解析过 程。
递阶层次权重解析过程
(1)测算每一层次关于上一层次某元素的优先 权重（相邻两层次间的权重解析）
方法： 构造判断矩阵； 计算判断矩阵的最大特征值和特征向量； 以特征向量各分量表示该层次元素的优先权 重（？），得到层次单排序。
是一种定性与定量相结合的多目标决策分析 方法。
AHP决策分析法，能有效地分析非序列型多 层次目标准则体系，是解决复杂的非结构化 的经济决策问题的重要方法，是计量经济学 的主要方法之一。
科研课题的综合评价
综合评价科研课题
成果贡献 人才培养
可行性
发展前景
实
科
优
难
研
财
用
技
势
易
究
政
价
水
发
程
周
支
值
平
挥
度
实际中，模型的层次不宜过多，每层元素一 般不宜超过9个。目的：避免模型中存在过 多元素而使主观判断比较有困难。
2. 层次元素排序的特征向量法
构建了层次结构模型，决策就转化为待评 方案（最低层）关于具有层次结构的目标 准则体系的排序问题。
多目标决策法
多目标决策的概念：统计决策中的目标通
常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个
目标的决策问题的决策即称为多目标决策。
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一、多目标决策的特点 多目标决策的两个较明显的特点：
（1）目标之间的不可公度性；
（2）目标之间的矛盾性。
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多目标决策目标体系分类： （1）单层目标体系； （2）树形多层目标体系； （3）非树形多层目标体系。
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处理多目标决策问题遵循的原则：
1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目 标个数。常用的方法有： （1）除去从属目标，归并类似目标。 （2）把那些只要求达到一般标准而不要求达 到最优的目标降为约束条件。 （3）采取综合方法将能归并的目标用一个综 合指数来反映。 2、分析各目标重要性大小、优劣程度，分 别赋予不同权数。
W (W1 ,W2 ,,Wn ) 可按下式计算：
W W (0)W (1) W ( m)
具有最大权重的方案就是最优方案。
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例题分析
• 例 1 考虑投资兴建一个旅游点，选择一个最理 想的地点就是决策目标。现在有三个地点D1、 D2、D3可供选择。评选的标准有六个:
通过计算一致性指标和检验系数进行检验。 一致性指标： CI
max n
n 1 CI 检验系数： CR RI
其中，
RI
是平均一致性指标 ，通过查表获得。
一般地，当CR<0.1时，可认为判断矩阵具有满 意的一致性，否则，需要重新调整判断矩阵。
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平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反 矩阵计算结果）
矩阵 阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
多目标决策
多指标决策的特点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 指标之间的矛盾性。某一指标的完善往往会损害 其他指标的实现，即改进某一指标值可能会使其他指 标值变坏。 5. 定性指标和定量指标混合。 6. 方案与指标的关系可以明显地表示出来，例如， 表示成一个矩阵。
多指标决策的解
设一个决策问题，有两个效益型指标，分别是x1和 x2，有6个备选方案，可以用二维坐标图表示如下：
地理位置
0
职业前景
职业安全性
A公司 B公司
加权分值在雷达图中强调评判决策方案的标准差别，特 别是权重较大的标准。
多指标工作选择 指标 A公司 B公司 权重 工资 0.085 0.09 职业前景 0.285 0.21 职业安全性 0.24 0.38 地理位置 0.18 0.14 0.1975 0.205
决策指标权重的确定
通常，确定指标权重的方法可以分为以下三类： 3. 组合赋权法 由于主、客观赋权法各有利弊，实际应用中应该有 机结合。已有不少学者提出了综合主、客观赋权的组合
赋权法，主要有方差最大化赋权法、组合目标规划法、
但是，决策者可以预先规定一个满足原定目标的最低 要求，然后寻找满足这些最低要求的方案．这样就把决 策过程大大简化了.
