直角三角形斜边上的中线的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

而且斜边上的中线将“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，恰当地构造并直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，下面举例说借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利

地解决问题，

明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 BC的中点，CE是△ABC的两条高，M是例1．如图1，BD、有什么关系？证明你的猜想．DE的中点．试问：MN与DEN是DE.

垂直平分猜想：MN1

图1，∴NDBC，又NE＝、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=证明：如图：连接ME2DE.

垂直平分的垂直平分线，∴NM⊥DE．即直线MN是线段DEMN，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质1A D

ADBC，∠CBE=，∠ABE例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=902DE=2AB

0∥，

求证：F

AB相等，分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与2

图E 1B

取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD， C

2△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．

1DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BCAFF，连，则AF=FD=，所以∠CBE=∠ADF，证明：DE的中点21∠ABE，所以∠ABF=又因为∠CBE=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．P 三、有中点、无直角，造直角，用性质C

D CD的中点，N是AB、，梯形ABCD中，AB∥CD，M、．如图例33N K 0 BCD=270，∠ADC+∠1M A B

．MN=（AB-CD）求证：3

图20证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=270，

、MK重合，则P、N于APB=90，连结PN，连结PM交DCK，下证N和∴∠11CD，PM=BM=DM=AB，0三点共线，

PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN= 、∵PN22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合，

1（AB-CD）．∴MN=PM-PN=2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠0，这样问题就易以解决了”BCD=270∠ADC+

D

A 四、逆用性质解题E，使CE=CA，至例4．如图4，延长矩形ABCD的边CP

的中点．是AEO

DP．求证：BPEB

C

4

图，于点O，连结PO证明：如图3，连结BD交AC AO=OC=OB=OD∵四边形ABCD是矩形，∴，11，EC=AC∵PA=PE，∴PO=，∴PO=BDEC，∵22．BP⊥DPOP=OB=OD即，∴“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被评析：的一半．BD边的中线等于BD大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证请同学们试一试吧！于E，于D，DE交BCDE1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥A 1

CD=BE．求证：2 BC的于BCD，M是2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥D

．中点，求证：AB=2DM A

C

E B

5

图

M·C B D

6 图

1应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一BEBE是直角三角形的斜边，由1．提示：结论中的2DFC．，即证∠C=∠DF，故应取BE的中点F，连结，只需证明DC=DF半”即可．、，连结DNMN2．提示：取AB的中点N

直角三角形斜边上中线性质的应用它为证明线同时也是常考的知识点．直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，下面谈谈直角三角形斜边上中线的线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。段相等、角相等、性质及应用。一、直角三角形斜边上中线的性质 90为D△BAC中，∠BAC=，1、性质：直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半．如图1，在Rt1

?BCAD 2 的中点，则BC。为BC中点，2、性质的拓展：如图1：因为D1BC?DC?BD 2 所以，1BC 2 AD=BD=DC=所以，，3=∠4∠所以∠1=2，∠，∠ADB=2∠3=24因此∠。2∠1=2∠ADC=2∠．

②分成的因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰两个顶角互补、底角互余，两个等腰三角形的腰相等，2倍．三角形底角的二、性质的应用1、求值

上的中ABRt△ABC斜边CD1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，是例．线，若CD=4，则AB=

1AB? 2 解析：由性质可知：，CD ．所以AB=2CD=8边上的中为AC是BC边上的高，E、（例22006年上海市中考）已知：如图3，在△ABC中，AD4?sinB EDC?tan5 ，。求的值。BC=14点，，AD=12 ∠C的值。C。要求tan∠EDC的值，可转化为求tan解析：由性质拓展可知：∠

EDC=∠

4AD??sinB5AB 中，△ADB，在Rt 。所以AB=15 由勾股定理得：

22229?AD?12?15?BD?AB ，BD=5。－所以DC=BC12AD?5DCC=△ADC中，tan∠，在Rt12 5 tan∠。EDC=所以2、证明线段相等1ABAD?2，D点，使BAC=90°，延长BA 到，在△例3、（2004年上海市中考）如图4ABC中，∠的中点。分别为边BC、AC点E、F

