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半角模型例题

已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦

45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF

结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF

结论 3：AH﹦ AD

结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB

结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小

22 2

结论 6：BM﹢DN﹦MN

结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到

结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线

结论 9：四点共圆

结论 10：△ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）

结论 11： MN﹦√2 EF（可由相似得到）

2

结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到）

结论 5 的证明：

设正方形 ABCD的边长为 1

则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3

﹦1﹣1 x﹣1y﹣1 (1 ﹣x)(1 ﹣y)

22 2

﹦1﹣1 xy

22

所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小

结论 6 的证明：

将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合

′

∴DN﹦ BN

′

易证△ AMN≌△ AMN

′

∴MN﹦ MN

′

在 Rt△BMN中，由勾股定理可得：

2′ 2′2

BM﹢BN ﹦MN

22 2

即 BM﹢DN﹦MN

结论 7 的所有相似三角形：

△ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE

结论 8 的证明：

因为△ AMN∽△ AFE

∴∠ 3＝∠ 2

因为△ AMN∽△ BAN

∴∠ 3＝∠ 4

∴∠ 2＝∠ 4

因为 AB∥CD

∴∠ 1＝∠ 4

∴∠ 1＝∠ 2

结论 9 的证明：

因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45°

∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定

理：共边同侧等顶角）

同理可证 C、E、N、F 四点共圆

A、M、 F、 D 四点共圆

C、E、 M、 F 四点共圆

**必会结论 -------- 图形研究正方形半角模型

已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF

45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF.

一、全等关系

（）求证：① 2 2 2 平分，平分

DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE .

1

二、相似关系

（2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG .

（3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BE

DF 1 . CE CF 2

三、垂直关系

（4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB .

（5) 、和差关系

BE 求证：① BG DG 2 BE ；② AD DF 2DH ；

③ | BE DF | 2 | BH DG | .

例1、在正方形 ABCD中，已知∠ MAN﹦ 45°，若 M、N 分别在

边CB、 DC的延长线上移动，

①.试探究线段 MN、BM 、 DN之间的数量关系 .

②.求证： AB=AH.

例2、在四边形 ABCD中，∠ B+∠ D﹦ 180°，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、 CD上，且满足 EF=BE +DF.

求证：∠ EAF＝1∠BAD

2

例3、在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=2∠ DAE=120°，若 BD=5，CE=8，求 DE的长。

例 4、请阅读下列材料：

已知：如图 1 在

Rt ABC 中，，，点 D 、E 分别为线段

BC

上两动点，若

DAE 45

．探BAC 90 AB AC

究线段 BD 、 DE 、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC 绕点A顺时针旋转 90 ，得到ABE ，连结 E D ，

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

A

A

C D C

B D B E

E

图 1 图2

例 5、探究：

（1）如图 1，在正方形 ABCD中， E、F 分别是 BC、CD上的点，且∠ EAF＝45°，试判断 BE、DF与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

（2）如图2，若把 (1) 问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ D＝180°， E、F 分别

是边 BC、 CD上的点，且∠ EAF=1

∠BAD”，则（ 1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证

2

明，若不成立，请说明理由；

（3）在（ 2）问中，若将△ AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、 F 运动到 BC、 CD延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明 ..

练习巩固 1：

如图，在四边形 ABCD中，∠ B﹦∠ D﹦ 90°， AB﹦AD，若 E、 F

分别在边 BC、 CD 上的点，且∠ EAF＝1∠ BAD .

2

求证： EF=BE +DF.

练习巩固 2：

如图，在五边形ABCDE中， AB﹦BC﹦CD﹦ DE﹦EA，

∠CAD＝1∠ BAE，求∠ BAE的度数

2

练习巩固 3：

已知：正方形 ABCD 中，MAN 45o，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延