经济学第八章多元函数微分学

u x
x2
x
y2
,
u y
x2
y
相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导 数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那么在该区域
yx xy
内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 6 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
斯方程
2u x2
2u y2
0.
证明 lnx2y21ln x2(y2), 2
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
有关偏导数的几点说明：
１. 偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
２. 求分界点、不连续点处的Байду номын сангаас导数要用 定义求；
例 , 设 z f ( x 如 ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 ).
R p
V R
RT pV
1.
二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系
1．几何意义
偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点 M0处的切线 M0Tx 对 x轴的
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴
的斜率.
图示
设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z 曲 f ( x ,y ) 上 面 , 一
2.偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 )处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
第二节 偏导数及其 在经济分析中的应用
一、偏导数的定义及其计算方法 二、偏导数的几何意义及函数偏
导数存在与函数连续的关系 三、高阶偏导数
四、偏导数在经济分析中的应用 交叉弹性
五、小结 思考题
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有增量 x 时，相应地函数有增量
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 uf(x,y,z)在 (x,y,z) 处
f x ( x ,y ,z ) lx 0 if( m x x ,y ,z x ) f( x ,y ,z ) , fy (x ,y ,z ) ly i0fm (x ,y y , z y ) f(x ,y ,z ), fz (x ,y ,z ) lz 0 ifm (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z ).
注意：
实际求 zf(x,y)的偏导数时，因为始终只
有一个自变量在变动，另一个自变量可看作 常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解.
求解
f
x
把y暂时看作常量x而求对导数
f
y
把x暂时看作常量y而求对导数
例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
解
z 2x3y; x
6x2y9y21.
例 5 设u eax cos by，求二阶偏导数.
解 uaeaxcobsy, x
x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobsy,
2u abaexsinby, 2u abaexsinby.
xy
yx
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
例 4 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
.
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2 z 6xy2, x 2
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z xy
6x2y9y21,
2z yx
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
三、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fy纯y(x偏,y)导 y x zx2zyfx(yx,y) ,x y zy2 zxf混yx (合x,偏y)导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
解 fx(0,0)lx i0m |xx 0|00fy(0,0).
例 3 已知理想气体的状态方程 pV RT （ R为常数），求证： p V T 1.
V T p
证
p
RT V
p V
VR2T;
V RT V R ; p T p
T pV T V ; R p R
p VT V T p
RT V2
yy0
yy0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为 z y
，f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
如果函数z f(x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z f(x, y)对 自变量x的偏导数， 记作xz，fx，zx或fx(x, y).
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
例2 设 zxy(x0,x1)， 求 证xz 1 z2z. yx lnxy
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数(partial derivative)，记为
x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).