二次规划与非线性规划

2 1 2
x2
6
解
编写如下程序： h=[4,-4;-4,8]; g=[-6;-3]; A=[1,1;4,1]; b=[3;9]; [x,value]=quadprog(h,g,A,b,[],[],zeros(2, 1)) 求得
1.9500 x , Min f ( x ) 11.0250 1.0500
2．再建立M文件mycon．m定义非线性约束：
function [g,ceq]=mycon(x) g=[x(1)+x(2); 1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2); -x(1)*x(2)-10]; ceq=[];
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3．主程序youh3．m为:
x0=[-1;1]; A=[];b=[]; Aeq=[1 1];beq=[0]; vlb=[];vub=[]; [x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb, vub,'mycon') MATLAB(youh3)
1．写成标准形式：
2 x1 3x2 6 0 s.t. x1 4 x2 5 0 0 x1 0 x2
1 2 1 2 min f x1 2 x2 x1 x2 2 2
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2．先建立M-文件 fun3．m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…) fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关．
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例
1 2 1 2 min f x1 2 x2 x1 x2 2 2 2x1+3x2 6 s.t. x1+4x2 5 x1,x2 0
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3． 建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本 格式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) 输出极值点 M文件 迭代的初值 变量上下限 参数说明
1．先建立M文件fun．m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2); 2．再建立M文件mycon2．m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon2(x) g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7]; ceq=[ ];
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定义 把满足问题（1）中条件的解 X ( Rn ) 称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即 D X | g i X 0, h j X 0, X Rn 问题(1)可简记为 min f X ．


X D
9
五、非线性规划的基本解法
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实现方法是: 在点 X k 处，将 f X ， g i X , h j X 按泰勒级数展开并取 一阶近似，得到近似线性规划问题：
min f X f X
gi X gi X
hj X hj X
k
k
f X X X
min f ( x ) 2 x12 -4 x1 x2 4 x2 2 -6 x1-3x 2 x1 x 2 3 4 x1 x2 9 x1 , x2 0
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转化为matlab求解格式：
1 x1 4 4 min f ( x) 2 x - 4 x1 x2 4 x2 - 6 x1 - 3x2 x1 2 x2 4 8 1 1 x1 3 0 x1 s.t. x , x 4 1 2 9 0 2
二次规划与非线性规划
1
一、二次规划(Quadratic Program) 概念
二次规划: 带有二次目标函数和线性约束的最优化问题. 它是 最简单的约束非线性规划问题. 1. 标准形式
1 min q( x) xT Gx g T x, 2 s.t. aiT x bi , i E, aiT x bi , i I.
k T k
k T k i
g X X X 0
h X X X 0
k T k j
i 1,
j 1,
,m
,l ；
k
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六、Matlab求解非线性规划问题
标准型为： min F(X) s.t． AX b
Aeq X beq G(X) 0
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2、近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题中的目标函数 f X 和约束条件 gi X 0 (i 1,...,m); hj X 0 (j 1, , l ) 近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从 而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之， 把其符合原始条件的最优解作为解的近似． 每得到一个近似解，都从这点出发，重复以上步骤． 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解．
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3． 主程序fxx．m为: x0=[3;2．5]; VLB=[0 0];VUB=[5 10]; [x,fval,exitflag,output] =fmincon('fun',x0,[],[],[],[], VLB,VUB,'mycon2')
MATLAB(fxx(fun))
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3．再建立主程序youh2．m： x0=[1;1]; A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0]; VUB=[]; [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 4．运算结果为： x = 0．7647 1．0588 fval = -2．0294
Ceq(X)=0 VLB X VUB
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量。
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MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步 1． 首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);
2. 若 约 束 条 件 中 有 非 线 性 约 束 :G(X) 0 或 Ceq(X)=0, 则 建 立 M 文 件 nonlcon.m 定 义 函 数 G(X)与Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=… Ceq=…
4． 运算结果为： x = -1．2250 fval = 1．8951
1．2250
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例
min f X 2 x1 x2
2 s.t. g1 X 25 x12 x2 0 2 g 2 X 7 x12 x2 0
0 x1 5, 0 x2 10
二次规划 约束极小 （非线性规划） 达到目标问题

s.t. Ax≤b min F(X) s.t. G(X)≤0 min r s.t. F(x)-wr≤goal min max {Fi(x)}
x {F (x)} i
极小极大问题
s.t. G(x)≤0
4
[X,FVAL]=QUADPROG(H,g,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS) X 的返回值是向量 x ，FVAL 的返回值是目标函数在 X 处的值。 （具体细节可以参看在 Matlab 指令中运行 help quadprog 后的帮 助） 。 例 求解二次规划
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四、非线性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优化问题就叫做非线性规划问题． 一般形式:
m in f X
gi X 0 i 1,2,..., m; s.t. h j X 0 j 1,2,..., l. （1） n f , g ,h 其中 X x1 , x2 ,L , xn T R， i j是定义在 Rn 上的实值函数
(1)
其中 G 是 n n 的对称矩阵. E , I 分别对应等式约束和不 等式约束指标集合. g , x, and ai , i E I 都是 n 维向量
2
2．二次规划研究的意义
(1) 二次规划问题简单，便于求解.某些较复杂的非线性 规划问题可以转化为求解一系列二次规问题. (2) 实际应用广泛： 工作计划，时间调度，规模经济学，工程设计以及控制领 域，设施分配问题，选址问题，二次分配问题，微观经济学 的很多问题.化学工程建模.
MATLAB(youh2)
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例
2 f ( x) ex1 (4x12 2x2 4x1x2 2x2 1)
s.t.
x1+x2 0 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 –10 0
1．先建立M文件fun4．m定义目标函数:
function f=fun4(x); f=exp(x(1)) *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
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二、Matlab中求解二次规划
类 型
一元函数极小 无约束极小 线性规划
模 型 min F（x）s.t. x1<x<x2 min F(X) min c X s.t. AX≤b T T min 1 x Hx+g x
2
T
基本函数名 x=fminbnd(‘F’,x1,x2) X=fminunc(‘F’,X0) X=fminsearch(‘F’,X0) X=linprog(c,A,b) X=quadprog(H,g,A,b) X=fmincon(‘FG’,X0) X=fgoalattain(‘F’,x, goal,w) X=fminimax(‘FG’,x0)
SUTM外点法 1． 罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法） 2． 近似线性规划法
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1、罚函数法
罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问
题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最
优化方法去求解．这类方法称为序列无约束最小化方
法．简称为SUMT法． 其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点法．