2018年高中数学黄金100题系列第61题三视图与直观图问题理

第61题 三视图与直观图问题
I ．题源探究·黄金母题
【例1】如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图
计算它的表面积与体积（尺寸如图，单位：
cm ，π取3.14，结果精确到2
1cm ，可用计算器）
【解析】由奖杯的三视图知奖杯的上部是直径为4cm 的球，中部是一个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8cm 、4cm 的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm 、8cm 的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm 、4cm 的矩形，下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别10cm 、8cm 的矩形，下底面是边长分别20cm 、16cm 的矩形，直棱台的高为2cm ，所以它的表面各和体积分别为11933
cm 、10673
cm ．
【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视 图 想象出空间几何体的形状并画出其直观 图,具体方法为；
II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017课标1理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】B
【解析】分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为1
2(24)2122
⨯+⨯⨯
=，故选B.
【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.
【例3】【2017课标II 理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A ． 90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
【答案】B
个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积
2
13436V ππ=⨯⨯=，上半部分是一个底面半径为3，
高为4的圆柱的一半，其体积()221
36272
V ππ=
⨯⨯⨯=，该组合体的体积为：12362763V V V πππ=+=+=。

故选B 。

【例4】【2016年全国1卷理】如图，三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
283
π
，则它的表面积是（ ）
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π 【答案】A
【解析】由三视图知：该几何体是
7
8
个球，设球的半径为R ，则37428V R 833
π
π=⨯=
，解得R 2=面积是
2273
4221784
πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．
【例5】【高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
（A ）20π （B ）24π
（C ）28π （D ）32π
【答案】【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为
122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为
21
22482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为
2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为
12328S S S π=++=，故选C.
【例6】【2015高考新课标2理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．
71 C ．61 D ．5
1
【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133
111326
A A
B D V a a -=
⨯=，故剩余几何体体积为33315
66a a a -=，
所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5
1
，故选D ．
C
B
A
D
D 1
C 1
B 1
A 1
【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题．
【例7】【2017浙江3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3
）是
A ．12
+π
B ．32
+π
C ．
12
3+π
D ．
32
3+π
【答案】A
【解析】：12
)122121(3312+=⨯⨯+⨯⨯⨯=π
πV ，选A ．
【例8】【2017北京理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2
【答案】B
【解析】几何体是四棱锥，如图
红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，2
2
2
22223l ++=，故
选B.
【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视
图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，
便于分析问题.
【例9】【2017山东，理13】由一个长方体和两个1
4
圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .
【答案】22
π
+
【解析】试题分析：该几何体的体积为
21V 112211242
π
π=⨯⨯⨯+⨯⨯=+．
【名师点睛】1.想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中线、面之间的位置关系及相关数据．3.式计算.
【例10】【 2014湖南7】已知棱长为1是一个面积为1．可能．．
等于
A ．1
B 2
C ．2-12
D ．2+1
2
【答案】 C
【解析】由题知，正方体的棱长为1，水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，2 ；因此满足棱长为1俯视图是一个面积为1面积的范围为[1]2，.
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修二第29页习题1.3B 组第1题
【母题评析】本题根据球、柱、台组合的组合体的三视图求其体积与表面积，这是题型在高考中
较为多见，因此在备考中必须引起重视．
【思路方法】
根据三视图求相应的几何体的体积与表面积通常分两个步骤完成：（1）根据三视图确定出几何体的直观图；
(2)三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧
一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关
数据推断出相关数据． 【命题意图】本类题通常主要考查识图能力与空间想象能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档，往往与柱、锥、台、球的体积或表面积计算相联系.
【难点中心】根据三视图求几何体的体积与表面
积其难点主要是如何根据三视图还原出几何体
的直观图．
III．理论基础·解题原理
考点一三视图的基本概念
主视图——光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图叫做几何体的正视图，反映了几何体的左右、上下的位置关系.
俯视图——光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图叫做几何体侧视图．反映了几何体的左右、前后的位置关系.
