多元函数及讲义其导数
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F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量，fi (x) = aiTx
五、基本概念和符号（续）
2、多元函数及其导数
(2) 梯度（一阶偏导数向量）：
f (x)＝( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn .
线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)-
k
x‖
=
0
limkxi(k)
=
xi
,i
五、基本概念和符号（续）
1、向量和子空间投影定理
(3) 子空间：设 d (1) , d (2) , … , d (m) Rn, d (k) 0
记
L(
wenku.baidu.com
d
(1)
,
d
(2)
,
…
j
,d
=1
(m)
)={
x
=
m
j
d
(j)
jR
}
为由向量d (1) , d (2) , … , d (m) 生成的子空间，简记为L。
正交子空间：设 L 为Rn的子空间，其正交子空间为
L＝{ x Rn xTy=0 , y L }
子空间投影定理：设 L 为Rn的子空间。那么 x Rn
， 唯一 x L , y L, 使 z=x+y , 且 x 为问题
min ‖z - u‖
s.t. u L
的唯一解，最优值为‖y‖。
特别， L ＝Rn 时，正交子空间 L＝{ 0 }（零空间）
方向（自由向量）：d Rn, d 0
d =(d1 ,d2 ,…,dn)T 表示从0指向d 的方向
实用中，常用 x + d 表示从x 点出发沿d 方向移 动d 长度得到的点
d x+(1/2)d
0
x
五、基本概念和符号（续）
1、向量和子空间投影定理
(2) 向量运算：x , y Rn
x
,
y
的内积：xTy
五、基本概念和符号（续）
2、多元函数及其导数
(1) n元函数：f (x): Rn R 线性函数：f (x) = cTx + b = ci xi + b
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
= (1/2)i j aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm 其中 A为 mn矩阵，d为m维向量
第一章
运筹学思想 与 运筹学建模
第一章 运筹学思想与运筹学建模
运筹学—简称 OR （美）Operation`s Research （英）Operational Research
“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” 三个来源：军事、管理、经济 三个组成部分： 运用分析理论、竞争理论、随机服务理论
一、什么是运筹学
为决策机构在对其控制下的业务活动进 行决策时，提供一门量化为基础的科学 方法。
或是一门应用科学，它广泛应用现有的 科学技术知识和数学方法，解决实际中 提出的专门问题，为决策者选择最优决 策提供定量依据。
运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话，问题的结果会更坏。
二、运筹学的应用原则
五、基本概念和符号（续）
规定：x , y Rn，x ≤ y xi ≤ yi ，i 类 似规定 x ≥ y，x = y，x < y , x > y .
一个有用的定理
设 xRn，R，L为Rn 的线性子空间， (1)若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0，
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
h = 1,2, … ,m 其中： xi 为决策变量（可控制）
yj 为已知参数
k 为随机因素
f , gh 为（一般或广义）函数 建模举例（略）—— 自看
五、基本概念和符号
1、向量和子空间投影定理
(1) n维欧氏空间：Rn 点（向量）：x Rn, x = (x1 ,x2 ,…,xn)T 分量 xi R (实数集)
1. 直 接 分 析 法 2. 类 比 方 法 3. 模 拟 方 法 4. 数 据 分 析 法 5. 试 验 分 析 法 6. 构 想 法 模型评价:
易于理解、易于探查错误、易于计算等
优化模型的一般形式
Opt. f ( xi, yj, k ) s.t. gh ( xi, yj, k ) , 0
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
i =1
=
n
xiyi =
x1y1+
x2y2+
…+
xnyn
x , y 的距离： ‖x-y ‖= [(x-y)T(x-y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝
Rn
,
x
Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
1) 合伙原则：应善于同各有关人员合作 2) 催化原则：善于引导人们改变一些常规看
法 3) 互相渗透原则：多部门彼此渗透地考虑 4) 独立原则：不应受某些特殊情况所左右
5) 宽容原则：思路宽、方法多，不局限在某一特定 方法上
6) 平衡原则：考虑各种矛盾的平衡、关系的 平衡
三、运筹学解决问题的工作步骤
1 ）提出问题：目标、约束、决策变量、参数 2 ）建立模型：变量、参数、目标之间的关系表
示 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与现实的一
致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
四、运筹学模型的构造思路及评价
多元函数及其导数
精品
第一章 运筹学思想与运筹学建模 第二章 基本概念和理论基础 第三章 线性规划
主 第四章 最优化搜索算法的结构与一维搜索 要 第五章 无约束最优化方法 内 第六章 约束最优化方法 容 第七章 目标规划
第八章 整数规划 第九章 层次分析法 第十章 智能优化计算简介
五、基本概念和符号（续）
2、多元函数及其导数
(2) 梯度（一阶偏导数向量）：
f (x)＝( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn .
