二次函数根与系数关系

一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．
【知识要点】
1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．
2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．
3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．
5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．
【趋势预测】
利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：
①求方程中字母系数的值或取值范围；
②求代数式的值；
③结合根的判别式，判断根的符号特征；
④构造一元二次方程解题；
⑤证明代数等式，不等式；
⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．
【范例解读】
题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，
那么，二次方程的根的情况是 ( )
(A)有两个负根 (B)有两个正根
(C)两根异号 (D)无实数根
分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．
解∵m，n异号且m<n，
∴ m<0，n>0，从而，．
方程的判别式：
，故方程
必有两实根．
设这两个实根为，，则由根与系数关系得
，，可知，均为负数，故选(A)．
题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则
的值为_____________．
分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将
(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．
解由方程根与系数关系得
ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则
题3 (1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求
的值．
分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．
解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，
∴，
．
因α>β，故，．
记，令，从而
，
∴．
题4 (2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则
__________.
分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．
解由已知等式可变形成
与，
由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：
①当时，；
②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系
得，．
∴．
综合①，②得或.
题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α，β，
(1)求以，为根的一元二次方程；
(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．
分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．
解 (1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是
；
(2)由题意得
则
根据七种情况的值依次得以下七个方程：
，，，，，，．
其中仅无实数根，舍去.
故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：
，，，，，．
题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程
的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．
分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．
解原方程可化为
．
∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为
，
∴，，
消去k，得，∴．
由于，都是整数，故
对应的k的值分别为6，3，．
【方法指引】
1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．
2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：
(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．
(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．
(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．
(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．
【综合能力训练】
1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．
2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是 ( )
(A)-3或1 (B)-3
(C)1 (D)不小于的一切实数
3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 p=_____________．
4．若ab≠1，且有，及，则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A 和∠B的度数及k的值．
6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。

参考答案
【综合能力训练】
1．设另外两边长为a、b，则，，因为a，b是实数，所以，即
，∴.
由三角形两边之差小于第三边，有
，
，
∴，故m的取值范围为。

2．由根与系数关系得，，而
由题意得，解得，。

而当时，，无实数根，舍去；当时，方程的两个实数根为1和3。

故选（C）。

3．由是方程的两根得
，，
∴.
由是方程的两根，得
，。

两式相减，得。

4．原式可变形为，
，又即，
∴a，是方程的两根。

∴，即.
故选（A）。

5．由根与系数关系，得
∵∠A+∠B=90°，∴。

于是有
由①式两边平方，得。

③
由②、③式知.
又由①、③式可得，是方程的两根，则有，即，故∠A=∠B=45°。

6．（1）若k=0，则方程为，解得符合题意；
（2）若，设方程的两个整数根为，（），则有
①-②得，。

∴
∴或，
∴，，
或，k=1。

又当或k=1时，判别式均可得到，∴或k=1。

综上所述，满足条件的所有k的值有三个，分别为k=0，或1。