[整理]数学分析教学大纲(刘玉莲)

包头师范学院“数学分析”课程教学大纲
《数学分析》教学大纲
课程编号： 课程性质： 基础必修课
适用专业： 数学与应用数学专业（本科） 选用教材：
《数学分析讲义》 （第五版） 刘玉琏等编著
高等教育出版社 2008 年 10 月
包头师范学院数学科学学院
函数论教研室
数学分析课程教学大纲
课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20
适用专业：数学与应用数学
先修课程：高中数学
使用教
材：
刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》
（第四版），高等教育出版
社，
2002 年10
月。

参考书：陈传璋等编著《数学分析》（第二版），高等教育出版社，1983 年7 月。

1987 年获全国优秀教材一等奖。

华东师大编《数学分析》，面向21 世纪课程教材
一、课程性质、目的和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业（信息与计算科学专业）的一门重要基础课。

本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同
时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。

通过本课程的学习学会分析方法、培养学生
的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。

二、教学基本要求
在教学中，应注意本课程的整体结构，各部分知识的内在联系，以及与初等数学和后继课程的联系。

要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。

通过课堂教学及进行大量的习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，能综合应用所学知识解
决实际问题，并且了解分析学的基本概念及物理、几何意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。

三、教学内容及要求
依据《2001 年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》，本课程教学在第1、2、3、4 学期进行，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》。

《数学分析Ⅰ》
第一章函数 §1.1. 函数一、函数概念，二、函数的四则运算，三、函数的图象四、数列 §1.2. 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数，二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数
§1.3. 复合函数与反函数
一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数的概念，函数的表示，函数的复合运算和
具有特殊性质的函数。

第二章极限
§2.1. 数列极限
( 1) n
、 极限思想，二、数列 的极限，三、数列极限的概念
n
§ 2.2. 收敛数列
、收敛数列的性质 二、收敛数列的四则运算 三、数列的收敛判别法 四、子数列 § 2.3. 函数的极限
、当 x 时，函数 f (x)的极限，二、当 x a 时，函数 f (x)的极限 § 2.4. 函数极限的定理，
一、函数极限的性质 二、函数极限与数列极限的关系 三、函数极限存在判别法 § 2.5. 无穷大与无
穷小
一、 无穷小，二、无穷大，三、无穷小的比较 重点掌握： 数列极限的定义与性质， 收敛判别的单调有界原理， 函数极限的定义与性质， 两个重要极限，无穷大与无穷小的定义与性质。

第三章 连续函数 § 3.1. 连续函数
一、 连续函数的概念，二、间断点及其分类
§ 3.2. 连续函数的性质
一、 连续函数的运算及其性质 二、闭区间连续函数的性质 三、反函数的连续性 四、初等函数的连续性
重点掌握：函数连续的定义，闭区间连续函数的性质。

《数学分析Ⅱ》
第四章 实数的连续性
§ 4.1. 实数连续性定理
一、闭区间套定理 二、确界定理 三、有限覆盖定理 四、聚点定理 五、致密性定理 六、柯西收敛准则
§ 4.2. 闭区间上连续函数性质的证明
一、 性质的证明 二、一致连续性 重点掌握：上、下确界的定义，实数连续性的基本定理及其证明，一致连续的概念， 闭区间连续函数的性质的证明。

第五章 导数与微分
§ 5.1. 导数， 、 实例，二、导数概念 § 5.2. 求导法则与求导公式
、 导数的四则运算 二、反函数的求导法则 数 § 5.3. 隐函数与参数方程求导法则 、 隐函数求导法则，二、参数方程求导法则 § 5.4. 微分
、微分的概念 二、微分的运算法则和公式 § 5.5. 高阶导数与高阶微分
、高阶导数 二、莱布尼茨公式 三、高阶微分
重点掌握：导数与微分的定义，运算及应用，高阶导数与高阶微分。

第六章 微分学的基本定理及其应用
§ 6.1. 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日定理 三、柯西定理
三、复合函数的求导法则 四、初等函数的导
三、微分在近似计算上的应用
§6.2. 洛必达法则
一、0型，二、型，三、其它待定型
§6.3. 泰勒公式
一、泰勒公式，二、常用的几个展开式
§6.4. 导数在研究函数上的应用
一、函数的单调性二、函数的极值与最值三、函数的凸凹性四、曲线的渐近线五、描绘函数图象
重点掌握：微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，利用导数研究函数性质，作出函数图象。

第七章不定积分
§7.1. 不定积分
一、原函数，二、不定积分
§7.2. 分部积分法与换元积分法
一、分部积分法，二、换元积分法
§7.3. 有理函数的不定积分
一、代数的预备知识，二、有理函数的不定积分
§7.4. 简单无理函数与三角的函数的不定积分
一、简单无理函数的不定积分，二、三角函数的不定积分重点掌握：不定积分的定义及性质，不
定积分的计算。