线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)-
k
x‖
=
0
limkxi(k)
=
xi
,i
五、基本概念和符号（续）
1、向量和子空间投影定理
(3) 子空间：设 d (1) , d (2) , … , d (m) Rn, d (k) 0
记
L(
wenku.baidu.com
d
(1)
,
d
(2)
,
…
j
,d
=1
(m)
)={
x
=
m
j
d
(j)
jR
}
为由向量d (1) , d (2) , … , d (m) 生成的子空间，简记为L。
正交子空间：设 L 为Rn的子空间，其正交子空间为
L＝{ x Rn xTy=0 , y L }
子空间投影定理：设 L 为Rn的子空间。那么 x Rn
， 唯一 x L , y L, 使 z=x+y , 且 x 为问题
min ‖z - u‖
s.t. u L
的唯一解，最优值为‖y‖。
特别， L ＝Rn 时，正交子空间 L＝{ 0 }（零空间）
方向（自由向量）：d Rn, d 0
d =(d1 ,d2 ,…,dn)T 表示从0指向d 的方向
实用中，常用 x + d 表示从x 点出发沿d 方向移 动d 长度得到的点
d x+(1/2)d
0
x
五、基本概念和符号（续）
1、向量和子空间投影定理
(2) 向量运算：x , y Rn
x
,
y
的内积：xTy
五、基本概念和符号（续）
2、多元函数及其导数
(1) n元函数：f (x): Rn R 线性函数：f (x) = cTx + b = ci xi + b
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
= (1/2)i j aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm 其中 A为 mn矩阵，d为m维向量
第一章
运筹学思想 与 运筹学建模
第一章 运筹学思想与运筹学建模
运筹学—简称 OR （美）Operation`s Research （英）Operational Research
“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” 三个来源：军事、管理、经济 三个组成部分： 运用分析理论、竞争理论、随机服务理论
一、什么是运筹学
为决策机构在对其控制下的业务活动进 行决策时，提供一门量化为基础的科学 方法。
或是一门应用科学，它广泛应用现有的 科学技术知识和数学方法，解决实际中 提出的专门问题，为决策者选择最优决 策提供定量依据。
运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话，问题的结果会更坏。
二、运筹学的应用原则
五、基本概念和符号（续）
规定：x , y Rn，x ≤ y xi ≤ yi ，i 类 似规定 x ≥ y，x = y，x < y , x > y .
一个有用的定理
设 xRn，R，L为Rn 的线性子空间， (1)若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0，
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
h = 1,2, … ,m 其中： xi 为决策变量（可控制）
yj 为已知参数
k 为随机因素
f , gh 为（一般或广义）函数 建模举例（略）—— 自看
五、基本概念和符号
1、向量和子空间投影定理
(1) n维欧氏空间：Rn 点（向量）：x Rn, x = (x1 ,x2 ,…,xn)T 分量 xi R (实数集)
1. 直 接 分 析 法 2. 类 比 方 法 3. 模 拟 方 法 4. 数 据 分 析 法 5. 试 验 分 析 法 6. 构 想 法 模型评价:
易于理解、易于探查错误、易于计算等
优化模型的一般形式
Opt. f ( xi, yj, k ) s.t. gh ( xi, yj, k ) , 0
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
i =1
=
n
xiyi =
x1y1+
x2y2+
…+
xnyn
x , y 的距离： ‖x-y ‖= [(x-y)T(x-y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝
Rn
,
x
Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
1) 合伙原则：应善于同各有关人员合作 2) 催化原则：善于引导人们改变一些常规看
法 3) 互相渗透原则：多部门彼此渗透地考虑 4) 独立原则：不应受某些特殊情况所左右
5) 宽容原则：思路宽、方法多，不局限在某一特定 方法上
6) 平衡原则：考虑各种矛盾的平衡、关系的 平衡
三、运筹学解决问题的工作步骤
1 ）提出问题：目标、约束、决策变量、参数 2 ）建立模型：变量、参数、目标之间的关系表
示 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与现实的一
致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
四、运筹学模型的构造思路及评价
多元函数及其导数
精品
第一章 运筹学思想与运筹学建模 第二章 基本概念和理论基础 第三章 线性规划
主 第四章 最优化搜索算法的结构与一维搜索 要 第五章 无约束最优化方法 内 第六章 约束最优化方法 容 第七章 目标规划
第八章 整数规划 第九章 层次分析法 第十章 智能优化计算简介