电磁学1-3
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Ey d Ey Ez d Ez
E Ex i E y j Ez k
20
其矢量表示式为
场强的大小
E Ex i E y j
2 E Ex2 E y
场强的方向可用 E 与 x 轴的夹角 表示
arctan
Ey Ex
21
例3 求一均匀带电直线在P点的电场。
λx 2 π R dl 3 0 4πε0 r
qx 2 2 32 4πε0 ( x R )
dl
R
r
x
o
d l
x
θ
P
dE
d E dE x
dE
x
29
dq
y
当 dq 位臵发生变化时，它所激发的电场 d E
矢量构成了一个圆锥面。 由对称性
.
R
x
z
dE
E y Ez 0
Ey (cos1 cos 2 ) 4 π 0a
dE
dEx
y
P a
dE y
r
1
2
当直线长度 L
O
x dx
x
{
Ex 0
1 0
2
π
Ey 2 4 π 0a 2 π 0a
26
无限长均匀带电直线的场强
E 2 π 0a
无限长带电直导线附近某 点的场强 E 大小与该点离 a 带电直线的距离 成反比， 场强 的方向垂直于直线。 E 无限长均匀带电直线的场强分布具有轴对称性。
Fi
F E q0 F1 F2 Fn q0 E1 E2 En
q i 对 q0 的作用
i 1
q1 q2
q3
e1 e 2 r2 r3 e3
r1
P
q0
F3 F2 F1
10
q1 q2
q3
e1 e 2 r2 r3 e3
r1
P q0
E3 E2 E1
qi 1 E Ei e 2 i 4πε0 i ri i
点电荷系在空间任意一点所激发的总场强等于各个点 电荷单独存在时对该点所激发的场强的矢量和。这就是场 强叠加原理，是电场的基本性质之一。
11
例1 求电偶极子中垂线上的电场。 解 有两个大小相等的点电荷 + q 和 - q ， 当两者之间的距离比考察的场点到 它们的距离小得多时，此系统称为 电偶极子。
Q
P E 0
Q
P q
F E0 q
三、点电荷与点电荷系的场强
（1）点电荷的电场
F
F 1 q E er 2 q 4 π0 r
1 qq0 er 2 4 π0 r
q0
E
er r
场点
F
q
E
源点
E
+
r
r
7
E
1 q e 2 r 4 π0 r
d Ex cos d 4 π 0a
1 dx d Ex cos 2 4 π0 r
1 dx d Ey sin 2 4 π0 r
d Ey sin d 4 π 0a
24
将以上两式对整个带电细棒积分
dE
dEx
y
P a
dE y
r
1
2
O
2
x dx
27
例4 正电荷q均匀分布在半径为R的圆环上。 计算通过环心点O并垂直圆环平面的轴线上任一点P 处的电场强度。
R
x
o
P
x
x
28
解
q 2 πR
d q dl
E d E 0
l
1 dl dE 2 4πε0 r
由对称性
dl x E d Ex d E cosθ 2 l l 4 πε 0 r r
5
F 1.由 E 是否能说， E 与 F 成正比，与 q0成反比？ q0
2.一总电量为Q>0的金属球，在它附近P点产生的场强 为 E0。将一点电荷q>0引入P点，测得q实际受力 F 与
讨论
q之比为 F q ，是大于、小于、还是等于P点的 E 0
wk.baidu.com
根据场强叠加原理，P点的总场强为
E E1 E2 2.3 3.2i 1.6 j N/C 0.9i 1.6 j N/C 1.6 arctan 120 . 7 电场和x轴的夹角为
0.9
17
（3）连续分布电荷的电场
E E ( x, y , z )
电场是矢量场，若空间各点场强的大小和方向都相同， 则称为均匀电场或匀强电场。
4
电场的基本特性是对场中的电荷有力的作用，若将电 量为q的点电荷臵于场强为 E 的某点，则该点电荷所受 的电场力为： 点电荷
F qE
Q
q
F
场源电荷
q 0, 则F与E方向相同 q 0, 则F与E方向相反
x
(sin 2 sin 1 ) Ex cos d 4 π 0a 4 π 0a
1
(cos1 cos 2 ) Ey sin d 4 π 0a 4 π 0a
2 1
25
讨论 极限情况，由 Ex (sin 2 sin 1 ) 4 π 0a
