工程力学弯曲刚度.

qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
q
A
x
B
A B
x
截面转角和挠度极 值的判定方法？ 最大转角和最大挠度分别为：
l
max A B
ql 3 24 EI
ymax y x l
2
5ql 4 384 EI
例题: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
q 4 3 4 w l x 4 l x l 24 EI q 3 l x l3 6 EI
q 4 w l x 4l 3 x l 4 24 EI q 3 l x l3 6 EI
y
x

转角方程： tan
x
梁的挠曲线近似微分方程
曲线 y=f(x)的曲率为 梁纯弯曲时中性层的曲率：
K
y (1 y 2 ) 3/ 2
M EI z 1
y 2 3/ 2 (1 y ) 1
y
M y 或 EIy M EI z
最大转角和最大挠度分别为：
11qa3 max A 1 x 0 1 6 EI 19qa 4 ymax y2 x 2 a 2 8EI
例题: 图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求A端的挠度
P A I C
2
2I B
l 2
x
l
l 0 x AC 段 解： 2
M ( x) P x
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度 和转角均为最大值。
wmax
max
ql wB 8EI
ql 3 B 6 EI
4
例题
已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l 均为已知。 求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。
解： 确定梁约束力
分为AB和BC两段 建立弯矩方程 AB段
O
x
解：
建立Oxw坐标系 建立梁的弯矩方程
x w
M(x) Q(x)
1 2 M ( x) q l x 2
0 x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得 1 2 " EIw M q l x 2 积分后，得到 1 1 4 3 EIw ' EI q l x C EIw q l x Cx D 24 6
令 x0
得
3Pl fA 16 EI
3
（
）
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程
微分方程的积分
利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
叠加法确定梁的挠度与转角
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下，载荷与它所引起的变形呈线性关系。
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数 在支座A、C两处挠度应为零，即
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
共有四个边界条件，可解出四个 待定系数
D1＝D2 =0 7 C1＝C2 FPl 2 128
可以将其分解为各种载荷单独作用的情形， 由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再
将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作
用的结果。
例题： 用叠加法求fc、A、B
m A P C q B P
Fra Baidu bibliotek
C
l/2 l/2
l/2
l/2
q
m
l/2
l/2
l/2
l/2
解：
将梁上的各载荷分别引起的位移叠加
3 2 5q l 4 Pl ml 384 EI 48 EI 16 EI
y
q
B C D E
x
A
a
a
a
a
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
M1 ( x1 ) qax1
q M 2 ( x 2 ) qax2 ( x2 a ) 2 2 EIy1 qax1
(0 x1 a)
( a x 2 2a )
q EIy2 qax2 ( x2 a)2 2
y
q
B C
x1 x2
A
D
E
x
qa
qa
a a a a
qa 2 EIy1 x1 C1 2 qa 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 6
EIy1 qax1
q EIy2 qax2 ( x2 a ) 2 2
qa 2 q EIy2 x2 ( x2 a )3 C2 2 6 qa 3 q EIy2 x2 ( x2 a ) 4 C2 x2 D2 6 24
fC
（
）
A
q l3 Pl2 24 EI 16 EI

ml 3EI ml 3EI
（
）
B
q l3 Pl2 24 EI 16 EI
积分得 EI 1 3 FP x 2 C1
8 1 EIw1 FP x 3 C1 x D1 8 2 3 1 l 2 EI 2＝－ FP x ＋ FP x－ C 2 8 2 4
3
1 1 l EIw2＝－ FP x 3＋ FP x－ C 2 x D2 8 6 4
由连续条件: x1 x2 a 时, 由边界条件：x1 0 时, 由对称条件：x2 2a 时,
y1 y2 ,
y1 y2
C1 C2 得 D1 D2
y1 0
y2 0
得 D1 0
11 3 得 C2 qa 6
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
3 M 1 x FP x 0 x 4 3 l M 2 x FP x－FP x－ 4 4 l 4
BC段
小挠度微分方程：
l x l 4
d 2 w1 3 l EI 2 M1 x FP x 0 x dx 4 4 d 2 w2 3 l l EI ＝－ M x － F x ＋ F x － x l 2 P P 4 2 dx 4 4
y
q
x
l
ql q 2 解： M ( x ) x x 2 2 ql q 2 A EIy x x 2 2 ql 2 q 3 EIy x x C 4 6 ql 3 q 4 EIy x x Cx D 12 24
y
q
B
x
l
x
由边界条件： x 0 时，y 0 x l 时，y 0
例如，车辆上的板 弹簧，要求有足够大的 变形，以缓解车辆受到 的冲击和振动作用。
挠曲线近似微分方程 挠曲线
挠曲线
挠度y（f）：横截面形心处的铅垂位移
y

