离散型随机变量的均值与方差期望值解析

.
3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次
的得分ξ的期望为
．
0.7
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那
么一般地,若ξ~B(n，p)，则Eξ=?
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
X
18
24
36
1
1
1
P
2
3
6
这样, 每千克混合糖果的合理价格为
18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36.
数学期望的定义:
一般地，随机变量 的概率分布列为
L L L L x1 x2
P p1 p2
xi
pi
xpnn
则称E x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题
个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，
所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
L L x1 x2
xi
L L P p1 p2
pi
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
思考下面的问题:
某射手射击所得环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得i 环的次数为 P( i)100 .
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于
关于平均的意义,我们再看一个例子,思考:定价怎样 才合理?
18元/ kg 24元/ kg 36元/ kg ?元/ kg
思考 某商场要将单价分别为
18元 / kg,24元 / kg,36元 / kg的三
种糖果按3 : 2 : 1的比例混合销
售,如何对混合糖果定价才合理?
由于在1kg的混合糖果中,3 种糖果
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
8.2.6《离散型随机变量的 均值与方差-期望值》
离散型随机变量的均值与方差(一)
前面,我们认识了随机变量的分布列.
设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,L , xi ,L ,
取每一个值 xi (i 1, 2,L ) 的概率 P( xi ) pi 则称表
的质量分别是1 kg, 1 kg, 1 kg,所以 236
混合糖果的合理价格应该是
18 1 24 1 36 1 23元 / kg
2
3
6
根据古典概型,在混合糖果中,任取一颗糖果,它的 单价为18元 / kg, 24元 / k, 36元 / kg 的概率分别为
1, 1 和 1.用X表示这颗糖果的价格,则它是一个离 23 6 散型随机变量,其分别列为
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
练习二
练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从
中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 1.2 .
2.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 .
（2）E(ξ－Eξ)= 0
特别地：如果X是从某个总体中随机抽到的个体， X的数学期望就是总体均值．
结论1：若 a b, 则 E aE b
Q P( axi b) 所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3L
L ax1 b ax2 b
L LL P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 L (axn b) pn
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.
一般地：
对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已
知 P( i)(i 0,1, 2,L ,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0)1 P( 1)L 10 P( 10) 记为E
我们称 E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。
为 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
练习一
(巩固定义)
结论一证明 结论二证明
思考 随机变量的均值与样本的平均值有何联系 与区别? 可以看到,随机变量的均值是常数,而样本的平均值 是随机变量.对于简单随机样本,随着样本容量增加, 样本平均值越来越接近于总体均值.
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
a( x1 p1 x2 p2 L xn pn ) b( p1 p2 L pn )
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
Fra Baidu bibliotek
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
=np(p+q)n-1=np
此证明亦可参考课本P71的证明
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个
选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选
或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为
0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选
择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.