113导数的概念及其几何意义
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变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x而言的, 就是函数 f(x) 的导函数 f ?(x) 。
（3）函数f(x) 在点x0处的导数 f ?(x0 )就是导函数 f ?(x) 在x=x 0处的函数值，即 f ?(x0) ? f ?(x) |x? x0。这也是 求函数在点 x0处的导数的方法之一。
2g ?
1
g(? t)
?t
2
(1)将 Δ t=0.1 代入上式，得 : __
v ? 2.05g ? 20.5m / s.
O s(2)
s(2+ ? t) ? s
(2)当? t ? 0,2 ? ? t ? 2,
__
从而平均速度 v 的极限为：
v
?
__
lim v
?
lim
?s
?
2g
?
20m
/
s.
s
?t? 0
? lim
?x? 0
?x
y = x 2 +1
2? x ? (? x)2
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? 2.
?x? 0
?x
因此,切线方程为 y-2=2(x-1),
即y=2x.
?y
P
M
?x
1j
x
-1 O 1
曲线在点P（xo，yo）处的切线方程如何表示？
切线方程为 y? f (x0) ? f ?(x0)(x ? x0).
小结:
约以5 0C/H的速度上升。
导数的定义:
从函数y=f(x) 在x=x 0处的瞬时变化率是:
? 例4、求函数y=3x 2在x=1处的导数.
? 求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量 Δy=f(x 0+Δx) -f(x 0)； (2)求平均变化率；
（3）求瞬时变化率，即极限。
思考：函数f（x）的平均变化率的几何意义是
f
'
(x0)
?
lim
?x? 0
?y ?x
?
lim
?x? 0
f
(x0
?
?x) ?x
?
f (x0)
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ;
②切线斜率的本质——函数在x=x 0处的导数.
要注意,曲线在某点处的切线:
1) 与该点的位置有关;
2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在
例6:求经过点 P(2,0) 且与曲线 y= —1x— 的切线方程 .
例7、已知抛物线y=2x 2+1 ，求抛物线上哪 一点处的切线的倾斜角为450？
函数导函数
由函数f(x) 在x=x 0处求导数的过程可以看到 ,当 时,f'(x 0) 是一个确定的数 .那么,当x变化时,便是x 的一个函数 ,我们叫它为 f(x) 的导函数 .即:
(1) 物体在时间区间 [2,2.1]
上的平均速度；
(2) 物体在t=2(s) 时的瞬时速度 .
（3）物体的初始速度。
分析:
?s
?
s(t0
?
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1 2
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wk.baidu.com
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解:
__
v
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1.1.2-3 导数的概念
及 其几何意义
复习： 1、函数f(x) 在[x1，x2]上的平均变化率 如何表示 ？
其几何意义怎样？
2、函数f(x) 在x=x o处的瞬时变化率 如何表示 ？ 它们有何关系？
应用：
例2、 物体作自由落体运动 ,运动方程为：s ? 1 gt 2 其中位移单位是 m,时间单位是 s,g=10m/s 2.求2：
线 Q
T 切线
P
?
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即
Δ x→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我
们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0 时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率.
y
?
P o
y= 割 f(Q 线 x) 切T
线
x
即:
k切线 ?
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点 x0处的变化率 f ?( x 0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x 0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y? f (x0) ? f ?(x0)(x ? x0).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无穷多个.
例5:求曲线y=f(x)=x 2+1在点P(1,2)处的切线方程 .
解: k ? lim f (x0 ? ? x) ? f (x0 )
?x? 0
?x
yQ
(1? ? x)2 ? 1? (1? 1)
直线的斜率，那么瞬时变化率的几何意义是什么？
看书P7——观察，并回答：
1、图中直线 PT、PPn分别是什么？ 2、随着点 Pn从P1、P2、P3、P4逐次向点P靠拢，割线 PPn逐渐向谁靠拢？ 3、割线PPn的斜率是什么？你能从问题 2中得出切线 PT的斜率吗？
导数的几何意义 :
y
y=f(x) 割
f ?(x) ? y?? lim ? y ? lim f (x ? ? x) ? f (x)
? x ? x? 0
? x? 0
?x
在不致发生混淆时， 导函数也简称导数．
思考:
“函数f(x) 在点x0处的导数”、“导函数”、“导 数” 之间有何区别与联系？ （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
?t? 0 ?t
应用：
? 例3 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原油的温度（单位： 0C）为
? f(x)=x 2-7x+15(0≤x≤8). 计算第2（h) 和第6（h） 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/h的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
（3）函数f(x) 在点x0处的导数 f ?(x0 )就是导函数 f ?(x) 在x=x 0处的函数值，即 f ?(x0) ? f ?(x) |x? x0。这也是 求函数在点 x0处的导数的方法之一。
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2
(1)将 Δ t=0.1 代入上式，得 : __
v ? 2.05g ? 20.5m / s.
