直线方程中的对称问题 PPT

y
O
x P(2,–1)
y=3x–4
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求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
y
O
x P(2,–1)
y=3x–4
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求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
法三：分析一: 将直线的对称转化为直线上的点的对称.
设 M ( x , y ) 对 称 直 线 上 任 一 点 ， 则 其 关 于 P 的 对 称 点
（法二）：设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:
线段AB⊥l 即; n 1 2 =-1
①
m (7)
线段AB被直线l平分,即线段AB的中点
m7 , n1 2 2
在直线l上,故有 2 m 7 - n 1 -5=0
②
2
2
联立①② 解得m=9 n= -7
∴B(9,-7)
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例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
7
直线l是线段PQ的垂直平分线，即
1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
问题研讨
l：ax+by+c=0，a≠0,b ≠0,点 P(x0,y0),如何求点P关于直线l
的对称点Q的坐标？
y
P
Q
O
x
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练一练、求点A(3,2)关于直线ｌ: y=2x+1的对称点B的坐
标.
解:设B点坐标为(a,b),因ｌ垂直平分线段AB,则
b 2 2 1 a3
b
2
2
2
a
2
3
1
解得a= –1,b= 4.
y B(a,b)
O
ｌ
A(3,2) x
所以所求点B的坐标为（－1，4）.
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
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例. 求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解题要点：中点公式的运用
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知识运用与解题研究
一、点关于点对称
例1. 已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A点
· 关于B点的对称点C的坐标。 y
解:设C(x,y)
A
-4= 5+x
则
2
∴
来自百度文库
1=
8+y 2
C(-13，-6)
得
x=-13
y=-6
C·
B·
O
x
解题要点：中点公式的运用
5
2、轴对称: ①点关于线对称:
等距。
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（二）直线关于直线的对称
C1 M＇(x1,y1)
l1 l2 l1'
l M(x,y)
C2
例. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0
对称的直线l 的方程。
解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
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练一练：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的
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② 线关于点的对称问题：
说明两直线关于一点对称的几何特征
m B
A n
P
C
D
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方法小结
直线m上任取两点A、B求出n上的 对称点C、D后，由两点确定一条直线
对称中心到两平行直线的距离相 等，利用平行直线系。
n上的任意一点的对称点在m上 ，利用相关点法。
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（二）直线关于点的对称
求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
对称问题
1
点关于于点的对称
中心对称问题
对
线关于点的对称
称
问
题
轴对称问题
点关于线的对称
线关于线的对称
2
1.点关于点对称
①点关于点对称：
Q
P
M
说明两点P和Q关于点M对称的几何特征 点M是线段PQ的中点
3
点关于点的对称
A(x,y) O (m ,n) A' (2mx,2ny) 注： (x,y)( 0 ,0)(x,y)
（法一）：∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1）
∴直线AB的方程为y-1=-
1 2
（x+7）
即x+2y+5=0
由
x 2y 5 0 2x y50
解得 x1 y3
即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1）
由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.
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例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
N (4x, 2y)在直 y3x 线 4 上y
2y3 (4x)4
O
x P(2,–1)
化 简 得 3xy100
y=3x–4
所 求 直 线 方 程 是 3 x y 1 0 0 .
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直线关于点对称
主要方法： 法一：转化成求点关于点的对称
法二：利用点到直线的距离 l 1 // l 2且P到两直线
对称的直线方程。
分析：在直线3x-2y+6=0上取一 点A（0,3），求它关于直线x2y+1=0的对称点为B（2，-1）。
Y 3x-2y+6=0
x-2y+1=0 A
由两直线方程联立方程组可求
得交点P，
O
X
由两点式或点斜式求出方程
P
B
x+18y+6=0
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特殊的, P (x , y)关于下列直线的对称点:
关于X轴的对称点 _(_x__,__-y__)___ 关于Y轴的对称点____(_-_x__, _y_)_ 关于直线y=x的对称点___(_y__,_x__)___ 关于直线y= - x的对称点 ___(-__y_,_-_x_)____
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3 点关于直线的对称点
(法三) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:
线段AB⊥l 即; n 1 2 =-1
①
m (7)
由题知：A，B两点关于直线l对称，则A,B两点到 直线l的距离是相等的，则：
联立①② 解得m=9 n= -7
∴B(9,-7)
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点关于直线的对称
A (a,b) l :A x B y c 0 A '