第5章 控制规律的离散化设计方法(z变换、大林)

第5章
控制规律的离散化设计方法
【例5―1】求单位阶跃函数的Z变换
解 设e(t)=1，求Z变换E(z)。由定义可得：
E ( z ) 1(kT ) z
k 0

k
1 z z z
(5―5)
1
2
3
这是一个公比为z-1的等比级数，当|z-1|<1亦即|z|＞1时，
级数收敛，则式(5―5)可写成闭合形式：
与拉氏变换类似，在Z变换中有一些基本定理，它 们可以使Z变换变得简单和方便。 1)线性定理 若已知e1(t)和e2(t)有Z变换分别为E1(z)和E2(z)，且a1
和a2为常数，则
Z［a1e1(t)±a2e2(t)］=a1E1(z)±a2E2(z) (5―17)
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2.Z变换的计算方法
求任意函数e(t)的Z变换，通常分三步进行： ①e(t)被理想采样器采样，给出离散采样函数e *(t)； ②求e *(t)的拉氏变换，给出 E ( s ) L[e (t )] e(kT ) e kTs ③在E *(s)中用z替换eTs，给出
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3) 留数计算法
若己知连续时间函数e(t)的拉氏变换式E(s)及其全 部极点pi(i＝1，2，…，n)，则e(t)的Z变换还可以通过下 列留数计算求得，即
n
E ( z)
i 1
z Re s[ E ( pi ) ] piT ze

i 1
n
1 d ri 1 z { ri 1 [( s pi ) E ( s ) ]}s pi sT ( ri 1)! ds ze

E ( z ) e( kT ) z k
k 0

k 0
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1) 级数求和法
级数求和法是根据Z变换的定义式求函数e(t)的Z变 换。严格说来，时间函数或级数可以是任何函数，但 是只有当E(z)表达式的无穷级数收敛时，它才可表示为 封闭形式。下面通过典型信号的Z变换式来说明如何应 用级数求和法计算Z变换。
式(5―12)中，pi 是拉氏变换式E(s)的第i个极点，即
N(s)的零点；Ai是第i项系数，可用待定系数法求得，即 当N(s)已分解为因式乘积时
M ( s) Ai ( s pi ) N ( s)
s pi
(5―13)
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或者当N(s)未分解为因式乘积时
M ( s) Ai N ( s )
(5―16)
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式中，n为全部极点数，ri 为极点ｓ＝pi的重数，T 为采样周期。 因此，在已知连续函数e(t)的拉氏变换式E(s)全部 极点pｉ的条件下，可采用式(5―16)求e(t)的Z变换式。
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1 【例5―6】已知控制系统的传递函数为 E ( s ) ( s 1)( s 4) ，求其Z变换式。
k 0
级数收敛，则式(5―9)可写成闭合形式：
E( z)
1 1 e
T
z
1
z T ze
(5―10)
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2) 部分分式展开法
用部分分式展开法求Z变换，即已知时间函数e(t)的 拉氏变换E(s)，求该时间函数e(t)的Z变换。它是通过s域 和时间域之间的关系，来建立s域和z域之间的关系的。 其解法的具体步骤是：己知E(s)，将之分解成部分分式 之和，查变换表求时间函数e(t)＝L-1 ［E(s)］，利用式 (5―3)或查Z变换表求出E(z)。 设连续时间函数ｅ(t)的拉氏变换E(s)为有理分式函数
1 z E ( z) 1 1 z z 1
(5―6)
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【例5―2】 求单位理想脉冲序列的Z变换。 解设
e(t ) T (t ) (t kT )
k 0
求Z变换E(z)，则

E ( z ) 1(k / T ) z
k 0
k
因此，函数ｅ(t)的Z变换便可由E(s)求得，并可写作
E ( z ) Z [ E ( s )]
i 1
n
n Ai Ai z piT 1 1 e z z e piT i 1
(5―15)
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【例5―5】已知 E ( s )

s( s a )
2) 右移位定理
若Z［e(t)］=E(z)，则 Z［e(t-nT)］=z-nE(z) 其中，n为正整数。 说明：该定理表明，“t”域中的采样信号e*(t)时间 (5―18)
上延迟n步，则对应于在“z”域中ｅ * (t)的Z变换E(z)乘
以n步时迟因子z-n。
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3)左移位定理
z 1 z z z z 1
1 2 3
(5―7) 其中：|z|>1。
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比较式(5―6)和式(5―7)可以看出，不同的e(t)，可
以得到相同的E(z)。这是由于阶跃信号采样后e*(t)与理 想脉冲串是一样的。所以Z变换只是对采样点上的信息 有效只要ｅ*(t)相同，E(z)就相同，但采样前的e(t)可以 是不同的。
Z [e e(t )] E[ ze
式中，a是常数。
t
t
]
(5―20)
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5) 初值定理
lim E ( z ) 存在，则当 z t=0时的采样信号e *(t)的初值e(0)取决于 lim E ( z )
M ( s) E ( s) N ( s)
(5―11)
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式(5―11)中，M(s)和N(s)分别为复变量ｓ的有理多 项式。当E(s)没有重根时，即E(s)没有重极点，可将E(s) 展开成部分分式和的形式，即
E ( s)
i 1
n
Ai s pi
(5―12)
1 d 1 z 2 E ( z) [( s a ) ] 2 sT s a (2 1)! ds (s a) z e T ze sT ( z e sT ) 2
s a
TzeT ( z eT ) 2
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3. Z变换基本定理
E ( z ) e( kT ) z k
k 0