第八章定积分 §8.1. 定积分的概念
一、实例，二、定积分的概念
§8.2. 可积准则一、小和与大和，二、可积准则，三、三类可积函数
§8.3. 定积分的性质
一、定积分的性质，二、定积分中值定理
§8.4. 定积分的计算
一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分的基本公式四、定积分的分部积分法五、定积分的换元积分法
§8.5. 定积分的应用
一、微元法二、平面区域的面积三、平面曲线的弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体的侧面积六、变力作功
§8.6. 定积分的近似计算
一、梯形法，二、抛物线法重点掌握：定积分的定义，存在条件及性质，定积分的计算及应用。

《数学分析Ⅲ》
第九章级数
§9.1. 数值级数
一、收敛与发散的概念二、收敛级数的性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数的性质
§9.2. 函数级数
一、函数级数的收敛域二、一致收敛的概念三、一致收敛判别法四、函数列的一致收敛五、和函数的分析性质
§9.3. 幂级数
一、幂级数的收敛域二、幂级数和函数的分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数的幂级数展
开五、幂级数的应用
§9.4. 傅里叶级数
一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数的傅里叶级数
五、以2l 为周期的函数的傅里叶级数重点掌握：收敛与发散的概念，收敛级数的性质，同号级数、变号级数收敛性判别法，函数项级数、一致收敛、一致收敛级数的性质，幂级数的概念，收敛半径，和函数的分析性质，函数的幂级数展开，傅里叶级数的概念收敛定理，函数展开成傅里叶级数。

第十章多元函数微分学
§10.1. 多元函数
一、平面点集二、坐标平面的连续性三、多元函数的概念
§10.2. 二元函数的极限与连续
一、二元函数的极限二、二元函数的连续性
§10.3. 多元函数微分法
一、偏导数二、全微分三、可微的几何意义四、复合函数微分法五、方向导数
§10.4. 二元函数的泰勒公式
一、高阶偏导数二、二元函数的泰勒公式三、二元函数的极值重点掌握：多元函数的概念，二元函数的极限和连续概念与性质，偏导数、全微分，复合函数偏导数的链式法则，微分运算法则，极值的概念与计算。

第十一章隐函数 §11.1. 隐函数存在定理
一、隐函数的概念，二、一个方程确定的隐函数，三、方程组确定的隐函数 §11.2. 函数行列式一、函数行列式，二、函数行列式的性质，三、函数行列式的几何性质
§11.3. 条件极值
一、条件极值与拉格朗日乘数法，二、例
§11.4. 隐函数存在定理在几何方面的应用
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理，函数行列式的性质，条件极值的概念与计算，曲线的切线与法平面和曲面的切平面与法线方程。

《数学分析Ⅳ》
第十二章反常积分与含参变量的积分 §12.1. 无穷积分
一、无穷积分收敛与发散的概念，二、无穷积分与级数，三、无穷积分的性质，四、无穷积分的敛散性判别法
§12.2. 瑕积分一、瑕积分收敛与发散的概念，二、瑕积分的敛散性判别法
§12.3. 含参变量的积分
一、含参变量的有限积分，二、含参变量的无穷积分，三、函数与函数重点掌握：无穷积分收
敛与发散的概念及敛散性判别法，瑕积分收敛与发
散的概念及敛散性判别法，含参变量的有限积分的概念与分析性质，含参变量的无穷积分的概念，一致收敛的定义与判别法，含参变量无穷积分的分析性质，函数与函数。

第十三章重积分§13.1. 二重积分
一、曲顶柱体的体积二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、二重积分的计算五、二重积
分的换元六、曲面的面积
§13.2. 三重积分
三重积分的概念二、三重积分的计算三、三重积分的换元四、简单应用
重点掌握：重积分的概念与性质，二重积分及二重积分、三重积分的计算及柱面坐标与球面坐标。

第十四章曲线积分与曲面积分
§14.1. 曲线积分
一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系
四、格林公式，五、曲线积分与路线无关的条件
§14.2. 曲面积分
一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式，
§14.3. 场论初步
一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子
重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二型曲线积分与曲面积分的定义及计算，格林公式，曲线积分与路线无关的条件，奥高公式，斯托克斯公式。

四、教学重点与难点
《数学分析Ⅰ》的重点内容有：极限论、函数的连续性，极限的- 定义。

《数学分析Ⅱ》的重点内容有：实数的连续性、微分学、微分学的基本定理、积分学。

难点是：实数连续性定理及其证明，闭区间上连续函数性质的证明，一致连续性。

《数学分析Ⅲ》的重点内容有：级数论和多元函数微分学。

难点是：函数级数一致收敛的概念，函数的幂级数展开，傅里叶级数收敛性判别法，隐函数存在定理，条件极值的计算《数学分析Ⅳ》的重点内容有：广义积分与含参变量的积分，重积分、曲线积分与曲面积分。

难点是：含参广义积分的一致收敛概念，各类积分之间的关系。

五、学时分配
《数学分析Ⅰ》
数学分析Ⅱ》
总学时108 学时，其中讲授学时，习题课学时。

《数学分析Ⅲ》
总学时108 学时，其中讲授学时，习题课学时。

《数学分析Ⅳ》
总学时72 学时，其中讲授学时，习题课学时。

七、考核方式
本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合的方式。

平时考核成绩占
15%，期末考试卷面成绩占85% 。

总分共100 分。