数量积向量积混合积(4)

两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
a b a x b x a yb y a zb z 0
例 a
b1；已（知2）aa与{1,b1的,4夹}，角b； （{13,）2a,2在}，b求上（的1投）影.
解 (1)ab 1 1 1 ( 2 ) ( 4 ) 2 9.
(2 )cos a x b x a yb y a zb z
右 手 系 . 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1 )a a 0 .
( 0 si n 0 )
(2)a //b a b 0 . (a 0 ,b 0 )
证
() ()
| a a s a /ib / b bn | |0 0 a ,, |b || a s |0 或 00,, i 0 a . |b/n /s b|i0 ,n 0
若 、为数：(a ) (b ) ( a b ).
设
a a x i a y j a z k , b b x i b yj b z k
ab(a x i a y j a zk ) (b x i b yj b z k )
i j k, i j j k k i 0 ,
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
a//
b ax
ay
az
bx by bz
bx、 by、 bz不 能 同 时 为 零 ， 但 允 许 两 个 为 零 ，
例如， ax ay az 0 0 bz
ax0,ay0
补充
|a b |表 示 以 a 和 b 为 邻 边
co s0,
,
a b.
()
ab, ,
2
2
co s0,
a b |a |b | |c o 0 . s
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：a b b a ; （2）分配律：( a b ) c a c b c ;
（3）若 为数： ( a ) b a ( b ) ( a b ),
用于这杠 杆上 P 点处．力 F 与 OP 的夹角为
，力 F 对支点O 的力矩是一向量 M ，它的模
F
|M | |O |F |Q |
O
P
L
|O |F |P |sin
Q
M的方向垂直于OP与F所决
定的平面, 指向符合右手系.
c 定的 |义c 方 | 向 向 |a 量 既 |a b 垂 |与 |直 sb 于 的 ia 向 ， n 量 又 ( 其 积 垂 中 为 直 于 为 c b a ， 与 a 指 b b 向 的 符 夹 合 角 )
向量积符合下列运算规律：
（（21））分a 配 律b ： ( a b a b . ) c a c b c .
（3）若 为数：( a ) b a ( b ) ( a b ).
设
a a x i a y j a z k , b b x i b yj b z k
a x 2 a y2 a z2 b x 2 b y2 b z2
1 ,
3 .
( 3 )a b |b |P 2 j b a r Pr jba 4a |b b | 3.
例 2 证 明 向 量 c与 向 量 (a c)b (b c)a 垂 直 . 证 [a ( c ) b ( b c ) a ] c
|i| |j| |k | 1 ,
i i j j k k 1 . a b a x b x a y b y a z b z
数量积的坐标表达式
a b |a |b ||co s cos
ab
,
|a||b|
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 Байду номын сангаасx2by2b z2
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义 向 量 a 与 b 的 数 量 积 为 a b
a b |a |b ||co(其 s 中 为 a 与 b 的 夹 角 )
b
a
a b |a |b ||cos
|b|c o sP rja b , |a|co sP rjba,
ab|b|P rjba|a|Prjab.
第三节 数量积 向量积 混合积
一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 思考题
一、向量的数量积 (scalar product)
实动W 例到 点|一F 物M|s 体2|，|c 在以常so 力表F示(s 作其位中用移下，为沿则直力F线与F从所s点的作夹的 M角功 1移)为
[ a c ( ) b c ( b c ) a c ] ( c b )a [ c a c ]
0 [ a c ( ) b ( b c ) a ] c
二、向量的向量积 (vector product)
实例 设O 为一根杠杆 L的支 点，有一力 F 作
ab(a x i a yj a zk ) (b x i b yj b z k )
i i j j k k 0 ,
ijk, jki,
kij,
j i k, kj i, ikj.
( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
的 平 行 四 边 形 的 面 积 .
a
c a b b
例 3 求 与 a 3 i 2 j 4 k ， b i j 2 k 都
垂 直 的 单 位 向 量 .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积.
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
(1 证)a a |a 0|,2. a a |a |a |c o |a | 2 .s
(证2 )(a b ) 0 a b 0 a,|ba .|0,|b|0,