刘建亚主编微积分

f x , y , z为 z 的一元函数。
在区间z1 x, y, z2 x, y 上对 z 积分，
F x, y f z2 x,y x, y, z dz z1 x , y
再计算 F x, y在区域 D xy上的二重积分.
aO
b
x
z z2x, y
z 2• S2
z1• S1
z z1x, y y
f x, y,zdv f x, y,zdv f x, y,zdv
1
2
保号性：x, y,z , f x, y,z gx, y, z,
f x, y,zdv gx, y,zdv
3
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三重积分的中值定理： 若 f x, y,z 在有界闭区域 上连续, 则 i ,i , i , 使得
即三重积分的几何意义
存在定理 当函数 f x, y,z 在有界闭区域 上连续时,
f x, y,z在 上必定可积.
充分（但非必要）条件。
性质: 具有与二重积分类似的性质.
如: 线性性质： , R,
f x, y,z gx, y,zdv f x, y,zdv gx, y,zdv
关于积分区域的可加性： 1 2 ,
第四节 三重积分的概念及其计算法
一. 三重积分的概念
z
vi
引例 空间物体的质量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设有一质量分布不均匀的物体占有空间区域 ,
在点 x , y, z处的体密度为 x , y , z,
求此物体的质量 M.
单位体积的质量 O
1、分割： 把 任意分割成n块小区域: x
v1 ,v2 , ,vn , v i 也表示其体积，
yd
d
c x1( y )
f
x, y, z dv
d
dy
x2 y dx f z2 x ,y
x, y, z dz
c
x1 y
z1 x , y
把三重积分化作先 z、 再 x、最后 y 的三次积分。
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y2( x ) y1 ( x )
b
x2( y )
6
若平行于 x 轴或 y轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界 曲面相交不多于两点, 可将区域投影到 yOz面或 xOz面上, 把三重
D x•, y
f x, y,zdv Fx, yd
Dxy
f z2 x , y
z1 x , y
Dxy
x, y,z
dzd
d
Dxy
f z2 x , y
z1 x , y
x, y,z dz
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f x , y, zdxdydz dxdy f z2x,y x , y, z dz z1 x , y
•
i ,i , i
y
2、替代： i ,i , i vi , M i i ,i , i vi ,
n
n
3、求和： M M i i ,i , i vi
i 1
i 1
小区域中任意两点 距离的最大值。
4、取极限： 设为 n小块区域的最大直径, 则
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n
M
lim 0 i 1
f x, y,zdv f i ,i , i V
z
二、三重积分在直角坐标系中的计算法
vi
•
f x,
y, zdv
n
lim 0 i 1
f i ,i , i vi
在直角坐标系中， vi x j yk zl ,
dv dxdydz,
x
i ,i , i
O
y
所以 f x, y, zdv f x, y, zdxdydz
Dxy
即：先计算定积分, 再计算二重积分.
若
Dxy
:
y1
x
a
y x
y2 x
b
a
f x, y,zdv
b
dx
y2
x
dy
f z2 x , y
x, y, z dz
a
y1 x z1 x , y
把三重积分化作先对 z、再对 y、最后对 x 的三次积分。
若
Dxy
:
x1
y
c
x x2y
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例1 计算 xdxdydz, 其中 由三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围。
z
解 画草图
1
0 z 1 x2y
D xy
:
0
y
1 x 2
0 x 1
0 z 1 x 2 y
:
0
y
1
2
x
0 x 1
•
O
D
•
xy
1
2
y
1
1 x
1 x2 y
x1
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
积分化作其它顺序的三次积分。
f x, y,z dv
f
dz
y2
z
dy
f x2 y ,z
x , y, z dx
e
y1 z
x1 y ,z
f
x , y, z dv
b
dx
z2 x dz
f y2 x ,z
x , y, z dy
a
z1 x
y1 x ,z
若平行于坐标轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界曲面 相交多于两个点, 把 分成若干部分， 使 上的三重积分化为 各部分闭区域上的三重积分的和。
n
lim
0 i 1
f
i ,i , i
v i
存在, 则称此极限值为函数 f x, y,z在 上的三重积分。
记作: f x, y,zdv,
n
即
f
x,
y, zdv
lim
0 i 1
f
i
,i
,
i
v i
注：三重积分与小区域的分法和(i,i, i ) 的选法无关。
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特别地, 若在 上恒有 f x, y, z 1, 则 dv v.
方法：将其化为累次积分，即三次定积分。
vi
z l
x j
yk
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假设平行于 z 轴且穿过区域 的直线与 的边界曲面 S
相交不多于两点.
z
S1 : z z1 x , y, S2 : z z2 x , y.
在闭区域 D上， z1 x , y z2 x , y.
固定点 x , y,
1 x
y
1
xdx 2
0
0
1 x 2 ydy
1
1 1 x 2x 2 x 3 dx 1
40
48
2 1
O
x
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例2 设有一物体,占有空间闭区域 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1,
点 x , y, z处的体密度为 x, y,z x y z, 计算该物体的质量。
i ,i , i
v i
x, y, zdv
1
定义 设 f x , y, z是定义在空间有界闭区域 上的有界函数,
①将 任意分割成 n个小区域 v1 ,v2 , ,vn ,
n
② ③i ,i , i vi , 作和式 f i ,i , i vi , i 1
④设为 n 小块区域的最大直径,
若极限