高一数学集合与函数概念

• [例2] 已知关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ________． • [ 解析] 设 y1＝ x2－4|x|＋5， y2＝ m ，由于 y1 ＝ x2 － 4|x| ＋ 5 为偶函数，画出 x≥0 的图象， 再由对称性可画出x<0时的图象，由图可见 1<m<5时方程有4个根．∴1<m<5.
• 三、注重数学思想与方法的提炼与掌握， 养成自觉运用数学思想与方法分析解决数 学问题的思维习惯 • 1．数形结合的思想 • [ 例 1] 设 函 数 f(x) ＝ x2 － 2|x| － 1( － 3≤x≤3)． • (1)证明f(x)是偶函数； • (2) 指出函数 f(x) 的单调区间，并说明在各 个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； • (3)求函数的值域．
1 a＝± ∴ b＝0
a＝－1 ，但由互异性知，a≠1，∴ b＝0
，
∴a2009＋b2010＝－1.
• 4．空集是任何集合的子集，解题时要特别 注意． 1 [解析] ①当 Δ＝1－4a<0 ，即 a>4时，A＝∅，满足 A B； 2 • [ 例 5] 集合 A ＝ {x|x ＋ x ＋ a ＝ 0} ， B ＝ { － 1， 则 实 数 1 a的取值范围是 2,1} ， 若 A B ②当 Δ＝0 即 a＝4时，A＝{－2}，不合题意． ________．
• [例3] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－ 5,5]． • (1) 当 a ＝－ 1 时，求函数 f(x) 的最大值和最 小值； • (2) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f(x) 在区间 [－5,5]上是单调函数． • [分析 ] 第(1)问，将a ＝－1代入，根据二 次函数的图象得出结论；第(2)问，根据二 次函数的对称轴的位置确定单调性．
• [ 例 3] f(x) 为偶函数，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上为 增函数，f(4)＝0，则xf(x)>0的解集为 ( ) • A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) • B．(－4,0)∪(0,4) • C．(－∞，－4)∪(0,4) • D．(－4,0)∪(4，＋∞)
[解析]
x<0 f(x)<0
情形
a>0 1： a>1
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⇒a>1
情形
a<0 2： a<－1
⇒a<－1.故选 D.
• 2．函数与方程的思想 • 函数与方程可以相互转化，注意运用函数 与方程的思想解决问题 2＋bx＋c＝ • 要特别注意掌握一元二次方程 ax 2 讨论一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a>0)(※)的根的分 0(a≠0)的根的分布 2
即 f(x)＝
2 ( x ＋ 1) －2，x<0.
• 根据二次函数的作图方法，可得函数图象， 如下图所示
• 函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)， [0,1)，[1,3]． • f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数， 在[－1，0)，[1,3]上为增函数． • (3) 当 x≥0 时，函数 f(x) ＝ (x － 1)2 － 2 的最小 值为－2，最大值为f(3)＝2. • 当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为 －2，最大值为f(－3)＝2； • 故函数f(x)的值域为[－2,2]．
• 章末归纳总结
• 一、集合的概念与表示，集合间的关系与 运算． • 1 ．理解用描述法表示的集合中元素的属 性是解决集合问题的重要基本功． • [例1] (1)集合 A＝{y|y＝x}，B＝{y|y＝x2}， 则A∩B＝________. • (2) 集合 A ＝ {(x ， y)|y ＝ x} ， B ＝ {(x ， y)|y ＝ x2}，则A∩B＝________. • [解析] (1)集合A是函数y＝x的值域，∴A ＝ R ，集合 B 是函数 y ＝ x2 的值域， ∴ B ＝ {y|y≥0}，∴A∩B＝{y|y≥0}．故填{y|y≥0}．
• [解析] 画出Venn图如图，依次据条件将元 素填入，A∩B＝{b}，故b填在A与B公共部 分，(∁UA)∩B＝{d}，故d填在A圈外，B圈内， 又(∁UA)∩(∁UB)＝{a，e}，∴a，e填在A、B 两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个 位置，故应填在A内B外，∴c∈A且c∉B， 选B.