把带电体看成是许多极小的连续分布的电荷元 dq 组成。
dl
电荷线分布 电荷面分布 电荷体分布
dq dl
dq dS
d q d V
dV
dS
18
每一个电荷元 d q 都当作点电荷来处理，而 电荷元 d q 在 P 点所激发的场强，按点电荷的场 强公式 1 dq
dE
4πε0 r
+
真空中点电荷场强分布
8
E
1 q e 2 r 4 π0 r
结论：
量 q 成正比，与该点到场源电荷的距离r的平方成反比；场强 的方向沿场源电荷与该点所在点的连线。 q 为正时， E 与 r方 q 为负时， 向相同， E 与 er方向相反， E 指向 q 。 E 背离 q ；
P
θ
E1 x
－9 1 . 0 10 9 E1 9.0 10 i N/ C 2.3i N/ C 2 2.0
16
q2在P点所激发的场强的大小为
E2 9.0 10
9
E2的矢量式为
1.0 2.0
2 2
2.0 10
－9 2
N/C 3.6 N/C
E2 3.6 cosi 3.6 sin j N/C 3.2i 1.6 j N/C
qx E 4 π 0 ( x 2 R 2 )3 2
30
qx E 4 π 0 ( x 2 R 2 )3 2
讨论 （1） x R
E 2 R 2 即在远离环心的地方，
带电环的场强可视为电 2 荷全部集中在环心处所 R 产生的场强。 2
o
q E 4 πε0 x 2
R
x
E0 0 dE （ 3） d x 0 2 x R 2
P
E
l
+
电偶极矩（电矩）
P ql
E
P
E
r
l/2
电矩是矢量，方向由负电荷沿偶 极子轴线指向正电荷。
1 q E E 2 2 4 π 0 (r l / 4) q E 2E cos
+
q
l/2
12
l/2 cos 2 2 E 2E cos (r l / 4)1/ 2 1 q l/2 2 E 2 2 1/ 2 2 2 4 π 0 (r l / 4) (r l / 4) P 1 ql E 4 π 0 (r 2 l 2 / 4)3 / 2
2
er
根据场强叠加原理,整个带电体在 P点激发的 场强为
1 dq E dE e 2 r 4πε0 r
dq
+ +
+ + + + +
+
+
+
er
r
P
dE
19
E
1 dq er 2 4 π0 r
计算时将上式在坐标系中进行分解，再对坐 标分量积分。 Ex d Ex
思考 试探电荷与点电荷有何不同？
3
电场中某一点的电场强度
F E q
A 2q FA 0
q0
2 FA
B
q0
FB
在电场某点处，场强的大小等于单位正电荷在该点所受的 电场力的大小，场强的方向与该单位正电荷在该点处所受 电场力的方向相同。
在SI中，场强单位：牛/库(NC-1) 一般来讲，空间不同点的场强的大小和方向都是不同 的，即电场强度是空间位臵的函数，
1.3 电场 电场强度
一、电场
库仑定律给出了两个静止点电荷间的相互作用力，但 没有说明作用是通过什么途径发生的。历史上围绕电力的 传递问题有过长期的争论，一种观点是超距作用(库仑、安 培)；另一种观点是近距作用（法拉第、麦克斯韦）。近代 物理发展已证明近距作用的观点才是正确的。
电荷与电荷之间存在相互作用是通过电荷在其周围产 生的电场来实现的。任何电荷的周围都存在一种特殊的物 质，这种物质叫电场。，电场的基本特性是对处在场中的 电荷有力的作用。现代科学和技术的发展充分证明电场的 存在。
15
例2 在直角坐标系的原点 （0，0）及离原点1.0m的y轴上（0， 1）处分别放臵电荷量为q1= 1.0×10-9C和q2= -2.0×10-9C的点 电荷，求x轴上离原点为2.0m处P点场强（如图）。 y 解 q1 在 P 点所激发的 1m 场强为 j q1 q2
F31 i
2.24m E E2 2m
14
电偶极子是一个重要的物理模型，在研究电介质的极化、 电磁波的发射和吸收等问题时，都要用到这个模型。
在均匀外电场中，电偶极子所受 的合力为零，电偶极子在电场中 所受的力矩
M flsin qElsin
PE sin
M P E
f
l
+ P E
f
（ 2） x 0
x
o
P
x
x
31
例5 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘， 其电荷面密度为 . 求通过盘心且垂直盘面的轴线 上任意一点处的电场强度.
