17-18-1高数B1试卷A答案

2017～2018学年度第一学期

《高等数学(理工)B1》试卷（A 卷）

评阅标准及考核说明

适用年级：2017级理工类本科

适用专业: 计算机科学与技术、软件工程、网络工程班 考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷

3分，满分15分) 教师答题时间： 5 分钟3分，满分15分)

三、[三基类] [教师答题时间： 5 分钟]求下列极限（每小题5分，共10分）

1、321

12lim 28x x x →⎛⎫- ⎪--⎝

⎭ ． 【解】233221

1228lim lim 288x x x x x x x →→+-⎛⎫-= ⎪---⎝

⎭（2分） 2222

lim

3x x x →+=-12

=- （3分）

2、()2

20

cos 1lim

1cos x x t dt x

→+-⎰

【解】()40

2cos 1=lim

sin x x x x

→+原式（3分）

2cos1= （2分）

四、[三基类][教师答题时间： 7 分钟]求导数或微分（每小题5分，共15分） 1、已知32

tan

32

x y x -=+,求

x dy dx =.

【解】23232sec 3232dy x x dx x x '--⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪

⎪++⎝⎭⎝⎭()22

1232sec 3232x x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭

+（3分）

()

22

2

212sec 3sec 1202x dy dx

=-⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭+（2分） 2、设()y y x =由方程sin()7y x x y e +++=确定，求dy . 【解】 方程两边对x 求导，得

()()1cos 10y x y y e y ''++⋅++⋅=（2分） 得 ()

()

1cos cos y

x y y e x y ++'=-

++ （2分） ()

()

1cos cos y

x y dy dx e x y ++=-

++

（1分）

3、设函数()y y x =由()2

1ln 12

arctan x t y t t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩

确定，求22d y dx . 【解】22

1

111dy dy dt t t dx t dx

dt t -+===+（3分） 22

2

2111d y

t t dx

t t

+==+（2分） 五、[一般综合类][教师答题时间： 6 分钟]求下列积分（每小题6分，共12分） 1、arctan x xdx ⎰ 【解】2

22111=

arctan ()arctan (arctan )222xd x x x x d x =-⎰⎰

原式（2分） 2

2211arctan 22+1x x x dx x =-⎰（1分） 22111

arctan (1)22+1x x dx x =

--⎰（1分） 2111

arctan arctan 222

x x x x C =-++（2分） 2

、2

1

⎰

【解

21t x t =⇒=+（1分）

2

11

100212(1)11 t dt dt t t ==-++⎰⎰⎰（3分） []1

02ln(1)2(1ln 2)t t =-+=-（2分）

六、[一般综合类][教师答题时间： 6 分钟]求5

2

39()15

f x x x =++的凹凸区间及拐点．（本

题满分8分）

【解】2

13

3

23,22y x x y x -'''=+=+，令0y ''=，得1x =-．（1分）

0x =时，y ''不存在 （1分）

1,0-把区间(),-∞+∞分为(,1),(1,0),(0,)-∞--+∞． （1分） (),()f x f x ''在以上区间的变化如下表： （4分）

故点()11,,0,15⎛⎫

- ⎪⎝

⎭为拐点． （1分）

七、[综合类][教师答题时间： 3 分钟]求曲线2y x =与直线23y x =+轴所围成的平面图形的面积.（共7分)

【解】联立方程组2

23

y x y x ⎧=⎨=+⎩，解得121,3x x =-=（3分）

所求面积为

()3

2

1

32

233

x x dx -+-=⎰（4分） 八、[一般综合类][教师答题时间： 6 分钟] 求下列微分方程的解（每小题6分，共12分）

1、求微分方程y x

y x y

'=+的通解. 【解】令,y u x =

则dy du u x dx dx

=+ （2分） 原方程化为 1du x

dx u

= 分离变量，积分可得21

ln 2

u x C =+（3分）

即 222(ln )y x x C =+ （1分） 2、求微分方程0

430,6,10x x y y y y

y ==''''

-+===的特解.

【解】特征方程为2430r r -+=，则131,3r r ==，（2分） 故原方程的通解为312x x y C e C e =+（1分） 由0

6,10x x y

y =='

==得124,2C C ==（2分）

故原方程的特解为 342x x y e e =+（1分）

九、（共6分)[综合类][教师答题时间： 3 分钟]

设函数(),()C[,](0)f x g x a b a b ∈<<，在(,)a b 内可微，且()()0f a f b ==，证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()g()()()0f f g ξξξξ''+=.

【证明】设()()()F x g x f x =在[,]a b 上满足Rolle 定理条件，有

()()0,,F a b ξξ'=∈ （4分）

即

()()()()0f g f g ξξξξ''+= （2分）