保险精算(均衡净保费)
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{m} (m) x x
1 {m} = P (1+ P ) x 2m
(m) x
⇒P
{m} x
பைடு நூலகம்
≈P
(m) x
1 (m) /(1− P ) x 2m
6.3 退还保费保单的净保费 在保险实践中， 在保险实践中，有些保单规定在保险人 死亡时退还过去已缴净保费的累积， 死亡时退还过去已缴净保费的累积，这种退 还通常有两种不同的规定， 还通常有两种不同的规定，一种是不计息退 还已缴净保费的累积，一种是以规定的利息 还已缴净保费的累积， 累积退还过去已缴净保费部分。 累积退还过去已缴净保费部分。保险赔付额 是随被保险人死亡时间变动的变量。 是随被保险人死亡时间变动的变量。
第6章 均衡净保费 章 早期保险曾采用自然保费的方式， 早期保险曾采用自然保费的方式，它是 每期根据被保险人的出险概率和保险金额计 算的保费。 算的保费。 1756年 Dodson(1710 1757年 1710— 1756 年 James Dodson(1710—1757 年 ) 提 出均衡保费方法， 出均衡保费方法，即把自然保费在长期内均 衡化、平均化， 衡化、平均化，在保费缴付期内每隔一定时 期缴付相等数额的保险费。 期缴付相等数额的保险费。
6.1 均衡净保费的计算 均衡净保费的现值＝ 均衡净保费的现值＝趸缴净保费 A---保险金的现值 保险金的现值 P---期缴均衡净保费 期缴均衡净保费 & 每次 & 每次1单位元的期初付生存年金现值 a---每次 单位元的期初付生存年金现值
& & A = Pa
岁时投保了20000元的死亡 例1：某人在 岁时投保了 ：某人在50岁时投保了 元的死亡 年末赔付终身寿险，假设i=6%，试计算 年末赔付终身寿险，假设 ， （1）终身缴费的年缴净保费 ） （2）10年限期缴费的年缴净保费 ） 年限期缴费的年缴净保费
3、（ ）购买了一份 年期的死亡年末赔付 、（35）购买了一份35年期的死亡年末赔付 、（ 两全保险保单， 两全保险保单，该保单的死亡给付和生存给付 万元， 额均为1万元，利率为 ，试计算其年缴均衡 万元 利率为6%， 净保费。 如果除死亡赔付外，还退还过去已 净保费。 如果除死亡赔付外， 缴净保费的累积（不计利息）， ），这时年缴均衡 缴净保费的累积（不计利息），这时年缴均衡 净保费又是多少？ 净保费又是多少？
补充作业: 补充作业 1、（ ）购买了一份死亡即时赔付 、（40）购买了一份死亡即时赔付10000元 、（ 元 的终身寿险保单，利率为6%。 的终身寿险保单，利率为 。在死亡均匀分 布假设下，计算其年缴均衡净保费。 布假设下，计算其年缴均衡净保费。已知
a40 =14.13703, A40 = 0.143187.
的年缴均衡净保费
1 {m} P − 每次缴付的保费 m 1 {m} P −死亡均匀分布假设下，死亡年平 死亡均匀分布假设下， 2m 均退还的净保费
单位元死亡年末赔付终身寿险为例 以1单位元死亡年末赔付终身寿险为例： 单位元死亡年末赔付终身寿险为例：
1 {m} & & P a ≈ Ax (1+ P ) x 2m Ax 1 {m} {m} ⇒ P ≈ (m) (1+ P ) x x && ax 2m
岁的人共同筹集基金， 例：一些年龄为23岁的人共同筹集基金，并 一些年龄为 岁的人共同筹集基金 约定：在每年的年初，生存者缴纳R元于此 约定：在每年的年初，生存者缴纳 元于此 基金，直至缴付到64岁为止 岁为止。 岁时， 基金，直至缴付到 岁为止。到65岁时，生 岁时 存者将基金均分， 存者将基金均分，使所得金额可购买期初付 终身生存年金，每年领取的金额为3600元。 终身生存年金，每年领取的金额为 元 试求R的值 的值。 试求 的值。
例6：王某从 岁参加工作开始投保了从他 ：王某从25岁参加工作开始投保了从他 60岁退休时开始给付的延期生存年金，保 岁退休时开始给付的延期生存年金， 岁退休时开始给付的延期生存年金 险金额为每月1000元，假设 险金额为每月 元 假设i=6%，保险费 ， 从他25岁工作到 岁退休前按月缴付， 岁工作到60岁退休前按月缴付 从他 岁工作到 岁退休前按月缴付，求 月缴保费额。 月缴保费额。
岁的人投保养老年金保险， 例5：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 ： 岁的人投保养老年金保险 规定，如果被保险人存活到60岁 规定，如果被保险人存活到 岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在 ～69岁间死亡，由 年年金， 岁间死亡， 年年金 若被保险人在60～ 岁间死亡 其指定的受益人继续领取，直到领满10年为止 其指定的受益人继续领取，直到领满 年为止 如果被保险人在70岁仍然存活 则从70岁起 岁仍然存活， ；如果被保险人在 岁仍然存活，则从 岁起 以生存为条件得到年金。 以生存为条件得到年金。如果年金每年支付一 一次支付6000元，预定利率为 ，计算限 次，一次支付 元 预定利率为6%， 年缴清的年缴均衡净保费 期30年缴清的年缴均衡净保费。 年缴清的年缴均衡净保费。
A
1 35:35
&& = 0.062974, a35:35 =14.8261, (IA)
1 35:35
=1.325354.