(5―3)
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在式(5―3)中E(z)称为e *(t)的Z变换。记作：
写为： Z［e(t)］=E(z) Z［e *(t)］=E(z) 因为Z变换只对采样点上的信号起作用，所以也可


将式(5―3)展开，得
s pi
(5―14)
式(5―14)中N′(s)是N(s)对s的导数。 由拉氏变换知道，与Ai/(s-pi)相对应的时间函数为 Aiepit。根据式(5―10)便可求得与Ai/(s-pi)项对应的Z变 换为
Ai Ai z piT 1 piT 1 e z ze
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s 1
s 4
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0 【例5―7】求连续时间函数 e(t ) teT
对应的Z变换式。 解 e(t)的拉氏变换为 E ( s )
t0 t0
1 ( s a )2
则s1,2=-a， r1,2=2。用式(5―16)对它进行变换后，得
E(z)=e(0)z-0+e(1)z-1+e(2)z-2+…+e(m)z-m+… (5―4)
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由此看出，采样函数的Z变换是变量z的幂级数(或 称罗朗级数)。其一般项e(kT)·z-k 的物理意义是e(kT)表 征采样脉冲的幅值；z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。 因为它既包含了量值信息e(kT)，又包含了时间信息z-k 。
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【例5―3】单位斜坡信号。
解 设e(t)=t，求Z变换E(z)，则
E ( z ) ( kT ) z
k 0

k
E ( z ) ( kT ) z
k 0

k
Tz 2 ( z 1)
( z 1)
(5―8)
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若Z［e(t)］=E(z)，则
Z ( e(t nT )] z n {E ( z ) e(0) e(T ) z 1 e(T ) z 2 e[( n 1)T ]z ( n 1) } z n [ E ( z ) e( kT ) z k ]
k 0 n 1
其中，n为正整数。 (5―19)
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【例5―8】求被延迟一个采样周期T的单位阶跃函
数的Z变换。 解 应用右移(延迟)定理，有
z z Z [1(t T ) z Z [1(t )] z z 1 z 1
1 1
4)复位移定理
若函数e(t)有Z变换E(z)，则
采样时刻的连续函数值，其表达式为
e (t ) e(kT ) (t kT )
k 0

(5―1)
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控制规律的离散化设计方法
对式(5―1)进行拉氏变换，得
E ( s ) L[e (t )] e(kT ) e kTs
k 0

(5―2)
式中含有无穷多项，且每一项中含有e-kTs ，它是s的 超越函数，而不是有理函数，为了运算方便，引入新的 变量z，令z=eTs，则式(5―2)可改写为
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控制规律的离散化设计方法
第5章 控制规律的离散化设计方法
5.1 离散系统分析基础 5.2 离散系统性能分析
5.3 数字控制器直接设计
5.4 大林(Dahlin)算法
5.5 数字控制器D(z)算法实现
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5.1 离散系统分析基础
在连续系统分析中，应用拉氏变换作为数学工具， 将描述系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传 递函数为基础的复域分析法，使得问题得以大大简化。 那么在离散系统的分析中是否也有类似的途径呢？答 案是肯定的，在离散系统中，采用Z变换法，也可以将 差分方程转化为代数方程，同样可以建立以Z传递函数 为基础的复域分析法。
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5.1.1 Z变换及性质
1. Z变换定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样函数的拉 氏变换演变而来的。连续信号e(t)的拉氏变换式E(s)是 复变量s的有理函数。在一定条件下，微机控制系统中 的采样可假设为理想采样。将连续信号e(t)通过采样周 期为T的理想采样后可得到采样信号e*(t)，它是一组理 想加权脉冲序列，每一个采样时刻的脉冲强度等于该
,求它的Z变换E(z)。
解 先对E(s)进行部分分式分解:
1 1 E ( s) s( s a ) s s a

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查表得
1 1 z E1 ( z ) Z [ ] 1 s 1 z z 1 1 1 z E2 ( z ) Z [ ] T 1 s a 1 e z z z T z 1 z (1 e T ) E ( z ) ZE ( s ) T 1 z 1 1 e z ( z 1)( z e T ) z (1 e T ) 2 z (1 e T ) z e T
解 由传递函数求出的极点为：s1=-1，r1=1； s2=-4，r2=1。Z变换式为
1 z E ( z ) ( s 1) ( s 1)( s 4) z e sT 1 z ( s 4) ( s 1)( s 4) z e sT z z T 3( z e ) 3( z e 4T )
【例5―4】指数函数。
解 设e(t)=e-at，求Z变换E(z)，a为实常数，则

E ( z ) e kT z k 1 e T z 1 e 2T z 2 e 3T z 3
(5―9) 这是一个公比为e-aT·z-1的等比级数，当|e-aT·z -1|<1时，