）求证：DF=BE；（1 。∥2）过点A作AGBC，交DF于G。求证：AG=DG（分析：（1）因为E为BC的中点，1BC 2 BE=所以。1BCDF? 2 要证DF=BE，，即为1BC 2 AE连，，只需证AE=DF=AE。的中位线，EF为△ABC因为11//AB?AB//22?ADEF，所以EF所以。，而AD= 为平行四边形。AEFD故四边形．

所以DF=AE，从而DF=BE这一命题得证。

（2）由性质拓展可知：∠1=∠2。

由（1）得AE∥DF，所以∠2=∠D。

因为AG∥BC，所以∠1=∠DAG，

因此∠D=∠DAG，所以DG=AG。

3、证明角相等及角的倍分关系

例4、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC

的中

。∠FDE点，求证：∠FED= 上的高，、AB、CE分别为AC分析：因为BD BEC=90°。所以∠BDC=∠DF为斜边上中线，Rt△BDC中在1BC?DF 2 。所以1BC?EF2中，BEC 同理在Rt△，DF=EF，所以FDE。所以∠FED=∠DGDC=BE，是高，CE是中线。年上海市中考题）

已知：如图6，在△ABC中，AD例5、（2003

，G为垂足。⊥CE ∠BCE。是CE的中点；（2）∠B=2求证：（1）G 斜边上中点，连DE，则E是Rt△ADB分析：（1）1BEABDE?? 2 ，DE=DC。所以CE的中点。CE，所以G为⊥又因为DG 2。DE=DC，所以∠1=∠（2）因为，∠1+∠2因为∠EDB= 。所以∠EDB=2∠2 ，B=∠EDB由性质拓展知：∠。B=2∠BCE所以∠B=2∠2，即∠4、证明线段的倍分及和差关系⊥上的一点，且ADD∠B，是BC7例6、（2007年呼和浩特市中考）如图，在△ABC中，∠C=2 。；（2）求证：BD=2ACAEC=是BD的中点，连AE。求证：（1）∠∠CEAB，点

BD上中线，由性质拓展可知：BAD1）因为AE是Rt△斜边分析：（。B∠AEC=2∠，又因为∠C=2∠B AEC=∠C。所以∠斜边上中线。RtAEAE=AC，∠∠1由2（）（）AEC=C所以，是△BAD 由性质可得：

11BDAC?BDAE?22 ，，所以。故BD=2AC、E，∠A+∠B=90°，例7、（第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD1(AB?EF?CD)2。CD的中点。求证：

F分别是AB、

GF。G，连GE、分析：延长AD、BC交于B=90°，由于∠A+∠°。所以∠G=90 DCE、F 分别为、AB中点。由性质可得：11ABCD,GE?GF?22 。由性质拓展可得：AGF。，∠GAF=∠GDE=∠∠AGE AB，因为CD∥GAF，所以∠GDE=∠AGF，所以∠AGE=∠三点在同一直线上，F、E、所以G1)CD(ABEF?? 2 。所以、证明线段垂直5边上DCAB、，M、N 分别是AD，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥，且AC=BD例8、如图9 。⊥DC的中点。求证：MN ，由性质可得：、CM△ACB斜边上中点，连DM分析：M是Rt△ADB与Rt1

ABDM?MC? 2 ，为等腰三角形。所以△DMC 的中点，N为CD又因为。MN⊥DC所以、证明特殊的几何图形6°得AC所在直线翻折18010，将Rt△ACB沿直角边9例、（2007年新疆维吾尔自治区中考）如图为菱形．请给予，则四边形ADCF的中点，连CD、CF、△到RtACE，

点D与点F分别是斜边ABAE

证明．AC分析：由于△ACE是△ACB沿直角边翻折得到的，ACE=90°．，∠所以AB=AE 斜边上中线，ACB和Rt△ACE分别是因为D、FRt△11AF?,AB?ADCF??CDAE22 所以，，所以AD=DC=AF=FC 为菱形。ADCF所以四边形．

三、尝试训练

1、（黑龙江中考）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为．

2、（2006年重庆市中考）如图11所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△ACD和△BCD两个三角形（如图12所示），将纸张△ACD 沿直121121线DB（AB）方向平移（点A，D，D，B始终在同一条直线上），当点D与点B重合