全等三角形中考真题汇编[解析版]
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【详解】
（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2 ，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=2 ，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP= OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（2 ，0）.
②以OA为底边时，
【详解】
将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60 得到线段AD，连接PD
∴AD＝AP，∠DAP＝60 ，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60 ，AB＝AC，
∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，
∴∠DAB＝∠PAC，
又AB=AC,AD=AP
∴△ADB≌△APC
∵DA＝PA，∠DAP＝60 ，
∴b﹣d=10°，
∴（60°﹣a）﹣d=10°，
∴a+d=50°，
即∠DAO=50°，
分三种情况讨论：
①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，
∴190°﹣α=α﹣60°，
【解析】
【分析】
先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】
解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，
【答案】
【解析】
【分析】
把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60 得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90 ，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的 倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝ ×32＋ ×3×4＝ ．
【详解】
解：∵ ，∴∠CBD=∠CDB，
∵ 平分 ，∴∠ADB=∠CDB，
∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，
∵ ， ，∠CBD=∠CDB，
∴ ，∴ ，
∴CA=CD，∴CB=CA=CD，
过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，则 ， ，
∵ ， ，∴ ，
在△BCF和△CDE中，∵ ，∠BFC=∠CED=90°，CB=CD，
本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
3．如图，在四边形 中， ，对角线 平分 ，连接 ， ，若 ， ，则 _________________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD∥BC，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD，可得CB=CA=CD，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE的长和 ，然后即可根据AAS证明△BCF≌△CDE，可得CF=DE，再根据三角形的面积公式计算即得结果．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），点P是y轴正半轴上的一点，且△AOP为等腰三角形，则点P的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．
∴△ADP为等边三角形，
在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，
∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，
∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90 ，
∵△ADB≌△APC，
∴S△ADB＝S△APC，
∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝ ×32＋ ×3×4＝ ．
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP源自文库2，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2 ，
∴OA＝OP＝2 ，
∴P的坐标是（﹣2 ，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，0）．
∴△BCF≌△CDE（AAS），∴CF=DE=5，
∴ ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
4．如图，在等边 中取点 使得 ， ， 的长分别为3，4，5，则 _________．
全等三角形中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=2 ，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
【详解】
有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝ ；
∴D（0， ）；
②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×yA=4，
∴P（0，4）；
③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，
由勾股定理得：OC＝AC＝ ，
∴OC＝ ，
∴C（0， ）；
故答案为： ．
【点睛】
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．
5．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______
【答案】110°、125°、140°
（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2 ，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=2 ，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP= OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（2 ，0）.
②以OA为底边时，
【详解】
将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60 得到线段AD，连接PD
∴AD＝AP，∠DAP＝60 ，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60 ，AB＝AC，
∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，
∴∠DAB＝∠PAC，
又AB=AC,AD=AP
∴△ADB≌△APC
∵DA＝PA，∠DAP＝60 ，
∴b﹣d=10°，
∴（60°﹣a）﹣d=10°，
∴a+d=50°，
即∠DAO=50°，
分三种情况讨论：
①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，
∴190°﹣α=α﹣60°，
【解析】
【分析】
先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】
解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，
【答案】
【解析】
【分析】
把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60 得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90 ，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的 倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝ ×32＋ ×3×4＝ ．
【详解】
解：∵ ，∴∠CBD=∠CDB，
∵ 平分 ，∴∠ADB=∠CDB，
∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，
∵ ， ，∠CBD=∠CDB，
∴ ，∴ ，
∴CA=CD，∴CB=CA=CD，
过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，则 ， ，
∵ ， ，∴ ，
在△BCF和△CDE中，∵ ，∠BFC=∠CED=90°，CB=CD，
本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
3．如图，在四边形 中， ，对角线 平分 ，连接 ， ，若 ， ，则 _________________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD∥BC，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD，可得CB=CA=CD，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE的长和 ，然后即可根据AAS证明△BCF≌△CDE，可得CF=DE，再根据三角形的面积公式计算即得结果．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），点P是y轴正半轴上的一点，且△AOP为等腰三角形，则点P的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．
∴△ADP为等边三角形，
在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，
∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，
∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90 ，
∵△ADB≌△APC，
∴S△ADB＝S△APC，
∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝ ×32＋ ×3×4＝ ．
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP源自文库2，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2 ，
∴OA＝OP＝2 ，
∴P的坐标是（﹣2 ，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，0）．
∴△BCF≌△CDE（AAS），∴CF=DE=5，
∴ ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
4．如图，在等边 中取点 使得 ， ， 的长分别为3，4，5，则 _________．
全等三角形中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=2 ，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
【详解】
有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝ ；
∴D（0， ）；
②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×yA=4，
∴P（0，4）；
③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，
由勾股定理得：OC＝AC＝ ，
∴OC＝ ，
∴C（0， ）；
故答案为： ．
【点睛】
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．
5．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______
【答案】110°、125°、140°