l35 = 979738, l70 = 766107.
4、 用精算符号表示（25）购买如下终身寿 、 用精算符号表示（ ） 险的初始年保费：若被保险人在前10年内死 险的初始年保费：若被保险人在前 年内死 则可得死亡保险金1万元 万元； 亡，则可得死亡保险金 万元；若被保险人 年后死亡， 万元。 在10年后死亡，则可得死亡保险金 万元。 年后死亡 则可得死亡保险金2万元 已知保费按年缴纳直至被保险人65岁 已知保费按年缴纳直至被保险人 岁，且前 10年每年缴纳的保费为 年后每年缴纳保费 年每年缴纳的保费为10年后每年缴纳保费 年每年缴纳的保费为 的一半，死亡保险金于死亡年末给付。 的一半，死亡保险金于死亡年末给付。
岁时投保了30年定期寿险 例2：李某在 岁时投保了 年定期寿险， ：李某在30岁时投保了 年定期寿险， 死亡年末给付10000元，假设 死亡年末给付 元 假设i=6%。 。 年限期缴费的年缴均衡净保费。 （1）计算 年限期缴费的年缴均衡净保费。 ）计算10年限期缴费的年缴均衡净保费 （2）如果赔付在死亡时发生，保费在保险期 ）如果赔付在死亡时发生， 内均衡缴付，在死亡均匀分布假设下， 内均衡缴付，在死亡均匀分布假设下，求 年缴均衡净保费。 年缴均衡净保费。
例3：王某从 岁参加工作开始投保了从他 ：王某从25岁参加工作开始投保了从他 60岁退休时开始给付的延期生存年金，保险 岁退休时开始给付的延期生存年金， 岁退休时开始给付的延期生存年金 金额为每年20000元，假设 金额为每年 元 假设i=6%，保险费从 ， 岁工作到60岁退休前每年缴付一次 他25岁工作到 岁退休前每年缴付一次，求 岁工作到 岁退休前每年缴付一次， 年缴保费额。 年缴保费额。
6.2 比例净保费 在保险实践中， 在保险实践中，有些保单规定在保险赔 付时退还从死亡到下次预计缴费期间的净保 这种保费缴付方式称为比例保费。 费，这种保费缴付方式称为比例保费。 年缴m次均衡 年缴 次均衡 死亡赔 ＋ 比例退还保 ＝ 付现值 净保费现值 费的现值
P
{m}
−一年 次缴费在比例保费方式下 一年m次缴费在比例保费方式下
2、已知x岁的人服从如下生存分布： 、已知 岁的人服从如下生存分布 岁的人服从如下生存分布：
105 − x s(x) = , 0 ≤ x ≤105, 105
50）购买的保额为10000 年利率为6%。 年利率为6%。对（50）购买的保额为10000 元的死亡即时赔付终身寿险， 元的死亡即时赔付终身寿险，求其终身缴付 的年缴均衡净保费。 的年缴均衡净保费。
年定期寿险， 例：（x）的n年定期寿险，如果被保险人在保险期 ：（ ） 年定期寿险 内死亡，除了赔付1万元外 万元外， 内死亡，除了赔付 万元外，还退还过去已缴净保费 的累积（不计利息）。 ）。假设保险赔付发生在死亡年 的累积（不计利息）。假设保险赔付发生在死亡年 年末，保险费每年缴付一次， 年付清 年付清， 年末，保险费每年缴付一次，n年付清，计算年缴均 衡净保费。 衡净保费。
岁的人购买了从60岁起的生存年 例4：某30岁的人购买了从 岁起的生存年 ： 岁的人购买了从 契约规定，在被保险人60岁 金，契约规定，在被保险人 岁～69岁时 岁时 每年的给付额为6000元，70岁～79岁每年 每年的给付额为 元 岁 岁每年 的给付额为7000元，80岁以后每年的给付 的给付额为 元 岁以后每年的给付 额为8000元，预定利率为 ，保费限期 额为 元 预定利率为6%，保费限期30 年缴清，求年缴均衡净保费 净保费。 年缴清，求年缴均衡净保费。
1 {m} = P (1+ P ) x 2m
(m) x
⇒P
{m} x
பைடு நூலகம்
≈P
(m) x
1 (m) /(1− P ) x 2m
6.3 退还保费保单的净保费 在保险实践中， 在保险实践中，有些保单规定在保险人 死亡时退还过去已缴净保费的累积， 死亡时退还过去已缴净保费的累积，这种退 还通常有两种不同的规定， 还通常有两种不同的规定，一种是不计息退 还已缴净保费的累积，一种是以规定的利息 还已缴净保费的累积， 累积退还过去已缴净保费部分。 累积退还过去已缴净保费部分。保险赔付额 是随被保险人死亡时间变动的变量。 是随被保险人死亡时间变动的变量。
