福州大学高等数学A

福州大学高等数学A 、B （上）期中考试试卷

2011.11.27 （参考解答）

一．单项选择（共18分，每小题3分）

1. 设sin ()tan x f x x x e =⋅⋅，则()f x 在(,)-∞+∞内为（ Ａ ）

()A 无界函数 ()B 周期函数 ()C 单调函数 ()D 偶函数

2. 函数()f x 在点0x 处可导是()f x 在点0x 处连续的（ C ）

()A 充分必要条件 ()B 必要条件 ()C 充分条件 ()D 既非充分也非必要条件

3.若(1)2f '=，则0

(12)(1)

lim

x f x f x x

→+--=（ ）

()A 2 ()B 4 ()C 6 ()D 8 4. 若()f x 可微，则(cos2)df x =（ ）

()A 2(cos2)f x dx ' ()B 2(c o s 2)f x d x '-

()C 2sin2(cos2)x f x dx '⋅ ()D 2s i n 2(c o s 2)

x f x d x '

-⋅ 5. 曲线ln(1)y x =+上切线平行于直线1

12

y x =

+的点是（ ） ()A (0,0) ()B (1,l n 2) ()C (2,l n 3) ()D (1,1)

6. 函数()f x 在点0x =的某个邻域内连续，且20()1

lim

ln(1)2

x f x x →=-+，则函数()f x 在点0x =处（ ）

()A 可导且(0)0f '= ()B 无极值 ()C 有极小值 ()D 有极大值

二．填空题（共16分，每小题2分）

1.设()f x 的定义域是[0,3]，则(1)(1)f x f x ++-的定义域是_______[1,2]________

2.11

lim(sin

sin )1x x x x x

→∞

+= 3.若sin ()(1)x

f x x =+，则sin sin ()(1)

[cos ln(1)]1x

x

f x x x x x

'=+⋅++

+ 4.函数3

()f x x =，则曲线()y f x =在(,0)-∞内为上凸，在(0,)+∞内为下凸，点(0,0)为曲线()

y f x =的拐点。

5.

设()ln(f x x x =+

()f x ''=

6.由方程5320y y x x +-+=所确定的函数()y y x =在点0x =处的导数0

2.x dy dx

==

7.设21()32f x x x =

++，则()11

11()(1)(2)

n n

n n f x n x x ++=--++ 8.设0

lim ()x f x →存在，且2

11

()2cos (

)lim ()ln(1)x f x x f x x x →=+-⋅+，则 2411

()2cos ()3ln(1)

f x x x x =+-+

三．计算题（每小题7分，共14分） 1，,

求n →∞

+ 解：由于，对任意自然数1n ≥，有

≤+++≤ 即有

≤+++≤

而

11

22

n n ==，故由夹逼法则知，

1

.2n →∞

+= 2.

求0

x →

解：0

0x x →→=

200

0)

n 11c o s

l i l l i m l n 2

x x x x x x →→→-==+ 2

220011tan 11122lim lim .ln 2ln 22ln 22ln 2ln 2

x x x x x x x →→=+=+=

四．计算题（每小题7分，共14分）

1.设1y

y xe =+，求

22

,.dy d y dx dx 解：对方程两边微分得到：0y

y

dy e dx xe dy =++，故.12y y

y

dy e e dx xe y

==-- 从而2222233

(2)(3)(2).(2)(2)(1)y y y y y

y d y e y y y e y e xe e dx y y xe ''⋅-+⋅--===---

2.arctan x t

y =⎧⎪⎨=⎪⎩22,.dy d y dx dx 解：222

22

2()11,()/1/1.1()11t

dy y t d y d dx t t t t dx x t dx dt dt t t

'+======+'++

或者：由已知条件得：lnsec y x ===，故

222sec tan tan ,sec .sec dy x x d y x x dx x dx

=== 五．计算题（每小题8分，共16分） 1.求21

tan 0

lim()

x

x cosx →

解：2222000

1ln cos tan 1

1lim

lim

lim cos tan tan 2tan sec 22

lim()

.x x x x x x x

x x x x cosx e

e

e

e →→→---

→====

另解：22

12sin 11

22sin 22tan tan tan 2

00lim()

lim(12sin )lim[(12sin )]

2

2

x x x

x

x

x x x x

x

cosx --→→→=-=-

2

2

22002sin 2()1

22lim lim tan 2

.x x x

x

x

x

e

e e →→--⋅-

===

2.

求函数()(2f x x =-的单调区间和极值。

解：函数()f x 的定义域是(,)-∞+∞

，且是连续函数。13210()(25)33f x x x -'=-⋅=，令()0f x '=得到函数的驻点1x =，同时可知函数()f x 在点0x =处不可导。容易看出，当(,0)x ∈-∞或

者(1,)x ∈+∞时()0f x '>；当(0,1)x ∈时()0f x '<。因此，函数单调递增的区间为(,0]-∞和[1,)+∞；