坐标变换 空间刚体旋转移动坐标变换矩阵

对称、旋转、错切等基本变换。 [l m n]产生沿X、Y、Z方向的平移变换。 [p q r]T产生图形的透视变换。 [s]产生图形的总比例变换。
1、比例变换
与二维比例变换类似，主对角线上的元素a e j 起局部比例变换的作用，而元素 s 则起整体比例 变换的作用。 例如令非对角线上的元素全为零， s=1 ，对空 间点的位置向量进行变换，即：
透视变换
当O、O’重合时，投影面与XOZ重合，即 y1=0，则：
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将形体的点集向yoz面（W面）投影，即令x坐标 为0；绕z轴逆转90度，使与V 面在同一平面，再 沿x负方向平移l，使与V面投影保持间距l 。则变 换矩阵如下：
侧视图的变换矩阵
即 Tw 则有：
[x* y* z* 1]=[x y z 1] Tw=[-y-l 0 z 1]
3、俯视图变换矩阵
取 xoy 平面（即 H 面）上的投影，即令 z 坐标 为0 ；再绕 x 轴逆转 90 度，使与 V面在同一平面， 然后再沿z轴负方向平移 N，使与V面投影保持间 距N。则变换矩阵如下：
比例变换 矩阵
等比例变换
当a=e=j=1，s≠1时，产生整体等比例变换。
整体等比例 变换矩阵
2、平移变换
平移变换 矩阵
3、旋转变换
1） 绕X轴旋转θ角
空间立体绕 x 轴旋转 时,立体上各点的x坐标不 变 , 只有 y 、 z 坐标改变。 变换矩阵为：
3、旋转变换
2） 绕Y轴旋转θ角
变换矩阵为：
变换后点的坐标为： [x* y* z* 1]=[x y z 1] Txoz=[x -y z 1]
同理，可建立对 xoy 、 yoz 面对称的变换 矩阵分别为：
3.4.2 三维图形的投影变换
在工程设计中，产品的几何模型通常是用 三面投影图来描述，即用二维图形表达三维物 体。 投影就是把空间物体投影到投影面上而得 到的平面图形，利用变换矩阵，可方便地实现 三维图形的正投影变换（三视图），正轴测投 影变换（轴测图）和透视变换（透视图）。
投影变换的类型
一、 三视图
机械工程图中的三视图是对三维空间的物体以垂 直于坐标平面的投影线分别作正投影而获得的。
1、主视图变换矩阵
取xoz平面上的投影为主视图， 只须将立体的 y坐标变为零，变换矩阵为：
则有：
[x* y* z* 1]=[x y z 1] Tv=[x 0 z 1]
2、侧视图的变换矩阵
3、旋转变换
3） 绕Z轴旋转θ角
变换矩阵为：
4、错切变换
错切变换是指三维立体沿x、y、z三个方向 产生错切，错切变换是画斜轴测图的基础，其变 换矩阵的一般形式为：
按X、Y、Z轴三个不同的方向，可分为6种 情况 ：
1）
沿x含y错切
变换矩阵为：
所以： [x y z 1] T x(y)=[x+dy y z 1]=[x* y* z* 1]
二、透视投影变换
透视投影从一个 视点透过一个平面(画 面)观察物体，其视线 (投影线)是从视点(观 察点)出发，视线是不 平行的。视线与画面 相截交得到的图形就 是透视图。
透视变换
如图所示，空间一点P(x，y，z)，设S为视 点，并在Y轴上，投影面垂直Y轴且交于O’ 点。投影面距坐标系原点的距离为y1，视 点距原点的距离为y2，由相似三角形的关 系有：
延其它方向错切
同理：沿 沿 x含z错切变换矩阵为： 沿z z含 y 含y x z错切变换矩阵为： 错切变换矩阵为：
5、对称变换
二维对称变换是对称于坐标轴或某一 特定的直线或原点。 三维最简单的对称变换是对称于坐标 平面的变换，即变换前后的两个图形对称 于某一坐标平面。
1）对称于xoz面
若对称于xoz面，则图形点集的x、z坐标不会 改变，仅 y 坐标改变符号，故只须将产生恒等变 换的单位矩阵中主管 y 向变化的第二列元素异号， 即可得到对称于xoz面的变换矩阵Txoz为：
俯视图变换矩阵
TH= 则有：
[x* y* z* 1]=[x y z 1]
由此我们可以看到， 3个视图中y均为0，这 是由于变换后，3个视 图均落在XOZ平面上 的缘故。这样，可用 Tw=[x 0 -y-n 1] x*, z*坐标直接画出3 个视图。
例 画出所示形体的三面投影图
解：设n=10 l=10, 则 主视图（ V 面）投影 为
3.4.1 三维基本变换
以二维变换为基础，很容易引伸到三维变换。 二维点的位置向量其齐次坐标是用三个分量[x y 1]来表示的，三维点的位置向量则要用四个分量 [x y z 1]来表示了。相应的变换矩阵也要用T4X4 方阵的形式。
将矩阵分为四部分， 则每个子矩阵对图形的变 换作用为：
3X3方阵
产生三维图形的比例、