第6章 均衡净保费 章 早期保险曾采用自然保费的方式， 早期保险曾采用自然保费的方式，它是 每期根据被保险人的出险概率和保险金额计 算的保费。 算的保费。 1756年 Dodson(1710 1757年 1710— 1756 年 James Dodson(1710—1757 年 ) 提 出均衡保费方法， 出均衡保费方法，即把自然保费在长期内均 衡化、平均化， 衡化、平均化，在保费缴付期内每隔一定时 期缴付相等数额的保险费。 期缴付相等数额的保险费。
6.1 均衡净保费的计算 均衡净保费的现值＝ 均衡净保费的现值＝趸缴净保费 A---保险金的现值 保险金的现值 P---期缴均衡净保费 期缴均衡净保费 & 每次 & 每次1单位元的期初付生存年金现值 a---每次 单位元的期初付生存年金现值
& & A = Pa
岁时投保了20000元的死亡 例1：某人在 岁时投保了 ：某人在50岁时投保了 元的死亡 年末赔付终身寿险，假设i=6%，试计算 年末赔付终身寿险，假设 ， （1）终身缴费的年缴净保费 ） （2）10年限期缴费的年缴净保费 ） 年限期缴费的年缴净保费
3、（ ）购买了一份 年期的死亡年末赔付 、（35）购买了一份35年期的死亡年末赔付 、（ 两全保险保单， 两全保险保单，该保单的死亡给付和生存给付 万元， 额均为1万元，利率为 ，试计算其年缴均衡 万元 利率为6%， 净保费。 如果除死亡赔付外，还退还过去已 净保费。 如果除死亡赔付外， 缴净保费的累积（不计利息）， ），这时年缴均衡 缴净保费的累积（不计利息），这时年缴均衡 净保费又是多少？ 净保费又是多少？
补充作业: 补充作业 1、（ ）购买了一份死亡即时赔付 、（40）购买了一份死亡即时赔付10000元 、（ 元 的终身寿险保单，利率为6%。 的终身寿险保单，利率为 。在死亡均匀分 布假设下，计算其年缴均衡净保费。 布假设下，计算其年缴均衡净保费。已知
a40 =14.13703, A40 = 0.143187.
的年缴均衡净保费
1 {m} P − 每次缴付的保费 m 1 {m} P −死亡均匀分布假设下，死亡年平 死亡均匀分布假设下， 2m 均退还的净保费
单位元死亡年末赔付终身寿险为例 以1单位元死亡年末赔付终身寿险为例： 单位元死亡年末赔付终身寿险为例：
1 {m} & & P a ≈ Ax (1+ P ) x 2m Ax 1 {m} {m} ⇒ P ≈ (m) (1+ P ) x x && ax 2m
岁的人共同筹集基金， 例：一些年龄为23岁的人共同筹集基金，并 一些年龄为 岁的人共同筹集基金 约定：在每年的年初，生存者缴纳R元于此 约定：在每年的年初，生存者缴纳 元于此 基金，直至缴付到64岁为止 岁为止。 岁时， 基金，直至缴付到 岁为止。到65岁时，生 岁时 存者将基金均分， 存者将基金均分，使所得金额可购买期初付 终身生存年金，每年领取的金额为3600元。 终身生存年金，每年领取的金额为 元 试求R的值 的值。 试求 的值。
例6：王某从 岁参加工作开始投保了从他 ：王某从25岁参加工作开始投保了从他 60岁退休时开始给付的延期生存年金，保 岁退休时开始给付的延期生存年金， 岁退休时开始给付的延期生存年金 险金额为每月1000元，假设 险金额为每月 元 假设i=6%，保险费 ， 从他25岁工作到 岁退休前按月缴付， 岁工作到60岁退休前按月缴付 从他 岁工作到 岁退休前按月缴付，求 月缴保费额。 月缴保费额。
岁的人投保养老年金保险， 例5：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 ： 岁的人投保养老年金保险 规定，如果被保险人存活到60岁 规定，如果被保险人存活到 岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在 ～69岁间死亡，由 年年金， 岁间死亡， 年年金 若被保险人在60～ 岁间死亡 其指定的受益人继续领取，直到领满10年为止 其指定的受益人继续领取，直到领满 年为止 如果被保险人在70岁仍然存活 则从70岁起 岁仍然存活， ；如果被保险人在 岁仍然存活，则从 岁起 以生存为条件得到年金。 以生存为条件得到年金。如果年金每年支付一 一次支付6000元，预定利率为 ，计算限 次，一次支付 元 预定利率为6%， 年缴清的年缴均衡净保费 期30年缴清的年缴均衡净保费。 年缴清的年缴均衡净保费。
