数理方程第4讲分离变量法

l l n at n at l n x un ( x , t ) ( A Bn sin 2 )lcos n 1,2, n cos 1 n l l l B0 0 0 ( )d Bn l 0 ( ) cos d l n a l 故 n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1
特点: 方程齐次, 边界齐次.
端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间 往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。 驻波的特点： (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关， 按同一方式随时间振动，可统一表示为 T ( t ) . (2) 各点振幅X 随点 x 而异，而与时间无关， 用X(x)表示,所以驻波可用X ( x )T ( t )表示。
t 0;
l 10, a 2 10000, 代入公式计算
Dn
1 500 n

10
0
( )sin n10 d 0
10
1 Cn 5000

0
n x 10 x sin xdx 10
2 1 cos n 3 3 5n 0, 当 n 为偶数， 4 , 当 n 为奇数。 3 3 5n
特征值
代入初始条件确定未知 系数
定理：若在区间 [0, l ]上， ( x ) C , ( x ) C
3
2
且
(0) ( l ) "(0) "( l ) 0, (0) ( l ) 0
则无穷级数解
u( x , t )
n at ( An cos l n1


n at n x Bn sin l ) sin l
为如下混合问题的解
utt a 2 uxx 0 0 xl u xl 0 u x 0 0 0 xl u t 0 ( x ) u 0 xl t t 0 ( x )
例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，
' ' T0 0 2 2a 2 n Tn'' Tn 0 2
l
n0
T0 ( t ) A0 B0 t nat nat Tn ( t ) An cos Bn sin l l
n 1,2,
所以 将 ( x ), ( x ) 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 1 l B t 2 l n u0 ( x , t ) A 0 0 A0 0 0 ( )d An n 0 ( ) cos d
XT '' a X "T 0 化简: X ' (0)T ( t ) 0 X ' ( l )T ( t ) 0 '' '' T X 引入参数 得 X a 2T
2
' ' T
X a 2T X ' ( 0) X ' ( l ) 0

' ' X
分离变量：
T '' a 2T 0
得C1 =C 2=0 从而 X ( x ) 0 ，无意义.
(2) (3)
0
时, X ( x ) C0 , D0 x
由边值条件 X ' (0) X ' ( l ) 0 X ( x ) C0
C2 0 由边值条件 C1sin l 0 则 C1 0, 而 sin l 0 l n ( n 1,2,...),
因此，所求的解为：
ux, t
2n 1 x cos102n 1 t 1 sin = 10 5 3 n0 2n 13
4

例2：研究两端自由的棒的自由纵振动问题. u a 2u 0 第二类边界条件 xx tt u x x 0 0 u x x l 0 u t 0 ( x ) ut t 0 ( x ) 解 令 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 得
第二章 分离变量法
多元函数


单元函数 常微分方程
偏微分方程
§ 1 有界弦的自由振动
研究两端固定均匀弦的自由振动.定解问题为：
2 2u u 2 0, 0 x l 2 a 2 t x t0 u x 0 0, u x l 0, u u t 0 ( x ), ( x ), 0 x l t t 0
'' X X 0 ' ' X ( 0) X ( l ) 0
(1) 0
时, X ( x ) C1e
x
C Hale Waihona Puke Baidue
x
由边值条件
(C1 C 2 ) 0 l ( C e C e 1 2
l
)0
从而
0 时, X ( x ) C1 cos x C2 sin x
n n 2 l
2
2
n x X n ( x) C1 cos l
本征值
本征函数

2 2 n
T 的方程
nx X ( x ) C1 cos l
l2
n 0,1,2,
n 0,1,
其解为
代入初始条件:
n x 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界 A0 An cos ( x) l 1 u x x n 0 u 0 条件 x 0 x l n a n x B0 Bn cos ( x) 决定. l l n 1

叠加得
n 1,2,3,
u( x , t )
n at ( An cos l n 1


n at n x Bn sin l ) sin l
…….⑤
n 1 An sin l n1 a 正弦级数，这是在 nx Fourier 定解问题的解是 x＝ 0 和 Bn n sin ( x) l l n1 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 将 ( x ), ( x ) 展开为Fourier级数，比较系数得
则
X '' X 0 ⑤ X ( 0 ) 0, X ( l ) 0
参数

特征值问题 称为特征值.
函数X(x)称为特征函数 分三种情形讨论特征值问题的求解
(i) 0 时,方程通解为 X ( x ) C1e
x
C 2e
x
由边值条件得： C1 C 2 0 l C e C e 1 2
l
0
C1 =C 2=0. 从而 X ( x ) 0 ， 0 无意义.
(ii) 0 时，通解 X ( x ) C1 x C2 由边值条件
C 2 0 C1l C 2 0
C1 C2 0 X ( x ) 0, 0 无意义
(iii）
0 时,通解 X ( x ) C1 cos x C2 sin x
由边值条件： C1 0 C 2sin l 0 得 C2 0, 从而 sin l 0 故
l n
2 2 n 即： , n 1， 2,3, 2 l nπ 而 X ( x ) C 2sin x , n 1,2, l
l n 2 An n l 0 ( ) sin l d l n l 2 Bn na n na 0 ( ) sin l d
u( x , t ) ( An cos
代入初始条件得：
n at nl x
Bn sin ( x)
x 10 x 初位移为 x 1000
，求弦做微小横向振动时的位移，
其中 a 2 10000 与弦的材料和张力有关 . 解设位移函数为 ux, t ,则需要求解下列定解问题
2u 2u 2 10000 2 , 0 x 10, t x u |x 0 u |x 10 0; x 10 x , u | 0. u |t 0 t 0 1000 t
, T X 2
aT X
''
''
X ( x ) X ( x ) 0 ②
''
T a T 0
利用边界条件
''
2
…….. ③
X (0)T ( t ) 0 ④ X ( l )T ( t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
再求解T：
n Tn ( t ) a Tn ( t ) 0 2 l 其解为
2 2 " 2
所以
Tn ( t )
n at An cos l

n at Bn sin l
两端 固定 弦的 本征 振动
n at un ( x , t ) ( An cos l
n at n x Bn sin l ) sin l
n at n x ) sin l l
分离变量法图解
偏微分 方 程
常微分 解2 分离 方 程2 特征解（解2 解 1 变量 ） 常微分 分离 解 1 方 程 1 变量 条 件 （特征函数）
齐次边 界条件
（特征值问题）
所求解＝ 特征解
设 u( x , t ) X ( x )T ( t )且 u( x , t ) 不恒为零，代 入方程和边界条件中得
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由
u( x , t ) 不恒为零，有：
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
'' ''
取参数