数学分析第二章

放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限
例 2 证明
lim n2 a2 1 n n
证明
| xn1|
n2a2 1
n
n(
a2 n2 a2 n)
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
xn A
A
A
● ●●
目的：
nl im xn A 0,要找到一个
自然数 N使得 n N时，有
A xn A
●
●
● ●
● ●
ห้องสมุดไป่ตู้
n>N
n
xn
越来越小，N越来越大！
A
A
A
n
N
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε
n ＞N
④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面
一串不等式
|xN 1a| |xN 2a| |xN 3a|
都成立，
而对 |x1a| |xNa|
则不要求它们一定成立
数列极限的几何意义
0,N , 使得 N 项以后的所有项
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn }.
例如 2 ,4 ,8 , ,2n, ; { 2 n }
1 2,1 4,1 8,,21n, ;
{
1 2n
}
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ;
23
n
n (1)n1
{
}
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
n
n
n
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
x N 1 ,x N 2 ,x N 3 ,
都落在a点的ε邻域 (a,a)内
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
2
a
a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积,
,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第 第一 二天天 截截 下的 下杖 X的 1 长 为 12杖 ;为 X2长 12总 212和 ;
第二章 数列极限
§2.1 数列极限的概念
§2.2 收敛数列的性质
§2.3 数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列 极限的方法
一、概念的引入
引 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 例 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注 ①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个
动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给
ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分
大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数
2.N与任意给定的 有正 关 . 数
N定义: ln i x m na
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的 :至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
N，30，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N）
②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意
性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通
过ε的相对固定性来实现）。
③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的， 且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须 注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。 用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，
求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。