左视图——光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图叫做几何体的俯视图．反映了几何体的前后、上下的位置关系.
考点二棱柱、棱锥、棱台的三视图
棱柱、棱锥、棱台通常情况下，正视图分别表现为矩形、三角形、梯形，侧视图分别表现为矩形、三角形、梯形，俯视图表现为多边形
考点二圆柱、圆锥、圆台、球的三视图
1．圆柱：正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆.特征：两矩形线框对应一圆形线框.下图．
2．圆锥：正视图和侧视图都是三角形，俯视图是圆和圆心.特征：两三角形线框对应一圆形线框.如下图．
3、圆台：正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆.特征：两梯形线框对应一圆形线框（两同心圆）.如下图．
4．球体：正视图、侧视图、俯视图均为圆
考点三空间几何体的表面积
俯视图
主视图左视图
圆锥
圆柱
左视图
俯视图
圆台
主视图
俯视图
左视图
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积：计算表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求
解．特别地，棱长为a 的正方体的表面积2
6S a =正，长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的表面积
2()S ab bc ca =++长．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积：计算表面积时分为侧面积与底面积两部分，其侧面积可以利用侧面展开图得到，其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长． 3．球的表面积：2
4S R π=（R 为球的半径）． 考点四 空间几何体的体积
1．柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S 和高h 确定，即V Sh =柱体．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2
V r h π=圆柱．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的．
2．锥体的体积：锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S 和高h 的积，即 1
3
V Sh =锥体．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是2
13
V r h π=
圆锥． 3．台体的体积：台体（棱台、圆台）的体积由上底面积S 、下底面积S '、高是h 确定， 即13
V S =台体（＋
S h '）．特别地，上、下底半径分别是r ，R ，高是h 的圆台的体积是221
)3
V h r rR R π=++圆台（．
4．球的体积：34
3
V R π=
（R 为球的半径）
． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档，往往与几何体的表面积与体积联系在一起． 【技能方法】
1．简单组合体的三视图画法 （1）确定主视、侧视、俯视的方向．
（2）分解简单组合体，清楚由哪几个基本几何体生成的，特别是它们的交线位置． （3）画出的三视图要检验是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征． 2．由三视图还原实物图
（1）根据主视图和侧视图确定实物前后与左右侧面的图形形状； （2）根据俯视图确定底面的形状；
（3）根据三视图中交线的虚实确定实物体的凹凸．
【易错指导】
（1）在三视图中不区分虚线与实线，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出；
（2）对于根据组合体三视图还原时，可能分析不清组合体是采用什么形式组合的而不能正确还原； V ．举一反三·触类旁通 考向1 三视图的识别
【例1】【2018宝鸡模拟】将正方体（如图①所示）截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【例2】【2013年新课标Ⅱ卷】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系O xyz -中画出三棱锥，如图所示，由已知可知三棱锥O ABC － 为题中所描叙的四面体，而其在zOx 平面上的投影为正方形EBDO ，故选A ． 【跟踪练习】
1. 【2017兰州模拟】如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
2.【2018莆田一中期末】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O、O1分别为底面ABCD和A1B1C1D1的中心，以OO1所在直线为轴旋转线段BC1形成的几何体的正视图为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设正方体边为a 2
，中心半径为
1
2
a，其余部分半径圆滑变化，故选C
3. 【2018安徽肥东联考】如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧
棱
平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是 （ ）
A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；
B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；
C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；
D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化． 【答案】B
【点睛】：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C 点对三棱柱的结构影响进一步判断.
