西南交通大学振动力学_第 章(I)多自由度系统的振动 PPT
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2 中国力学学会学术大会‘2005’
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
Hale Waihona Puke Baidu
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之
M1(t)
建立方程：
I11
M2 (t)
I22
II21 21 kk2 1(1 2 k21() 1 k32)2 M M 12((tt))
矩阵形式：
I 0 1 I 0 2 1 2 k 1 k k 2 2 k 2k k 2 3 1 2 M M 1 2 ( ( t t) )
间的相互影响
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法2：
k2
c2
车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹 性和阻尼
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合
缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
建立坐标： x1 , x 2 的原点分别取在 m1,m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
x
、
1
x2
受力分析：
加速度 x1、x2
k1x1
P1(t)
m1
k2(x1-x2)
P2(t) k2(x1-x2) m2
k3x2
m1x1
m2x2
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
解：
建立坐标： 受力分析：
设某一瞬时： 角位移 1,2
k 11
1
2
k1
k 2
k 3
M1(t)
M1(t)
M2 (t)
I1
I2
k2(21)
角加速度 1,2
k2(12)
I11 k 3 2
M2 (t)
I22
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
k 11
k2(21) k2(12)
k 3 2
坐标间的耦合项
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M1(t),M2(t) 转动惯量 I1, I 2
轴的三个段的扭转刚度 k1,k2,k3
1
2
k1
k 2
k 3
M1(t)
M2 (t)
I1
I2
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
k1x1
P1(t)
m1
k2(x1-x2)
P2(t) k2(x1-x2) m2
k3x2
m1x1
建立方程：
m2x2
m1x1k1x1k2(x1x2)P1(t) m2x2k2(x1x2)k3x2P2(t)
力量纲
矩阵形式：
0 m 1m 0 2 x x 1 2 k 1 k k 22 k 2 k 2 k 3 x x 1 2 P P 1 2 ( (tt) )
M2 (t)
I1
k 3 I2
I 0 1 I 0 2 1 2 k 1 k k 2 2 k 2k k 2 3 1 2 M M 1 2 ( ( t t) )
两自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
多自由度系统的振动
多自由度系统固有特性的近似解法
2020年10月14日 7
《振动力学》
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
✓ 两自由度系统的振动方程 ✓ 无阻尼系统的自由振动 ✓ 耦合与主坐标 ✓ 无阻尼系统的强迫振动 ✓ 阻尼对强迫振动的影响
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
k2
c2
mm轮
k3
c3
k2
c2
m轮
k3
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
多自由度系统的振动
用N个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统，称为 N自由度系统， N≥2时的系统称为多自由度系统。
多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别： 1）单自由度系统受初始扰动，系统按固有频率作简谐运 动；2）多自由度系统有多个固有频率； 多自由度系统按某一固有频率所作自由振动，称为主振动 ，是一种简谐运动，多自由度系统有多个主振动。系统作某 个主振动时，任何瞬时各点位移间具有一定的相对比值，即 系统具有确定的振动形态，称为主振型（也称主模态）。主 振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
西南交通大学振动力学_第 章(I)多自由度系 统的振动
声明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。 • 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国 铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。 2•020年感10谢月1研4日究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作
2020年10月14日 8
《振动力学》
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
多自由度系统的振动/两自由度系统的振动
两自由度系统的振动
两自由度系统：用两个独立坐标可以完全描述其在空间位置 的系统。
多自由度系统的振动
研究多自由度系统振动的目的：1）求系统的固有频率； 2）了解系统的主振型。
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
• 两自由度系统的振动方程
先看几个例子
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
解：
P1(t)
坐标间的耦合项
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
P1(t)
P2(t)
k1 m
k
2
m
k3
1
2
0 m 1m 0 2 x x 1 2 k 1 k2 k2 k2 k2 k 3 x x 1 2 P P 1 2 ( (tt) )
k1
M1(t)
k 2
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
Hale Waihona Puke Baidu
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之
M1(t)
建立方程：
I11
M2 (t)
I22
II21 21 kk2 1(1 2 k21() 1 k32)2 M M 12((tt))
矩阵形式：
I 0 1 I 0 2 1 2 k 1 k k 2 2 k 2k k 2 3 1 2 M M 1 2 ( ( t t) )
间的相互影响
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法2：
k2
c2
车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹 性和阻尼
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合
缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
建立坐标： x1 , x 2 的原点分别取在 m1,m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
x
、
1
x2
受力分析：
加速度 x1、x2
k1x1
P1(t)
m1
k2(x1-x2)
P2(t) k2(x1-x2) m2
k3x2
m1x1
m2x2
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
解：
建立坐标： 受力分析：
设某一瞬时： 角位移 1,2
k 11
1
2
k1
k 2
k 3
M1(t)
M1(t)
M2 (t)
I1
I2
k2(21)
角加速度 1,2
k2(12)
I11 k 3 2
M2 (t)
I22
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
k 11
k2(21) k2(12)
k 3 2
坐标间的耦合项
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M1(t),M2(t) 转动惯量 I1, I 2
轴的三个段的扭转刚度 k1,k2,k3
1
2
k1
k 2
k 3
M1(t)
M2 (t)
I1
I2
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
k1x1
P1(t)
m1
k2(x1-x2)
P2(t) k2(x1-x2) m2
k3x2
m1x1
建立方程：
m2x2
m1x1k1x1k2(x1x2)P1(t) m2x2k2(x1x2)k3x2P2(t)
力量纲
矩阵形式：
0 m 1m 0 2 x x 1 2 k 1 k k 22 k 2 k 2 k 3 x x 1 2 P P 1 2 ( (tt) )
M2 (t)
I1
k 3 I2
I 0 1 I 0 2 1 2 k 1 k k 2 2 k 2k k 2 3 1 2 M M 1 2 ( ( t t) )
两自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
多自由度系统的振动
多自由度系统固有特性的近似解法
2020年10月14日 7
《振动力学》
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
✓ 两自由度系统的振动方程 ✓ 无阻尼系统的自由振动 ✓ 耦合与主坐标 ✓ 无阻尼系统的强迫振动 ✓ 阻尼对强迫振动的影响
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
k2
c2
mm轮
k3
c3
k2
c2
m轮
k3
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
多自由度系统的振动
用N个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统，称为 N自由度系统， N≥2时的系统称为多自由度系统。
多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别： 1）单自由度系统受初始扰动，系统按固有频率作简谐运 动；2）多自由度系统有多个固有频率； 多自由度系统按某一固有频率所作自由振动，称为主振动 ，是一种简谐运动，多自由度系统有多个主振动。系统作某 个主振动时，任何瞬时各点位移间具有一定的相对比值，即 系统具有确定的振动形态，称为主振型（也称主模态）。主 振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
西南交通大学振动力学_第 章(I)多自由度系 统的振动
声明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。 • 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国 铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。 2•020年感10谢月1研4日究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作
2020年10月14日 8
《振动力学》
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
多自由度系统的振动/两自由度系统的振动
两自由度系统的振动
两自由度系统：用两个独立坐标可以完全描述其在空间位置 的系统。
多自由度系统的振动
研究多自由度系统振动的目的：1）求系统的固有频率； 2）了解系统的主振型。
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
• 两自由度系统的振动方程
先看几个例子
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
解：
P1(t)
坐标间的耦合项
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
P1(t)
P2(t)
k1 m
k
2
m
k3
1
2
0 m 1m 0 2 x x 1 2 k 1 k2 k2 k2 k2 k 3 x x 1 2 P P 1 2 ( (tt) )
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M1(t)
k 2