数模(微分方程模型)1

三. 导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰 发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度 v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导 弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ （解析法）
假设 t 时刻导弹的位置为 P(x(t), y(t))，乙舰位于 Q(1, v0 t ) .
受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上
8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为 后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4。 C
32.6。，一小时 C
C 室温在几小时内始终保持21.1。 ，此案最大的嫌疑犯是 张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下 午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打 完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害 者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某 不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？
k
31 .4,
115 k ln 0.110 . 103
T (t ) 21 .1 11 .5e 0.110t
当T 37。 时，有21 .1 11 .5e 0.110t 37，所以 C t 2.95小时 2小时57 分 所以 Td 8小时20分 2小时57 分 5小时23分 即被害人死亡时间大约在下午5： ，因此张某不 23 能被排除在嫌疑犯之外。
人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节 功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体 温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化 率正比于尸体温度与室温的差，即 dT k (t 21 .1) dt k
T (t ) 21 .1 Ce kt T (0) 21 .1 C 32 .6. C 11 .5 T (1) 21 .1 11 .5e
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
解: 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 dI Q 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L , RI , , 其中Q dt C 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI Q e(t ) L RI 0. dt C dQ , 于是得到 因为 I dt
x 0
tan
g
S
l
(1 y 2 ) dx
S 0 这就是绳索曲线满足的微分方程。设 OP a, 则上面微分方程的初值条件为 (1 y2 ) dx y 令y p, y
x 0
g
x
a, y x 0 0
解得
dp ，则上述二阶微分方程化为 dx dp g 1 p2 dx S g ln( p 1 p 2 ) x C1 S
解
设表示时刻尸体的温度，并记晚8： 为，则 20
。
T (0) 32 .6。 , t (1) 31 .4。 C C 要确定受害者死亡的时间，也就是求T (t ) 37。 的 C 时刻Td。如果此时张某在办公室，则他可被排除在 嫌疑犯之外，否则不能被排除在嫌疑犯之外。
假设受害者死亡时体温是正常的，即T 37 C。
x x 1 S S y (e e S ) 2 g
g
g
此曲线方程又称为悬链线方程。
引例 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).
设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
二。含盐量问题 设容器内有100公斤盐水，内含食盐10公斤，现以 3L / min 的速度注入的0.01kg / L淡盐水，同时以2 L / min 的速度抽出混合均匀的盐水，试求容器内含盐量x随时 间t变化规律。
解
为了求出含盐量x随时间t的变化规律x x(t ),
我们采用通过对x的微小增量x的分析得出微分方 程的微元分析法，这是建立微分方程的一种常用 方法。 考虑从时刻t到t dt时间间隔内，含盐量从x变到x dx， 注意到在dt时间内，含盐量的改变量为： dx 注入盐水中所含盐量－抽出盐水中所含盐量 注入盐水中所含盐量为 .01 3 dt（公斤）， 0 x (t ) 由于t时刻盐水的浓度为 , t到dt的时间间隔 100 (3 2)t 内浓度可以近似看作不变，故抽出的盐量为 x (t ) 2 dt（公斤） .于是可得方程： 100 (3 2)t x (t ) dx 0.01 3 dt 2 dt 100 (3 2)t
引例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.
解: 设所求的曲线方程为 y
f (x).
由导数的几何意义, 应有
f ' ( x) 2 x,
即
f ( x) 2 xdx C x C.
2
t
又由条件: 曲线过(1,3), 即
f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
将初值条件y x 0 p
x 0
0代入，得C1 0，从而
ln( p 1 p 2 )
g
S
x
g g
x 1 Sx S 变形整理得 p (e e ) 2 g g x dy 1 Sx S 将p 代入，得 dy (e e )dx dx 2 g g x x 1 S S S 两边积分得 y (e e ) C2 2 g S 将y x 0 a代入，得 C2 a g S 取a , 得C2 0.这样，绳索在平衡状态下得曲线方程为 g
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 l，绳索线密 度为 ,则这段绳索所受重力为 gl 。由于绳索是软 的，
所以绳索上各点所受张力总沿着绳索的切线方向。这样， PQ这段绳索在P点所受的张力是水平的，设其大小为S . 在Q点所受张力与x轴正向成角，设其大小为T，则这段 绳索所受重力及两个张力恰好平衡，所以
T s in gl, T cos S 上面两式相除，得
设绳索曲线方程为y y ( x), 则 tan y, l 于是 y
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。

在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
其解即为导弹的运行轨迹:
5 5 5 y (1 x) (1 x) 8 12 24
4 5
6 5
5 5 当 x 1时 y ，即当乙舰航行到点 (1, ) 处时被导弹击中. 24 24 y 5 被击中时间为: t . 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. v 0 24 v 0
一 马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料 后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=bd,b为出生率，d为死亡率），因而提出了著名的 人口指数增长模型 。 分析与建模： 人口的净增长率是一个常数，也就是单位时 间内人口增长量与当时人口数成正比。 设t时刻人口数为N(t)，t=t0时，N(t0)=N0， 则
N (t t ) N (t ) N (t )rt
即
dN ( t ) N (t )r dt N (t 0 ) N 0
Malthus模型
这个方程的解为：
N (t ) N 0e
r ( t t0 )
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻 一番所需的时间是固定的。
3.5 x 10
11
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
象。
N/人
2
几何级数的增长
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
二
Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
dt 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量， K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3）指出，种群增长率与两者的乘 此时得到微分方程： 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3）也 dN dN N (r aN ) N 或 r (1 ) N （2） 被称为统计筹算律的原因。 dt dt K r(N)最简单的形式是常数，此 为了得出一个有实际意义 r(N)是未知函数，但根 时得到的就是马尔萨斯模型。 （2）可改写成： 的模型，我们不妨采用一 据实际背景，它无法用 对马尔萨斯模型的最简单的改 下工程师原则。工程师们 dN 进就是引进一次项（竞争项） k ( K在建立实际问题的数学模 N )拟合方法来求 。 N （3） （2）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生 dt 型时，总是采用尽可能简 物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数 单的方法。
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
v0 t y 即有 y' 1 x v0 t (1 x) y ' y 即
(1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍， 即

x
0
1 y '2 dx 5v0t
(2)
由(1),(2)消去t, 整理得模型: 1 (1 x ) y" 1 y '2 (3) 5 初值条件为: y(0) 0 y' (0) 0
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
2 N0 N0e
故
ln 2 T r
rT
模型预测 模型检验 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个， 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围， 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数 Malthus模型实际上只有在群体总数 而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的 大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际 不太大时才合理，到总数增大时， 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数 所以Malthus模型假设的人口净 生物群体的各成员之间由于有限的 量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 增长率不可能始终保持常数， 生存空间，有限的自然资源及食物 它应当与人口数量有关。 等原因，就可能发生生存竞争等现
d 2 I R dI I 1 de(t ) . 2 dt L dt LC L dt
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
我们来建立如下的一些问题的模型：
1、Malthus模型 2、Logistic模型 3、核废料的妥善处理问题 4、古尸年代鉴定问题 5、追击问题 6、传染病模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7、正规战与游击战
世界人口数量统计数据：
年 人口 亿 1625 5 1830 10 1930 20 1960 30 1974 40 1987 50 1999 60
中国人口数量统计数据： 年 1908 1933 1953 人 3.0 口 4.7 6.0 1964 1982 1990 2000 7.2 10.3 11.3 12.95