R
o
x
P
x
32
解
σ q / πR
2
dq 2 π rdr
由例4均匀带电圆环轴线上一点的电场
xdq dEx 4 πε0 ( x 2 r 2 )3 2
用矢量形式表示为：
E
1 3 2 2 4 π 0 ( r l / 4) 2 q
P
E
r
l/2
+
q
l/2
13
E
若
1 3 2 2 4 π 0 ( r l / 4) 2
P
r l
1 P E 4 π0 r3
电偶极子的场强不是决定于 q ，而是决定于 P 。这表明 电偶极矩是表征电偶极子属性的一个重要物理量。而且当距 离很大时，电偶极子的场强以 r 3衰减，比点电荷的场强衰减 迅速得多。
1
电荷1 场 实物
电场1 电场2
电荷2 质
物
静电场:相对于观察者静止的电荷所产生的场。
2
二、电场强度
试探电荷（检验电荷）必须满足的两个条件： 点电荷 两小 电荷足够小 1. 所带电量q0要足够小，以不至于影响原来的电场分布。
2. 其线度要足够小，以至于所得的结果能精确反映电场 各“点”的性质。
为叙述方便，在下面讨论中均用正电荷作试探电荷。
点电荷电场中某点的场强 E 的大小与场源电荷所带的电
e
点电荷的场是球对称的非均匀电场，位于场源电荷 q 所在点为球心的同一球面上的各点，场强的大小是相同的， 但各点场强方向不同，分别沿各点所在的球径。
9
（2）场强叠加原理和点电荷系的电场
设真空中存在几个电荷
q1 , q2 ,， , qn n F F1 F2 Fn Fi
P a
22
解
建立直角坐标系
dE
dEx
y
dE y
取线元 d x 带电 d q d x 1 dx dE 2 4 π0 r
将 d E 投影到坐标轴上
1
P a O
r
x
dx
2
x
1 dx d Ex cos 2 4 π0 r
1 dx d Ey sin 2 4 π0 r
式中 x、r、 都是变量,需进行积分变量代换.
23
由图可知
x a cot( π ) a cot d x a csc2 d
dE
dEx
y
P a
dE y
r a x
2 2
2
2
2
a (1 cot ) a 2 csc 2
r
1
2
O
x dx
x
由此得
E Ex i E y j Ez k
20
其矢量表示式为
场强的大小
E Ex i E y j
2 E Ex2 E y
场强的方向可用 E 与 x 轴的夹角 表示
arctan
Ey Ex
21
例3 求一均匀带电直线在P点的电场。
λx 2 π R dl 3 0 4πε0 r
qx 2 2 32 4πε0 ( x R )
dl
R
r
x
o
d l
x
θ
P
dE
d E dE x
dE
x
29
dq
y
当 dq 位臵发生变化时，它所激发的电场 d E
矢量构成了一个圆锥面。 由对称性
.
R
x
z
dE
E y Ez 0
Ey (cos1 cos 2 ) 4 π 0a
dE
dEx
y
P a
dE y
r
1
2
当直线长度 L
O
x dx
x
{
Ex 0
1 0
2
π
Ey 2 4 π 0a 2 π 0a
26
无限长均匀带电直线的场强
E 2 π 0a
无限长带电直导线附近某 点的场强 E 大小与该点离 a 带电直线的距离 成反比， 场强 的方向垂直于直线。 E 无限长均匀带电直线的场强分布具有轴对称性。
Fi
F E q0 F1 F2 Fn q0 E1 E2 En
q i 对 q0 的作用
i 1
q1 q2
q3
e1 e 2 r2 r3 e3
r1
P
q0
F3 F2 F1
10
q1 q2
q3
e1 e 2 r2 r3 e3
r1
P q0
E3 E2 E1
qi 1 E Ei e 2 i 4πε0 i ri i
点电荷系在空间任意一点所激发的总场强等于各个点 电荷单独存在时对该点所激发的场强的矢量和。这就是场 强叠加原理，是电场的基本性质之一。
11
例1 求电偶极子中垂线上的电场。 解 有两个大小相等的点电荷 + q 和 - q ， 当两者之间的距离比考察的场点到 它们的距离小得多时，此系统称为 电偶极子。
Q
P E 0
Q
P q
F E0 q
三、点电荷与点电荷系的场强
（1）点电荷的电场
F
F 1 q E er 2 q 4 π0 r
1 qq0 er 2 4 π0 r
q0
E
er r
场点
F
