最优风险资产风险组合

最优风险资产的风险组合
8.1 分散化与资产组合风险
分散化（diversification）：投资者如果不是进行单一证券的投资，而是投资于由两种以上证券构成的投资组合。

如果构成投资组合的证券不是完全正相关，那么投资组合就会降低风险，在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（market risk）,它源于与市场有关的因素，这种风险亦称为系统风险（systematic risk）,或不可分散风险（nondiversifiable risk）。

相反，那些可被分散化消除的风险被称为独特风险(unique risk)、特定公司风险(firm-specific risk)、非系统风险(nonsystematic risk)或可分散风险(diversifiable risk)
资产组合中股票的个数
8.2 两种风险资产的资产组合
两种资产的资产组合较易于分析，它们体现的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合，我们将考察包括的资产组合，一个为只投资于长期债券的资产组合D，另一个专门投资于股权证券的股票基金E，两个共同基金的数据列表（8-1）如下：
债券股权期望收益率E(r)（%）8 13 标准差为σ（%） 12 20 协方差Cov(r D, r E) 72
相关系数ρDE 0.3
投资于债券基金的份额为w D,剩下的部分为w E=1- w D投资于股票基金，这一资产组合的投资收益r p 为：r p=w D r D,+ w E r E r D为债券基金收益率r E为股权基金的收益率。

资产组合的期望收益：E(r p)=w D E(r D)+ w E E(r E)
两资产的资产组合的方差：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E Cov(r D,r E)
根据第六章式[6-5]得：ρDE=[Cov(r r D, r E)]/[ σD*σE]
Cov(r r D, r E)= ρDE*σD*σ E
所以：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W EρDE*σD*σE 当完全正相关时：ρDE=1
σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD+ W E σE）2
资产组合的标准差σP =W DσD+ W Eσ E
当完全负相关时：ρDE=-1
σ2P =W D2σ2D- W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD- W E σE）2
资产组合的标准差σP =︱W DσD- W EσE︱
当完全负相关时：ρDE=-1 则W DσD- W EσE=0 因为w E=1- w D 两式建立联立方程
得
运用表（8-1）中的债券与股票数据得：
E(r p)=w D E(r D)+ w E E(r E)= 8w D+ 13w E
σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W EρDE*σD*σ E
=122 W D2+ 202W E2+2*12*20*0.3*W D W E
=144 W D2+400 W E2+144 W D W E
011320202020
0.10.912.516.818.0399618.3956519.2
0.20.81213.616.17916.8760218.4
0.30.711.510.414.4554515.4660917.6
0.40.6117.212.924414.1985916.8
0.50.510.5411.661913.1148816
0.60.4100.810.762912.2637715.2
0.70.39.5 2.410.3227911.6961514.4
0.80.29 5.610.411.4542613.6
0.90.18.58.810.9836211.5585512.8
10812121212
图8-3中，当债券的投资比例从0-1（股权投资从1-0）时，资产组合的期望收益率从13%（股票的收益率）下降到8%（债券的收益率）
1.0 0 -1.0 债券
如果w D〉1，w E〈0时，此时的资产组合策略是做一股权基金空头，并把所得到的资金投入到债券基金。

这将降低资产组合的期望收益率。

如w D=2和w E=-1时，资产组合的期望收益率为2*8+（-1）*13=3%
如果w D〈0，w E〉1时，此时的资产组合策略是做一债券基金空头，并把所得到的资金投入到股权基金。

如w D=-1和w E=2时，资产组合的期望收益率为-1*8+2*13=16%
改变投资比例会影响资产组合的标准差。

根据表（8-3），及
公式（8-5）和资产组合的相关系数分别假定为0.3及其它ρ计算出的不同权重下的标准差。

下图显示了标准差和资产组合权重的关系。

当ρ
DE =0.3
的实线，当股权投资比例从0增加到1时，
资产组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因为资产组合中股权先是增加，然后全部投资于股权。

那种资产组合的标准差的最小水平时可接受的？通过计算机电子表格求得准确解
W MIN (D)=0.82 W MIN (E)=0.18 σ
MIN
=11.45%
准差是投资比例的函数，这条线经过w D =1和w E =1两个（两点）非分散化的资
产组合。

当ρ=1时，标准差是组合中各资产标准差的简单加权平均值，直线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票的资产组合，即w D =1或w E =1，表示资产组合中的资产完全正相关。

时，相关系数越低，分散化就越有效，资产组合风
股票基金权重 资产组合标准差是投资比例的函数
险就越低，最小的标准差为10.29%，低于组合中各个资产的标准差（见表8-1）。

W D =σE /（σD + σE ） =0.625 w E =σD /（σD + σE ）=0.375 σMIN
=0
图8-5。

对于任一对投资比例为w D ，w E 的资产，我们可以从图8-3得到期望收益率；从图8-4中得到标准差。

图8-5中的曲线；当ρ=-0.3时的资产组合机会集合（Portfolio opportunity
set ）.我们称它为资产组合机会集合是因为它显示了有两种有关资产构造的所有资产组合的期望收益与标准差。

