数列与数学归纳法

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专题 39 数列与数学归纳法 【热点聚焦与扩展】
数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性 问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.
1、数学归纳法适用的围：关于正整数 n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以
考虑使用数学归纳法进行证明
2、第一数学归纳法：通过假设 n k 成立，再结合其它条件去证 n k 1成立即可.证明的
步骤如下：
（1）归纳验证：验证 n n0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设 n k k n0,n N 成立，证明当 n k 1时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论： n n0, n N 时，命题均成立
3、第一归纳法要注意的地方：
（1）数学归纳法所证命题不一定从 n 1开始成立，可从任意一个正整数 n0 开始，此时归
纳验证从 n n0 开始
（2）归纳假设中，要注意 k n0 ，保证递推的连续性 （3）归纳假设中的 n k ，命题成立，是证明 n k 1命题成立的重要条件.在证明的过程 中要注意寻找 n k 1与 n k 的联系 4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设 n k 命题成立时，可 用的条件只有 n k ，而不能默认其它 n k 的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法 的补充，将归纳假设扩充为假设 n k ，命题均成立，然后证明 n k 1命题成立.可使用
的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证 n n0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设 n k k n0,n N 成立，证明当 n k 1时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论： n n0, n N 时，命题均成立.
5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳
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法，确认 n 的初始值 n0 不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设. 【经典例题】
例 1.【2018 届市第一中学 5 月月考】已知 为正项数列 的前 项和，
，记数列 的前 项和为 ，则
的最小值为______.
【答案】 【解析】分析：由题意首先求得 ，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.
详解：由题意结合
，
以下用数学归纳法进行证明：
当
时，结论是成立的，
假设当 时，数列的通项公式为：
，则
，
由题意可知：
，
结合假设有：
，解得：
，
综上可得数列的通项公式是正确的.
据此可知：
.. 业
，
，
.专 ..

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利用等差数列前 n 项和公式可得：
，
则
，
结合对勾函数的性质可知，当 或 时，
取得最小值，
当时
，
当时
，
由于
，据此可知
的最小值为 .
点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、 由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具 有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 例 2. 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，满足 Sn＝2an－2 (n∈N*)
（1）求
的值，并由此猜想数列{an}的通项公式 an；
（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
【答案】（1）
；（2）见解析.
当 n＝4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.
由此猜想：
(n∈N*)．
(2)证明：①当 n＝1 时，a1＝2，猜想成立．
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②假设 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时，猜想成立，即
，
那么 n＝k＋1 时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak
∴ak＋1=2ak
，
这表明 n＝k＋1 时，猜想成立，
由①②知猜想
成立．
点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结
论写明莫忘掉.
例 3．已知数列 满足：
，
（Ⅰ）试求数列 ， ， 的值；
（Ⅱ）请猜想 的通项公式 ，并运用数学归纳法证明之.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
，
，
，证明见解析.
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由此猜想
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下面用数学归纳法证明之：
当
时，
，结论成立；
假设 时，结论成立，即有
，
则对于
时，
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业
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∴当
时，结论成立.
综上，可得对
，
成立
点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：
1、第一步：归纳奠基（即验证 时成立）；
第二步：归纳递推（即假设 时成立，验证
时成立）；
3、两个条件缺一不可，在验证 得到的形式应与前面的完全一致.
时成立时一定要用到归纳假设 时的结论，最后
例 4.【2018 届省市高三 9 月一模】已知数列 中， ，
（1）求证：
；
（2）求证：
是等差数列；
（
）．
（3）设
，记数列 的前 项和为 ，求证：
．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简
，
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