4.【2017届山东师大附中一模】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）
A ．a b ，
B ．a c ，
C ．c b ，
D ．b d ， 【答案】A
【解析】由直观图可知：其正视图与侧视图完全相同，恰为圆柱与轴垂直的截面，即这两个视图只能是圆，
这时其俯视图就是正方形加对角线（实线），故选A ． 考向2 根据三视图求几何体的表面积
【例1】【2017湖南师大附中上学摸底】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是（ ）
A ．24π
B ．2482ππ＋
C ．2442ππ＋
D ．32π 【答案】C
【点评】由几何体的三视图求几何体的表面积，通常情况下须先将三视图转化为其几何体的直观图，然后根据相关的表面积公式从三视图中提取相关数据，再代公式进行计算．
【例2】【2018银川一中期末】如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某多面体的三视图，此几何体的表面积为(
)
124
25++，则实数a =（ ）
A. 1
B. 22 D. 3 【答案】C
【解析】由三视图可知,该几何体为底面为正方形的四棱锥,表面积为
222111
222222522262522124
25222
a a a a a a a a a a a ⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=+,2a ∴=,
故选C. 【跟踪练习】
1.【2017山西五校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．8(31)π++
B ．8(31)2π++
C ．8(31)π+-
D ．8(31)+ 【答案】A
2．【2015新课标全国高考Ⅰ】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】B
【解析】由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2
＝16＋20π，
解得r ＝2. 故选B
3.【2018山西师大附中期末】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12. 6（立方寸），则图中的x 为（ ）
A. 1.2
B. 1.6
C. 1.8
D. 2.4 【答案】B
4.【2018宜昌模拟】已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，正视图是斜边长为4的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则四棱锥S ABCD -四个侧面中，面积最大的值是_______________
【答案】2【解析】此四棱锥S ABCD -中，面SCD 垂直于面ABCD ，即顶点S 在面ABCD 上的投影落在CD 的中点o 处，底面矩形AB=CD=4，AD=BC=2，锥体的高h=2,所以计算各面面积
4,22,22,42SCD SBC ADS SAB S S S S ∆∆∆====V S ABCD -四个侧面中，面积最大的值2故答案为2
考向3 根据三视图求几何体的体积
【例1】【2018郑州一模】已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则此几何体的体积为（ ）
A ．
3221cm B ．32
15
cm C ．316cm D ．312cm 【答案】B
【点评】由几何体的三视图求几何体的体积，通常情况下须先将三视图转化为其几何体的直观图，然后根据相关的体积公式从三视图中提取相关数据，再代公式进行计算．对于组合体三视图问题相对较困难，还原几何时注意分析组合的形式，即明确是左右组合型、前后组合型、上下组合型、内外挖空型、边角截取型等．
【例2】【2018吉林长春一模】《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）
A. 4立方丈
B. 5立方丈
C. 6立方丈
D. 12立方丈
【跟踪练习】
1．【2018广东珠海高三摸底】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. 243
B. 83
C. 83
3
D.
103
3
【答案】B
【解析】作出立体图形为：
故该几何体的体积为：111
2423222383
332
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=。

故选B
2．【2018广西教育质量诊断性联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）
A. 164π+
B. 162π+
C. 484π+
D. 482π+ 【答案】B
【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为14433
⨯⨯⨯+
211
2316223
ππ⨯⨯⨯=+ ，故选B. 3．【2018贵阳调研】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
【答案】
V=
=
，故答案为：
．
考向4 求三视图的面积
【例1】【2017银川模拟】把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）
A ．
22 B ．2
1 C ．4
2 D ．41 【答案】D
【点评】此类题型通常是给出一个空间几何体的三视图中的两个视图及相关数据，求另一个视图的面积，解答的关键有三步：（1）根据几何体明确第三个视图的形状；（2）从给出的两个视图中提取相关数据；（3）根据第三个视图的形状选择相关的面积公式计算． 【跟踪练习】
1【2017安徽六安一中下期三模】如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点,,P M N 分别在线段11,,AB A D BC 上运动，当三棱锥1B PMN -的俯视图如图2时，三棱锥1B PMN -的左视图面积为（ ）
A ．22a
B ．2a
C ．212a
D ．21
4
a 【答案】C
2．【2018河北正定期末联考】把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，
形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）
A.
12 B. 22 C. 24 D. 1
4
【答案】D
【解析】：∵C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点O ，在边长为1的正方形ABCD 中， 12
22
AO CO AC ===所以：左视图的面积等于
11221
·224
AOC S CO AO ∆=
=⨯⨯=。