其他线段显示的是在其他相关系数值下资产组合的机会集合
当ρ=1时 为黑色实线连接的两种基金。

对分散化没有益处
14
13
11
10 8 5
8-5 资产组合的期望收益是标准差的函数
当ρ=0时为虚线抛物线，可以从分散化中获
得最大利益
当ρ=-1时资产组合机会集合是线性的，它提
供了一个完全对冲的机会，此时从分散化中可
以获得最大的利益。

并构造了一个零方差的资
产组合
8.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
上节内容主要讨论了如何在股票、债券市场进行资金配置，
在此基础上，我们引入第三种选择—无风险的资产组合。

对股票、
债券与无风险货币市场证券之间的配置。

最优风险资产组合：两种风险资产和一种无风险
资产
根据表8-1 第一条可能的资本配置线通过最小方
差的资产组合A,（债券与股票）即由W MIN(D)=0.82 W MIN(E)=0.18 组成σMIN=11.45%。

资产组合A期望
收益率为：0.82*8+0.18*13=8.9% 由于国库券利率为5%，报酬与波动性比率（REWARD-TO-VARIABILITY RATIO）, 资本配置线(CAL),表示投资者的所有可行的
风险收益组合。

它的斜率S，等于选择资产组合每增
加一单位标准差上升的期望收益，即资本配置线的斜
率为：
S A=[E(r A)-r f]/ σA=(8.9-5)/11.5=0.34
第二条可能的资本配置线通过最小方差的资产组合B,即由W MIN(D)=0.7 W MIN(E)=0.3 组成σ
MIN=11.7%。

资产组合B期望收益率为：0.7*8+0.3*13=9.5% 由于国库券利率为5%，报酬与
波动性比例（REWARD-TO-VARIABILITY RATIO）,即资
本配置线的斜率为：
S A=[E(r B)-r f]/ σB=(9.5-5)/11.7=0.38
对图8-6 可理解为，由两条资本配置线，求得的
望收益率与最小方差，在其相关系数值下资产组合的
机会集合中，在图中找到A,B两点；我们让资本配置
线变动，最终使它的斜率与投资机会集合的斜率一致，
从而，获得具有最高的、可行的报酬与波动性比率的
资本配置线。

相切的资产组合P（见图8-7）就是加入国库券的最优风险资产组合。

E(r p)=11%，σP=14.2%
14
13
11
10
8
5
8-6 债务与股权基金的机会集合和两条可行的资本配置线
18
11
8
4
8-7 最优资本配置线的债务与股权基金的机会集合
与最优风险资产组合
如何解决两种风险资产和一种无风险资产的组合问题的通用方法：
在这种情况下，关键是推导出关于最优组合各项资产权重，从而使确定最优化资产组合
思路：找出权重w D和w E，以使资本配置线的斜率最大即S p=[E(r P)-r f]/σp
对于包含两种风险资产的资产组合P，它的期望收益和标准差为
E(r p)=w D E(r D)+ w E E(r E)
σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W EρDE*σD*σE
σ2P= W D2σ2D+ W E2σE2+2 w D w E Cov(r D, r E)
=122W D2+ 202W E2+2*12*20*0.3*W D W E
=144 W D 2
+400 W E
2
+2*72 W D W E
w D +w E =1
在共有两种风险资产的条件下，最优风险资产组合（optimal risky portfolio ）P 的权重可表示如下：（对以上方程联立求得） Max S p =[E(r p )-r f ]/ σp
因为∑=1Wi ，则有，
2
12222)()]
,()1(2)1([)1()(E D D D E D D D f
D D D r r
E p r r Cov w w w w r w r E w MaxS p
f
p -+-+--+=
=
-σσσ
用w D 对S p 求导 w E ，令导数位零：，解w D
)
,(]2)()([])([])([)
,()]([])([2
22
E D f E D D f E E f D E D f E E f D D r r Cov r r E r E r r E r r E r r Cov r r E r r E w -++-+----=
σσσ
w E =1-w D
把数带进去得：w D =0.4 w E =0.6
从而，求得： E(r p )=w D E(r D )+ w E E(r E )=11%
σP =（W D 2
σ2
D + W
E 2
σE 2
+2W D W E ρDE *σD *σE ）1/2
=14.2%
这个最优风险资产组合的资本配置线的斜率为：S p =0.42 该斜率大于任一可能的其它资产组合的斜率。

因此它是最优风险资产组合的资本配置线的斜率。

在第七章中，在给定最优风险资产组合和有这个资产组合与国库券产生的资产配置线下，我们找到了一个最优的完整资产组合。

我们以构造了一个最优风险资产组合P ，如果我们用一个个人的投资风险厌恶程度A 来计算投资于完整资产组合的风险部分的
-
.-- 最优比例。

一个风险厌恶相关系数A=4的投资者，他在资产组合P 中的投资头寸为
7439.02.14401.051101.0)(2
2=⨯⨯-=⨯-=P f
p A r r E y σ 因此，投资者将74。

39%的财产投资于资产组合P, 25.61%的资产投资于国库券。

资产组合P 中包括40%的债券，债券所占比例Wd=0.4*0.7439=29.76%;股票权重We=0.6*0.7439=44.63%。