2019精品刚体在任何情况下都不发生形变的物体理想模型化学

细棒
J 1 ml 2 12
球体
J 2 mr 2 5
三、回转半径rG
J mrG2
R2 J m
2
从物体对转轴的旋转效应看，物 体的质量好象集中在离轴距离为 rG的一个圆周上。
四、刚体的重力势能
EPi mi ghi
EP mi ghi mghc i
可看作是将质量集中在质心的质点所 具有的重力势能。
i
1 2
i
m i ri2 2
I
刚体的转动动能
Ek

1 2
I 2
令： I miri2
i
为刚体饶定轴转动的转动惯量。
则：
Ek

1 I 2
2
比较平动动能和转动动能，J相当于m
I
mi ri2
i
二 转动惯量
质量不连续的物体
I miri2
i
质量连续分布 I r 2dm
r
v
参考方向
X
2、定轴转动的角量描述： y
角位置：
角位移：
角速度：


d
角速度矢量： dt



o

x
大小：d
dt
方向：右手螺旋
角加速度： d
角加速度矢量：
dt


d

dt


3、线量与角量的关系：
ds rd
v
vr


Fra Baidu bibliotek r
an r 2
at r

1 12
ml
2

mh 2
Ih I0 mh2 ——平行轴定理
平行轴定理
d
刚体对某一轴的转动
惯量，等于通过质心
的平行轴的转动惯量
C
加上刚体的质量与两
轴线之间距离平方的
乘积。
I IC md2
例：求均匀圆盘(m,R)对过质心且 垂直于盘面的轴的转动惯量
I r2dm
R
I r2 2rdr
r
v
总结：定轴转动运动学两类问题：
1、已知 (t ) ，求角位移、
角速度、角加速度。
2、已知 (t)，求角速度
、运动方程。
与一维线量问题类似
§4-2 转动动能 转动惯量
一 转动动能
• 刚体由许多质元组成。当刚体绕定轴
转动时，各质元的角速度都相同， 但线速度各不相同。
解
ml
dm
o x dx
dm dx m
x
l
I0
r 2dm
l 2
x 2dx
1
ml2
l2
12
ml
dm
o x o
dx x
I r 2dm l x2dx 0 1 ml 2 3
ml
o h o
x
Ih
l h 2 ( l h)
2
x2dx
0
dm 2rdr
I 1 mR2 2
[问题]半径为R质量为m的均匀圆环
,对于通过中心并与盘面垂直 的转轴的转动惯量
m
I 1 mR2
2
m I mR2
[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环, 对于沿直径转轴的转动惯量。
解：圆环的质量密度为
m 2R
在环上取质量元dm，
r dm
的物体
刚体的转动惯量决定 于刚体各部分的质量

刚体的质量大小 质量的分布
对给定转轴的分布 转轴的位置
• 例1：边长为a的正三角形ABC，顶点上各 有一个质量为m的质点，绕过AB中点O与 平面垂直的轴转动，角速度为，求该系 统的转动惯量和转动动能。
解：转动惯量
I miri2
i
§4-3 刚体的定轴转动定律
一、力矩
1、力在转动 平面内：
Mr
d
F
φ
M rF
大小：
M rF sin
F
方向： M
Mr
d
φ
F
r
2、力不在转动平面内： F1 F

M rF
转动 平面
r
F2
r (F1 F2 )
变形，r 对F转1 只动能无引贡起献轴。的
刚体内任一点的运动 代表整个刚体的运动
O
• 转动：刚体运动 时，刚体内的各个 质点都绕同一直线 作圆周运动。
• 这一直线称为转轴。 • 定轴转动：转轴是
固定不变的。
O’
刚体的一般运动 =平动 + 转动
Aθ A
A
B B
二、刚体定轴转动的描述：
1、转动平面：垂直
于转动轴的平面。
M
转动平面
0θ
ωα
0
• 3 合力矩
• 每个外力都对刚体有一绕轴的力矩 Mi ri Fi
几个外力同时作用在刚体上，它们的作用
相当于这几个力的力矩的代数和，这就是
合力矩。

M Mi
i
力矩反映力对刚体的作用：力矩越 大，刚体越容易转动。
力矩的正负：
• 使刚体逆时针转动，力矩为正； • 使刚体顺时针转动，力矩为负。
d

R
dm距转轴r
dm dl Rd r Rcos
I r2dm 2 R2 cos2 Rd
m
0
R3 1 mR 2
2
r dm
d

R
dm Rd r Rcos
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
J 1 mr 2 r
2
细棒
J 1 ml 2 3
A
O
a
m( a )2 m( a )2 m( 3 a)2 B
2
2
2
5 ma2 4
转动动能
Ek

1 2
I 2
1 5 ma2 2 5 ma2 2
24
8
例2 求质量为m，长为 l 的均匀细棒 对下列转轴的转动惯量。
过中心并垂直棒的轴；
过端点并垂直棒的轴； 距中心为 h 并垂直棒的轴。
m1, m2, m3,
刚
r1 , r2 , r3 , …….
体
, , , …….
r1 , r2 , r3 ,……
mi 的转动动能：
Eki

1 2

mi
v
2 i

1 2
mi ri2
2
mi
ri
vi
整个刚体的转动动能：Eki

1 2
miri2 2
Ek
Ek i
• 刚体：在任何情况下都不发生形 变的物体。
• 理想模型。
刚体的定轴转动 转动动能 转动惯量 刚体的定轴转动定律 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-1 刚体的定轴转动
• 一 刚体的运动形式 • • 平动 • 转动
• 刚体平动
平动：刚体中任意两点的连线 在运动中始终保持彼此平行。
二 转动定律
• 1 第一定律：刚体所受的合外力矩为 零时，它将保持原有的角速度不变。 转动惯性
• 2 第二定律：刚体在合外力矩M的作 用下，所获得的角加速度与合外力
矩成的反大比小。成正M比 ，与I刚体的I转动d惯量
dt
证明如下：
Fi cos i fi cos i miain