q
E
源点
E
+
r
r
7
E
1 q e 2 r 4 π0 r
d Ex cos d 4 π 0a
1 dx d Ex cos 2 4 π0 r
1 dx d Ey sin 2 4 π0 r
d Ey sin d 4 π 0a
24
将以上两式对整个带电细棒积分
dE
dEx
y
P a
dE y
r
1
2
O
2
x dx
27
例4 正电荷q均匀分布在半径为R的圆环上。 计算通过环心点O并垂直圆环平面的轴线上任一点P 处的电场强度。
R
x
o
P
x
x
28
解
q 2 πR
d q dl
E d E 0
l
1 dl dE 2 4πε0 r
由对称性
dl x E d Ex d E cosθ 2 l l 4 πε 0 r r
5
F 1.由 E 是否能说， E 与 F 成正比，与 q0成反比？ q0
2.一总电量为Q>0的金属球，在它附近P点产生的场强 为 E0。将一点电荷q>0引入P点，测得q实际受力 F 与
讨论
q之比为 F q ，是大于、小于、还是等于P点的 E 0
wk.baidu.com
根据场强叠加原理，P点的总场强为
E E1 E2 2.3 3.2i 1.6 j N/C 0.9i 1.6 j N/C 1.6 arctan 120 . 7 电场和x轴的夹角为
0.9
17
（3）连续分布电荷的电场
E E ( x, y , z )
电场是矢量场，若空间各点场强的大小和方向都相同， 则称为均匀电场或匀强电场。
4
电场的基本特性是对场中的电荷有力的作用，若将电 量为q的点电荷臵于场强为 E 的某点，则该点电荷所受 的电场力为： 点电荷
F qE
Q
q
F
场源电荷
q 0, 则F与E方向相同 q 0, 则F与E方向相反
x
(sin 2 sin 1 ) Ex cos d 4 π 0a 4 π 0a
1
(cos1 cos 2 ) Ey sin d 4 π 0a 4 π 0a
2 1
25
讨论 极限情况，由 Ex (sin 2 sin 1 ) 4 π 0a
把带电体看成是许多极小的连续分布的电荷元 dq 组成。
dl
电荷线分布 电荷面分布 电荷体分布
dq dl
dq dS
d q d V
dV
dS
18
每一个电荷元 d q 都当作点电荷来处理，而 电荷元 d q 在 P 点所激发的场强，按点电荷的场 强公式 1 dq
dE
4πε0 r
+
真空中点电荷场强分布
8
E
1 q e 2 r 4 π0 r
结论：
量 q 成正比，与该点到场源电荷的距离r的平方成反比；场强 的方向沿场源电荷与该点所在点的连线。 q 为正时， E 与 r方 q 为负时， 向相同， E 与 er方向相反， E 指向 q 。 E 背离 q ；
P
θ
E1 x
－9 1 . 0 10 9 E1 9.0 10 i N/ C 2.3i N/ C 2 2.0
16
q2在P点所激发的场强的大小为
E2 9.0 10
9
E2的矢量式为
1.0 2.0
2 2
2.0 10
－9 2
N/C 3.6 N/C
E2 3.6 cosi 3.6 sin j N/C 3.2i 1.6 j N/C
qx E 4 π 0 ( x 2 R 2 )3 2
30
qx E 4 π 0 ( x 2 R 2 )3 2
讨论 （1） x R
E 2 R 2 即在远离环心的地方，
带电环的场强可视为电 2 荷全部集中在环心处所 R 产生的场强。 2
o
q E 4 πε0 x 2
R
x
E0 0 dE （ 3） d x 0 2 x R 2
P
E
l
+
电偶极矩（电矩）
P ql
E
P
E
r
l/2
电矩是矢量，方向由负电荷沿偶 极子轴线指向正电荷。
1 q E E 2 2 4 π 0 (r l / 4) q E 2E cos
+
q
l/2
12
l/2 cos 2 2 E 2E cos (r l / 4)1/ 2 1 q l/2 2 E 2 2 1/ 2 2 2 4 π 0 (r l / 4) (r l / 4) P 1 ql E 4 π 0 (r 2 l 2 / 4)3 / 2
2
er
根据场强叠加原理,整个带电体在 P点激发的 场强为
1 dq E dE e 2 r 4πε0 r
dq
+ +
+ + + + +
+
+
+
er
r
P
dE
19