截面转角θ：横截面绕中性轴转过的角度 规定：向上挠度为正，逆时针转角为正 挠曲线方程：
y f ( x)
dy f ( x) dx
由边界条件： x l 时,
y 0, 0
1 3 D2 Pl 3
得：
1 2 C2 Pl , 2
由连续条件： x l 2 时,
yC左 yC右 , C左 C右
5 2 3 3 C1 Pl , D1 Pl 16 16
AC段挠度方程为：
1 1 3 5 3 2 y ( Px Pl x Pl 3 ) EI 6 16 16
梁的转角和挠度方程为： AB段
BC段
FP FP 3 2 7 2 wx x x l EI EI 8 128 2 FP 3 2 1 l 7 2 x l x x EI 2 4 128 8 3 FP 1 3 1 l 7 2 wx l x x x EI 6 4 128 8
7 2 1 3 l x x 128 8
可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为 3 FP l 3 5 FPl 2 7 FPl 2 wB B － A 256 EI 128 EI 128 EI
例题: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在
均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和ymax。
没有约束无法确定位移
确定积分常数的边界条件 连续光滑曲线，铰 支座作用截面处
yA yB 0
连续光滑曲线， 固定端支座处
yB 0, B 0
光滑连续条件：
yc yc
c c
P
C
例题
已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受 均布载荷。均布载荷集度为 q ，梁的弯曲刚度 为EI 、长度为l。q、EI 、l均已知。 求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大 挠度和最大转角。
1 3 EIw ' EI q l x C 6
1 4 EIw q l x Cx D 24
固定端处的约束条件为：
x 0，w 0 代入上两式，可得：
dw x 0， = 0 dx
ql 3 ql 3 C , D 6 24
故而，最终的挠度与转角方程写为：
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷 所引起的变形是各自独立的，互不影响。若 计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的 变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的 变形，然后叠加。
叠加法主要针对多个载荷同时作用时的载 荷叠加，但在一般的分析过程中，也会碰到结 构变形的叠加问题！
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都
m1 1 m2 2
拐点：曲线凹与凸 的分界点
x
l
M
m1
m2
y 0
积分法求弯曲变形
积分求解 过程—积 分法
EIy M ( x)
转角方程
EIy M ( x) dx C 挠曲线方程
EIy M ( x) dxdx Cx D
式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为： qx 2 3 3 q 2 3 3 y (2 lx x l ) (6lx 4 x l ) 24 EI 24 EI
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
y
qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
y
M
M 0
y 0
y
M
M 0
M
y 0
M
EIy M
x
x
例题：已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠曲线
在x＝l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为多少？
m1
x
l
m2
解：由梁的挠曲线近似微分方程
知，在梁挠曲线的拐点处有：
EIy M ( x)
m2
M 0
从弯矩图可以看出：
m1
Nanjing University of Technology
第八章 弯曲刚度
计算梁弯曲变形的积分法
弯曲变形计算的必要性
摇臂钻床的摇 臂或车床的主轴变 形过大，就会影响 零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困 难，出现爬坡现象。
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大 的弹性变形，以满足特定的工作需要。
EIy P x
EIy
CB段 l 2 x l
M ( x) P x P 2 2 EIy x C2 2
P 3 EIy x C1 x D1 6
P 2 x C1 2
2 EIy P x P 3 2 EIy x C2 x D2 6