例如，在一块面积很大的玉 米田里，如果要找一个最大最长 的玉米，就必须测定所有的玉米 之后，才能找到．但是如果把要 求改为寻找一个能使人吃饱肚子 的玉米，问题就大大简化了．只 要找一个比较大的玉米就能填饱 肚子
多指标决策（Multiple Attribute Decision making ，MADM），也称为多属性决策或有限方案的多目 标决策，是现代信息分析与决策科学中的一个重要 组成部分，在社会、经济、管理、医药卫生等诸多 领域有着广泛的应用。 在医药卫生领域，类似的问题有医疗机构/科室工 作评价、医疗方案选择、临床疗效比较等。 在解决这些问题时，往往要同时考虑多项指标，而 不是简单地由一两个指标来反映。
多目标决策分析方法
多目标决策问题 连续型， x ( x1 , x2 ,, xN )
X x | g i ( x ) 0, i 1, 2, , m , x R N
用目标函数 f j (x ) ， j 1,2, , n 表示 包括系统建模、由模型生成方案集；
F { f1 , f 2 ,, f n }
衡量各目标达到程度的标准。即属性以及属 性值的可获得性，清楚地说明问题的边界与 环境。
3）构造模型
第三步，构造模型。选择决策模型的形式，
确定关键变量以及这些变量之间的逻辑，估 计各种参数，并在上述工作的基础上产生各 种备选方案。
4）分析评价
第四步，分析评价。利用模型并根据主观判
断，采集或标定各备选方案的各属性值，并 根据决策规则进行排序或优化。
4. 几个术语的含义 ：
(1)属性(attribute):备选方案的特征、品质或性能参 数。
(2)目标(objective):决策人所感觉到的比现状更佳的 客观存在，用来 表示决策人的愿望或决策人所希望 达到的、努力的方向。在多目标决策问题中，目标 是求极值(极大或者极小)的对象，即需要优化的函数 式。
(3)目的(goal):目的是在特定时间、空间状态下，决 策人所期望的事情。目标给出预期方向，目的给出 希望达到的水平或具体数值。 (4)准则(criterion):准则是判断的标准或度量事物价 值的原则及检验事物合意性的规则，它兼指属性及 目标。
一、多目标决策概述
1.多目标决策的示例
1）宏观经济决策中的大型投资 项目决策问题
另一类是对待建系统的评价。
该类评价以获取系统为目的、评价只是获取
系统的决策的依据。 对多个方案进行评价，主要用于决策。
多目标决策
乘法规则多维合并公式
n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于0。公式：一般公式： 对数形式：ρi为正常数。
举例
例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合关系，符合乘法法则。功能强而可靠性差的系统，或者可靠性好而功能差的系统，起总体运行质量都是差的，两者之间不能相互代替和补偿。
制定多目标决策的过程
明确问题，标明目标和辨别属性
实施或重新评价ຫໍສະໝຸດ 多维效用并合方法 多目标决策问题有s 个评价准则，有 m 个可行方案ai（i=1,2,……,m）。相应的效用函数为u1,u2,……,us，在s 个评价准则下的效用值分别是uj(i),j=1,2,……,s。将s 个分效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行评价选优。这种多目标决策方法，称为多维效用并合方法。主要用来解决序列型多层次目标准则体系问题。
多维并合的距离规则计算公式
n维效用空间是2n个顶点的凸多面体，其中必有一点Q*(1,1,……,1)为最大值点,即W(Q*)=1。也必有一点Q(0,0,……,0)为最小值点。N维效用空间任一点Q与点Q*的距离为d。点Q*与Q之间的距离为 ，于是：
代换规则
二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用达到最高水平一样，形象的说，代换规则反映了效用之间的“一好遮百丑”的特征。
返回
评价准则和效用函数
不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同，如何给出可行方案关于全部目标的满意度，是多目标决策的关键。为此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳和综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。如：效用和效用函数
不确定型决策问题的解决方法
不确定型决策问题的解决方法解决不确定型决策问题的方法不确定型决策问题是指在决策过程中，决策者无法准确预测或确定决策结果的一类问题。
这类问题通常存在风险、不确定性以及不完备的信息，因此在决策过程中需要采用一些特定的方法来解决。
下面将介绍几种解决不确定型决策问题的方法：1. 概率分析方法：概率分析是通过对可能发生的事件进行概率分析来进行决策的一种方法。
通过收集和分析历史数据，决策者可以计算出不同决策结果发生的概率，并根据这些概率来做决策。
概率分析方法适用于决策问题的可能结果是可以量化和可测量的情况。
2. 决策树方法：决策树是一种将决策过程表示为有向无环图的方法。
利用决策树，决策者可以通过根据已知信息不断追溯决策的可能结果，来做出决策。
决策树方法适用于决策问题的可能结果是可以有限且离散的情况。
3. 模糊决策方法：模糊决策是一种在不确定性和模糊性的条件下进行决策的方法。
模糊决策方法允许决策者对问题进行模糊化处理，通过模糊数学的方法来建立模糊决策模型，并利用这个模型来做出决策。
模糊决策方法适用于决策问题的可能结果是不确定且模糊的情况。
4. 多目标决策方法：多目标决策是一种在决策中考虑多个决策目标的方法。
在多目标决策中，决策者需要将不同的决策目标进行权衡，并根据不同目标的重要性来做出决策。
多目标决策方法适用于决策问题的决策目标是多个且相互矛盾的情况。
5. 情景分析方法：情景分析是一种通过分析不同决策情境来进行决策的方法。
情景分析方法允许决策者根据不同的情境来选择合适的决策策略，并在实际决策过程中根据情况的变化进行调整。
情景分析方法适用于决策问题的决策结果是不确定的且可能受到外部环境因素的影响的情况。
在实际应用中，以上方法可以结合使用，以提高决策的准确性和有效性。
此外，还可以采用专家咨询、技术评估等方法来获取更多的信息和意见，从而更好地解决不确定型决策问题。
多目标决策
