二次函数-因动点产生的面积问题典型例题

二次函数-因动点产生的面积问题

例1、如图1，已知抛物线2

12

y x bx c =

++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．

（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；

（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、

D 、

E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；

②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．

图1

思路点拨

1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．

3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．

4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值． 满分解答

（1）b ＝1

2c +

，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1

(,(1)(2))2

x x x c ++．

过点E 作EH ⊥x 轴于H ．

由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．

所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．

当C 、D 、E 三点在同一直线上时，

EH CO DH DO =．所以1212

c c

c --=

--． 整理，得2c 2

＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12

c =（舍去）．

所以抛物线的解析式为213

222

y x x =--．

（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为1

22

y x =-． 设21

3(,2)2

2P m m m -

-，那么1(,2)2F m m -，21

22

FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221

()24(2)42

B C FP x x FP m m m -==-+=--+．

因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4． 当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．

②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个． 考点伸展

点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．

当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．

例 2、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．

（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；

（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′

O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．

图1

思路点拨

1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．

2．联结PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．

3．过点向x 轴作垂线，四边形PB ′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形． 满分解答

（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．

所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2

＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．

如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2

＋x ＋2)．

232'1111

(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113

(2)(2)22222

PDB

S DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+．

所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2

＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1． 所以点P 的坐标为(1，2)．

图2 图3 图4

（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线． 考点伸展

第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．

'11

'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 2211

2(2)222

PBO

P S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．

甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：

作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．

而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．