E
1 dq er 2 4 π0 r
计算时将上式在坐标系中进行分解，再对坐 标分量积分。 Ex d Ex
思考 试探电荷与点电荷有何不同？
3
电场中某一点的电场强度
F E q
A 2q FA 0
q0
2 FA
B
q0
FB
在电场某点处，场强的大小等于单位正电荷在该点所受的 电场力的大小，场强的方向与该单位正电荷在该点处所受 电场力的方向相同。
在SI中，场强单位：牛/库(NC-1) 一般来讲，空间不同点的场强的大小和方向都是不同 的，即电场强度是空间位臵的函数，
1.3 电场 电场强度
一、电场
库仑定律给出了两个静止点电荷间的相互作用力，但 没有说明作用是通过什么途径发生的。历史上围绕电力的 传递问题有过长期的争论，一种观点是超距作用(库仑、安 培)；另一种观点是近距作用（法拉第、麦克斯韦）。近代 物理发展已证明近距作用的观点才是正确的。
电荷与电荷之间存在相互作用是通过电荷在其周围产 生的电场来实现的。任何电荷的周围都存在一种特殊的物 质，这种物质叫电场。，电场的基本特性是对处在场中的 电荷有力的作用。现代科学和技术的发展充分证明电场的 存在。
15
例2 在直角坐标系的原点 （0，0）及离原点1.0m的y轴上（0， 1）处分别放臵电荷量为q1= 1.0×10-9C和q2= -2.0×10-9C的点 电荷，求x轴上离原点为2.0m处P点场强（如图）。 y 解 q1 在 P 点所激发的 1m 场强为 j q1 q2
F31 i
2.24m E E2 2m
14
电偶极子是一个重要的物理模型，在研究电介质的极化、 电磁波的发射和吸收等问题时，都要用到这个模型。
在均匀外电场中，电偶极子所受 的合力为零，电偶极子在电场中 所受的力矩
M flsin qElsin
PE sin
M P E
f
l
+ P E
f
（ 2） x 0
x
o
P
x
x
31
例5 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘， 其电荷面密度为 . 求通过盘心且垂直盘面的轴线 上任意一点处的电场强度.
R
o
x
P
x
32
解
σ q / πR
2
dq 2 π rdr
由例4均匀带电圆环轴线上一点的电场
xdq dEx 4 πε0 ( x 2 r 2 )3 2
用矢量形式表示为：
E
1 3 2 2 4 π 0 ( r l / 4) 2 q
P
E
r
l/2
+
q
l/2
13
E
若
1 3 2 2 4 π 0 ( r l / 4) 2
P
r l
1 P E 4 π0 r3
电偶极子的场强不是决定于 q ，而是决定于 P 。这表明 电偶极矩是表征电偶极子属性的一个重要物理量。而且当距 离很大时，电偶极子的场强以 r 3衰减，比点电荷的场强衰减 迅速得多。
1
电荷1 场 实物
电场1 电场2
电荷2 质
物
静电场:相对于观察者静止的电荷所产生的场。
2
二、电场强度
试探电荷（检验电荷）必须满足的两个条件： 点电荷 两小 电荷足够小 1. 所带电量q0要足够小，以不至于影响原来的电场分布。
2. 其线度要足够小，以至于所得的结果能精确反映电场 各“点”的性质。
为叙述方便，在下面讨论中均用正电荷作试探电荷。
点电荷电场中某点的场强 E 的大小与场源电荷所带的电
e
点电荷的场是球对称的非均匀电场，位于场源电荷 q 所在点为球心的同一球面上的各点，场强的大小是相同的， 但各点场强方向不同，分别沿各点所在的球径。
9
（2）场强叠加原理和点电荷系的电场
设真空中存在几个电荷
q1 , q2 ,， , qn n F F1 F2 Fn Fi
P a
22
解
建立直角坐标系
dE
dEx
y
dE y
取线元 d x 带电 d q d x 1 dx dE 2 4 π0 r
将 d E 投影到坐标轴上
1
P a O
r
x
dx
2
x
1 dx d Ex cos 2 4 π0 r
1 dx d Ey sin 2 4 π0 r
式中 x、r、 都是变量,需进行积分变量代换.
23
由图可知
x a cot( π ) a cot d x a csc2 d
dE
dEx
y
P a
dE y
r a x
2 2
2
2
2
a (1 cot ) a 2 csc 2
r
1
2
O
x dx
x
由此得