10、多目标决策▪在决策时，所考虑的目标通常不止一个；▪目标越多，决策的复杂程度也越高；▪在设定目标时应遵循以下原则：（1）尽量减少目标数剔除从属目标，将类似目标归类合并；通过构造综合函数形成综合目标（2）按重要性排列目标实现次序目标评价准则是能用数量大小来表示或衡量结果是否达到预定目标，或多大程度上达到预定目标的某种准绳或法则。
有时，对现有目标无法找到合适的评价准则，必须对其细分为多级子目标，对最下级的子目标建立评价准则。
▪单层目标体系所有目标均属同一层次，不须分解，可分别用单个准则加以衡量。
▪序列多层目标体系各目标按序列分解为下一级子目标，不同类子目标之间无相互影响▪非序列多层目标体系不同类子目标之间存在相互影响通过多轮专家咨询来构建目标准则体系；专家人数20-50书面反应（背靠背）。
Delphi法通过对多个专家意见进行统计处理，归纳和综合，然后进行多次信息反馈，使成员意见逐步集中，从而得出最终结果。
Delphi法的实施步骤（1）提出问题（2）选择并确定专家组成（3）制定第一个咨询表并发给专家（4）收集第一个咨询表并加以初步分析（5）制定第二个咨询表并发给专家（6）收集第二个咨询表并加以统计处理（7）制定第三个咨询表并发给专家（8）收集第三个咨询表并对新数据加以统计处理（9）准备最后的报告⏹层次分析法（Analytic Hierarchy Process通过确定优先权数对方案进行排序。
⏹当准则间的结构比较复杂且具有多个层次时，是准则归并最有效的方法之一⏹AHP的两大优势作用✓有效确定子目标或准则权重✓通过定性评估（总目标第一级目标第n级目标准则方案AHP的基本思路是根据准则对目标、以及方案对准则两两比较其优先权数（“根据优先权数得出各方案的综合评估。
子目标对上一级目标的重要性准则对目标的重要性方案对准则的优劣基本思想—m个物体相对重量矩阵重量向量⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m m g g g g g g g g g g g g B //////1212111相对重量矩阵（已知）不难看出，有矩阵B 的特性biibijbij条件3实际上表示一种传递性，即若比C好n倍，则⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m m g g g g g g g g g g g g B //////1212111 当矩阵零特征根λmax 的特征向量！相对重量矩阵（已知）故可通过求最大特征值对应的特征向量的方法由相对重量求出重量。
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多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21≤≤≤x g x g x g TS p决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间})({X x x f F ∈=两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
（９）字典序数法和多属性效用理论法等。
二、几种常见方法简介及应用1．加性加权法（1） 基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。
虽然价值函数很难确切描述，但决策者认为效用合成可用加性，另外，每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。
（2） 符号说明：ij y :第i 个方案关于第j 个属性的取值；ij z :ij y 的规范值；j w :第j 个属性的权重；i v :第i 个方案的综合取值(3)加性加权模型：1max ii mv ≤≤1ni j ijj v W Z ==∑1,......i m= 1,.....j n = （１）ij z 的规范算法：max max min ij ij ij ij ijY Y Z Y Y -=- 当为j 成本型时，min max min ij ij ij ij ijiiY Y Z Y Y -=- 当j为效益型时，[]0,1ij Z ∈,当1ij Z =时，最优；0ij Z =时，最差。
规范后ij Z 是越大越优的。
Note :特殊问题的规范化值例子：人员招聘中对人的满意度的评价――――公务员的招聘（4）权重Wi 的求解 ――关键两种：一是直接由决策者给出；二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。
由决策者对目标的成对比较，来导出属性目标的权重：成对比较矩阵()ij n n A a ⨯=ij a :第i 个目标相对于第j 个目标的重要性（按1-9比例标度赋值，这是根据心理学家的研究，认为人们区分信息等做的极限能力为7±2，标度1，3，5，7，9对应于两因素相比为同等重要，略微重要，比较重要，非常重要和绝对重要，而2，4，6，8表示两判断之间的中间状态对应的极度值） 成对比较矩阵性质：正互反性jia 1a ij =，0W 0A max >≥>且存在时，,n λ；A 为一致阵0==↔i max ,n λλ例1：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=143214134132312231214321A ∑=n λ 1)(=A r 理论说明：二阶．三阶虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性，因而判断矩阵A 未必是一致阵。
但是仍要求A 有大体上的一致性。
也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的逻辑谬误。
因此对A 需作检验，关于A 的一致性检验分如下几步： （1） 计算一致性指标max 1nCI n λ-=- (２)(2)查找相应的平均一致性指标RI表1：1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RIn 1 2 345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15RI0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59（３）计算一致性比例CRCICR RI=(３) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。