• 2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解 “函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围”．
[解析]
(1)∵0≤x≤1 时，f(x)有意义，
∴要使 f(2x－1)有意义． 1 须 0≤2x－1≤1，∴2≤x≤1， 1 故所求定义域为[2，1]． (2)∵0≤x≤1，∴2≤x＋2≤3，∴使 f(x)有意义的 x 的允 许取值范围是 2≤x≤3，故所求定义域为[2,3]．
• 6 ．熟练掌握 A⊆B⇔A∩B ＝ A⇔A∪B ＝ B 及 集合的运算是解决一些集合问题的基础． • [ 例 7] (1) 如果全集 U ＝ {x|x2 － 5x － 6<0 ， x∈N ＋ } ， A ＝ {2,3} ， B ＝ {1,3,5} ， 则 ∁U(A∪B)＝________，A∩∁UB＝________. • (2)设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}， 且A∩B＝B，则实数a的值为 ( ) • A．1 B．－1 • C．1或－1 D．1，－1或0
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合， ∴A∩B
y＝x 是方程组 2 y ＝ x
的解为坐
标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
• 2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间 的关系与运算能起到事半功倍的效果． • [ 例 2] 集合 A ＝ { px|x< － 1 或 x>2} ， B ＝ {x|4x [解析] B＝{x|x<－4}，∵B A， ＋ p<0} ，若 B A ，则实数 p 的取值范围是 ________．
• 二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶 性、最值及应用 • 1 ．解决函数问题必须首先弄清函数的定 义域 2
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x ＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
• [ 解析 ] 由 x2 ＋ 4x≥0 得， x≤ － 4 或 x≥0 ，又 二次函数u＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开 口向上，故f(x)的增区间为[0，＋∞)．
• [解析] (1)∵U＝{x|(x－b)(x＋1)<0，x∈N ＋ } ＝ {x| － 1<x<6 ， x∈N ＋ } ＝ {1,2,3,4,5} ， A∪B＝{1,2,3,5}， • ∴ ∁ U(A∪B) ＝ {4} ， A∩∁UB ＝ {2,3}∩{2,4} ＝{2}． • 故依次填{4}，{2}． 1 当 a≠0 时，应有 a＝a，∴a＝± 1.故选 D. • (2)当a＝0时，B＝∅ ，A∩B＝B；
• [点评] 注意上面的虚线箭头，(1)中前面 的x与后面的2x－1取值范围相同，都是 [0,1]，(2)中前面的x＋2与后面的x的取值 范围相同，而x＋2中的“x”允许取值范 围是[0,1]．
• 3 ．熟练掌握一次函数、二次函数、反比 例函数和y＝ • 等的图象特征．熟练判断函数的单调性、 奇偶性，了解常见对称特征和平移． • (1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴 对称； • (2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴 对称； • (3)y ＝－f( － x) 的图象与 y ＝f(x) 的图象关于 原点对称； • (4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的
• • • • • •
[解析] (1)当a＝－1时， f(x) ＝ x2 － 2x ＋ 2 ＝ (x － 1)2 ＋ 1 ， x∈[ － 5,5] ， ∵f(x)的对称轴为x＝1. ∴x＝1时，f(x)取最小值1； x＝－5时，f(x)取最大值37. (2)f(x) ＝ x2 ＋ 2ax ＋ 2 ＝ (x ＋ a)2 ＋ 2 － a2 的对 称轴为x＝－a，∵f(x)在[－5,5]上是单调函 数． • ∴－a≤－5，或－a≥5，即a≤－5，或a≥5.
③当 Δ>0 时，集合 A 中有两相异元素，故 A B 不可能成 1 立，综上所述 a> . 4
• 5 ．新定义集合，关键是理解“定义”的 含义，弄清集合中的元素是什么． • [ 例 6] A 、 B 都是非空集合，定义 A*B ＝ {x|x ＝ a·b ＋ a＋ b，a∈A，b∈B且 b∉A∩B}， 若A＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的 和为________． • [ 解析 ] 由 A*B 的定义知， a 可取 1,2 ， b 可 取0,3，A*B中的元素x＝ab＋a＋b， • ∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.
x>0 作 出 示 意 图 如 图 ， xf(x)>0 ⇔ f(x)>0
或
，∴x>4 或－4<x<0.故选 D.
• [例4] 函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两 个公共点，则实数a的取值范围是 ( ) • A．(1，＋∞) • B．(－1,1) • C．(－∞，－1]∪[1，∞) • D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) • [解析] 画出y＝a|x|与y＝x＋a的图象．
布情况可以用(1)判别式(Δ＝b －4ac)与韦达定理(x1＋x2＝ b c －a，x1· x2＝a)或(2)构造函数(f(x)＝ax2＋bx＋c)结合图象和 求根公式两种思路来讨论．
• ①方程 (※) 有两不等实根 ⇔ Δ>0 ，方程 (※) 有 两 相 等 实 根 ⇔ Δ ＝ 0 ， 方 程 (※) 无 实 根 ⇔Δ<0，方程(※)有实数解⇔Δ≥0. Δ≥0 • ②方程 ( ※ ) 有零根 ⇔ c ＝ 0. x1＋ x2>0 ⇔ 较 小 的 根 x ＝ ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔
p ∴结合数轴可知－4≤－1，∴p≥4.
• [ 例 3] 设全集 U ＝ {a ， b ， c ， d ， e} ，若 A∩B ＝ {b} ， (∁UA)∩B ＝ {d} ， (∁UA)∩(∁UB) ＝{a，e}，则下列结论中正确的为 ( ) • A．c∈A且c∈B B．c∈A且c∉B • C．c∉A且c∈B D．c∉A且c∉B • [答案] B
• [解析] (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1 • ＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)是偶函数． • (2)当x≥0，时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－ 2， 2 2＋ • 当x<0时， f ( x ) ＝ x 2 －1＝(x＋1)2－2， ( x － 1) －2 ， x≥ 0x ，
• (6) 将 y ＝ f(x) 的图 象上各 点向右 ( 左 ) 平 移 a(a>0) 个单位，可以得到函数 y ＝ f(x － a)(y ＝f(x＋a))的图象． • 将y＝f(x)的图象上各点向上(下)平移a(a>0) 个单位，可以得到y＝f(x)＋a(或y＝f(x)－a) 的图象． • (7)y ＝ |f(x)| 的图象可由 y ＝ f(x) 的图象位于 x 轴及上方的部分不变，下方图象作关于 x 轴的对称翻折而得到． • y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x) 图象相同，而 y ＝ f(|x|) 是偶函数，再在 y 轴 左侧作右侧部分的对称图形即可．
• 3．含字母的集合的相等、包含、运算关系 b [例 4] 集合 A＝{a，a，1}，B＝{a2，a＋b,0}，若 A＝ 问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别 注意集合元素的互异性． B，则 a2009＋b2010＝________.
[解析] b b ＝0 ＝0 a 由条件知 ，或a ， 2 a ＝1 a＋b＝1
x1x2>0 － b >0 2a －b－ Δ 2a >0 (a>0) ⇔f(0)>0 Δ≥0