抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求

证：是偶函数。

2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)

都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).

(1)求f(1),f(-1)的值;

(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.

3、函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2.

(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2

1

)=－1,当且仅当0

y x ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减

5、 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()f a b af b bf a •=+.

(1)求(0),(1)f f 的值;

(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;

6、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，

有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

7、已知函数()

f x的定义域为R,对任意实数,m n都有

1 ()()()

2 f m n f m f n

+=++,

且

1

()0

2

f=,当

1

2

x>时, ()

f x>0.

(1)求(1)

f;

(2) 判断函数()

f x的单调性,并证明.

8、 函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意

,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13

f >. (1)求(0)f 的值;

(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;

9、 已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且

当0x >时,0()1f x <<.

(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;

(2)证明: ()f x 在R 上单调递减;

10、 函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件

==+是减函数。

f f xy f x f y f x

(2)1,()()(),()

（1）证明：(1)0

f=；

（2）若()(3)2

+-≥成立，求x的取值范围。

f x f x

11、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、

b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（3）求证：f(0)=1；

（4）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

12、 已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有

()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠

（1）求证：()f x 为奇函数

（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值

13、 已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，

.2)1(.0)(-=

(1)判断)(x f 的奇偶性；

(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值；

(3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f

14、定义在R 上的函数f （x ）对任意实数a 、b 都有

f （a +b ）+ f （a －b ）=2 f （a ）·f （b ）成立，且f ()00≠。

（1）求f （0）的值；

（2）试判断f （x ）的奇偶性；

15、已知定义在R 上的函数()f x 满足：

（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；

（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()()()

1f m f n f m n f m f n ++=+ 试回答下列问题：

（Ⅰ）试求()0f 的值；

（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性；

16、定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时f(x)＜0恒成立.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；

)0a ,n (),a (f )x a (f n 1)x (f )ax (f n 1x )3(22<->-是一个给定的自然数的不等式解关于