利用上述成对比较矩阵，可采用和法，根法，特征根法，最小平方法来计算权重，具体方法如下：和法： 111n iji n j kjk a W n a ===∑∑ 1,2,......i n = ，11nii w==∑（４） 例 2 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131231321311A 1593.01=W 5889.02=W2578.03=W 如果已求得各权重向量1w ，…wn ，则 max λ也可由下式计算得到：111max nij jnj ia wn w λλ===∑∑(５)根法： 11111n nij j i n n n kj k j a W a ===⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭∏∑∏ 1,2,......i n = ， 11ni Wi ==∑（６）1507.01=W 5753.02=W 2740.03=W 特征根法：()max 0A I W λ-= ()12,,......Tn W W W W =11ni Wi ==∑ 得 唯一正解 （７）0536.3max =λ 1571.01=W 5936.02=W 2493.03=W 最小平方法: ()211min nnij j i i j a w w ==-∑∑11ni Wi ==∑（条件极值求得）（jiw w ≈ij a ） （８） 1735.01=W 6059.02=W 2206.03=W迭代法：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131231321311A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3131310ek k Ae e =+1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2206.06176.01618.010e⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=75.076.136.02e⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2602.06122.01301.07500.07648.13677.08825.2120e ．．．．．． 注意：差异不大，可根据具体情况选择使用计算实例：控制仪器的购买某人拟购买一个控制仪器，现有四种产品可供选择。
每种产品的满意度用4个目标去衡量，即：可靠度，成本，外观和重量。
每个目标对应的属性值都可以量化。
每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示的1X ,2X ,3X ,和4X 分别代表4个产品。
在这4个目标中，可靠度和外观的值越大越好，成本和重量值越小越好。
试帮助该人确定这四种仪器的优势。
仪器购买的决策矩阵方案属性可靠性()1f x 成本()2f x外观()3f x重量()4f x1X 7 89 6 2X 6 7 8 3 3X 5 6 7 54X41067表1方案4X 的每个属性值都劣于方案1X 的每个属性值，故方案4X 是一劣解，将其从方案集中排除，则待选方案为 1X ,2X ,3X 。
对效益型属性1f ,3f 和成本型属性 2f ,4f 利用（3）和（2）将方案1X ,2X ,3X 的属性进行规范化处理，得：10100.50.50.510100.333Z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵；124512122141211151211A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（一致性检验不能少！） 采用（4）式（111n iji n j kjk a W n a ===∑∑）计算得：10.5174W =, 20.2446W =,30.1223W =, 40.1157W =最后计算得三个方案1X ,2X ,3X 的目标值i V 为：1ni j ij j V W Z ==∑ 故10.6397V =,20.5579V =,30.2831V =因此，四种产品的选择顺序为： 1234X X X X >>>2 基于理想解的排序模型（目标规划法）（1）基本假设1. 属性描述用基数定量描述，且相互独立；2. 决策者偏好用权 （2）符号说明*j Z ：各属性规范化后的最优值，*x ：理想解，即*x 所对应的各属性值都是规范化后的最优值i S ：第i 个方案与理想解的测度（2） 基于理想解的排序模型()2*11min minni j ij j i mij S w Z Z ≤≤==-∑（９）如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同，可用如下模型计算：()2*11min minni ij j i mij S Z Z ≤≤==-∑ （10）注意：ij Y 的规范化可采用如下的方法： ()21ijij mij i Y Z Y ==∑ ()211mij i Z ==∑ （11）理想解*x 的各个属性值()*1,2,......j Zj n =的确定可用如下方 法''1,2,3......,JJ n JJ ==∅应用——控制仪器的购买（内容如上）首先排除劣解X4，将各方案的各个属性利用（11）式规范化得：0.66740.65540.64620.70710.57210.57340.57440.35360.47460.49150.50260.5893Z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此得理想解*x 的各个属性分量为：()0.66740.49150.64620.3536权重仍用加性加权模型的结果，即各个权重的属性分量为：()0.51740.24460.12230.1157代入（９）式计算得：10.1464S =，20.0835S =，30.1672S =即四种产品的选择顺序为：2134X X X X >>>3 线性分配模型（1） 基本假设1. 属性描述采用序数形式，决策者的偏好仍用权来表示2. 对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列。
（2） 符号说明：ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称()ij m n W W ⨯=为权矩阵。