A
1 35:35
&& = 0.062974, a35:35 =14.8261, (IA)
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4、 用精算符号表示（25）购买如下终身寿 、 用精算符号表示（ ） 险的初始年保费：若被保险人在前10年内死 险的初始年保费：若被保险人在前 年内死 则可得死亡保险金1万元 万元； 亡，则可得死亡保险金 万元；若被保险人 年后死亡， 万元。 在10年后死亡，则可得死亡保险金 万元。 年后死亡 则可得死亡保险金2万元 已知保费按年缴纳直至被保险人65岁 已知保费按年缴纳直至被保险人 岁，且前 10年每年缴纳的保费为 年后每年缴纳保费 年每年缴纳的保费为10年后每年缴纳保费 年每年缴纳的保费为 的一半，死亡保险金于死亡年末给付。 的一半，死亡保险金于死亡年末给付。
岁时投保了30年定期寿险 例2：李某在 岁时投保了 年定期寿险， ：李某在30岁时投保了 年定期寿险， 死亡年末给付10000元，假设 死亡年末给付 元 假设i=6%。 。 年限期缴费的年缴均衡净保费。 （1）计算 年限期缴费的年缴均衡净保费。 ）计算10年限期缴费的年缴均衡净保费 （2）如果赔付在死亡时发生，保费在保险期 ）如果赔付在死亡时发生， 内均衡缴付，在死亡均匀分布假设下， 内均衡缴付，在死亡均匀分布假设下，求 年缴均衡净保费。 年缴均衡净保费。
例3：王某从 岁参加工作开始投保了从他 ：王某从25岁参加工作开始投保了从他 60岁退休时开始给付的延期生存年金，保险 岁退休时开始给付的延期生存年金， 岁退休时开始给付的延期生存年金 金额为每年20000元，假设 金额为每年 元 假设i=6%，保险费从 ， 岁工作到60岁退休前每年缴付一次 他25岁工作到 岁退休前每年缴付一次，求 岁工作到 岁退休前每年缴付一次， 年缴保费额。 年缴保费额。
6.2 比例净保费 在保险实践中， 在保险实践中，有些保单规定在保险赔 付时退还从死亡到下次预计缴费期间的净保 这种保费缴付方式称为比例保费。 费，这种保费缴付方式称为比例保费。 年缴m次均衡 年缴 次均衡 死亡赔 ＋ 比例退还保 ＝ 付现值 净保费现值 费的现值
P
{m}
−一年 次缴费在比例保费方式下 一年m次缴费在比例保费方式下
2、已知x岁的人服从如下生存分布： 、已知 岁的人服从如下生存分布 岁的人服从如下生存分布：
105 − x s(x) = , 0 ≤ x ≤105, 105
50）购买的保额为10000 年利率为6%。 年利率为6%。对（50）购买的保额为10000 元的死亡即时赔付终身寿险， 元的死亡即时赔付终身寿险，求其终身缴付 的年缴均衡净保费。 的年缴均衡净保费。
年定期寿险， 例：（x）的n年定期寿险，如果被保险人在保险期 ：（ ） 年定期寿险 内死亡，除了赔付1万元外 万元外， 内死亡，除了赔付 万元外，还退还过去已缴净保费 的累积（不计利息）。 ）。假设保险赔付发生在死亡年 的累积（不计利息）。假设保险赔付发生在死亡年 年末，保险费每年缴付一次， 年付清 年付清， 年末，保险费每年缴付一次，n年付清，计算年缴均 衡净保费。 衡净保费。
岁的人购买了从60岁起的生存年 例4：某30岁的人购买了从 岁起的生存年 ： 岁的人购买了从 契约规定，在被保险人60岁 金，契约规定，在被保险人 岁～69岁时 岁时 每年的给付额为6000元，70岁～79岁每年 每年的给付额为 元 岁 岁每年 的给付额为7000元，80岁以后每年的给付 的给付额为 元 岁以后每年的给付 额为8000元，预定利率为 ，保费限期 额为 元 预定利率为6%，保费限期30 年缴清，求年缴均衡净保费 净保费。 年缴清，求年缴均衡净保费。