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s(2+ ? t) ? s
(2)当? t ? 0,2 ? ? t ? 2,
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从而平均速度 v 的极限为：
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因此,切线方程为 y-2=2(x-1),
即y=2x.
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-1 O 1
曲线在点P（xo，yo）处的切线方程如何表示？
切线方程为 y? f (x0) ? f ?(x0)(x ? x0).
小结:
约以5 0C/H的速度上升。
导数的定义:
从函数y=f(x) 在x=x 0处的瞬时变化率是:
? 例4、求函数y=3x 2在x=1处的导数.
? 求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量 Δy=f(x 0+Δx) -f(x 0)； (2)求平均变化率；
（3）求瞬时变化率，即极限。
思考：函数f（x）的平均变化率的几何意义是
f
'
(x0)
?
lim
?x? 0
?y ?x
?
lim
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f
(x0
?
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f (x0)
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ;
②切线斜率的本质——函数在x=x 0处的导数.
要注意,曲线在某点处的切线:
1) 与该点的位置有关;
2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在
例6:求经过点 P(2,0) 且与曲线 y= —1x— 的切线方程 .
例7、已知抛物线y=2x 2+1 ，求抛物线上哪 一点处的切线的倾斜角为450？
函数导函数
由函数f(x) 在x=x 0处求导数的过程可以看到 ,当 时,f'(x 0) 是一个确定的数 .那么,当x变化时,便是x 的一个函数 ,我们叫它为 f(x) 的导函数 .即:
(1) 物体在时间区间 [2,2.1]
上的平均速度；
(2) 物体在t=2(s) 时的瞬时速度 .
（3）物体的初始速度。
分析:
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1.1.2-3 导数的概念
及 其几何意义
复习： 1、函数f(x) 在[x1，x2]上的平均变化率 如何表示 ？
其几何意义怎样？
2、函数f(x) 在x=x o处的瞬时变化率 如何表示 ？ 它们有何关系？
应用：
例2、 物体作自由落体运动 ,运动方程为：s ? 1 gt 2 其中位移单位是 m,时间单位是 s,g=10m/s 2.求2：
线 Q
T 切线
P
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x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即
Δ x→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我
们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0 时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率.
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?
P o
y= 割 f(Q 线 x) 切T
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x
即:
k切线 ?
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点 x0处的变化率 f ?( x 0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x 0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y? f (x0) ? f ?(x0)(x ? x0).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无穷多个.
例5:求曲线y=f(x)=x 2+1在点P(1,2)处的切线方程 .
解: k ? lim f (x0 ? ? x) ? f (x0 )
?x? 0
?x
yQ
(1? ? x)2 ? 1? (1? 1)
直线的斜率，那么瞬时变化率的几何意义是什么？
看书P7——观察，并回答：
1、图中直线 PT、PPn分别是什么？ 2、随着点 Pn从P1、P2、P3、P4逐次向点P靠拢，割线 PPn逐渐向谁靠拢？ 3、割线PPn的斜率是什么？你能从问题 2中得出切线 PT的斜率吗？
导数的几何意义 :
y
y=f(x) 割
f ?(x) ? y?? lim ? y ? lim f (x ? ? x) ? f (x)
? x ? x? 0
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在不致发生混淆时， 导函数也简称导数．
思考:
“函数f(x) 在点x0处的导数”、“导函数”、“导 数” 之间有何区别与联系？ （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
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应用：
? 例3 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原油的温度（单位： 0C）为
? f(x)=x 2-7x+15(0≤x≤8). 计算第2（h) 和第6（h） 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/h的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大