第十八章 矩形的性质及判定知识点梳理及练习

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第十八章 矩形的性质及判定知识点梳理及练习

【目标知识点】

1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 证明：

几何语言：

例1：如图，为估计池塘岸边A 、B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，分

别取OA 、OB 的中点M 、N ，测得MN=40m ，则A 、B 两点间的距离是（ ）

A ．20m

B ．80m

C ．120m

D ．160m 例2：三角形的三条中位线的长分别为3cm ，4cm ，5cm ，则原三角形的周长为（ ）

A ．6.5cm

B ．24cm

C ．26cm

D ．52cm

3. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

4. 矩形的性质：

①矩形具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

证明：

几何语言：

例3：矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（ ）

A ．56

B ．192

C ．20

D ．以上答案都不对

③矩形的对角线相等。

证明：

几何语言：

C

2

例4：矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果∠ABO=70°，那么∠AOB 的度数是（ ）

A ．40°

B ．55°

C ．60°

D ．70°

例5：如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点为O ，点E 为BC 边的中点，∠OCB=30°，如果OE=2，那么对角线BD 的长为（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

5. 矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形（根据定义）。

几何语言：

例6：如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．

②对角线相等的平行四边形是矩形。

证明：

几何语言：

例7：已知：如图，▱ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，∠OAB=∠OBA ．

求证：四边形ABCD 为矩形．

③有三个角是直角的四边形是矩形。

证明：

几何语言：

例8：已知：如图,□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．

6. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明：

几何语言：

例9：如图，E是矩形ABCD的对角线AC的中点，F是BC的中点，若AB=6，AD=8，则四边形CDEF的周长是（）

A．18 B．19 C．20 D．23

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【例题精讲】

1．如图，△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点分别是D 、E 、F ，已知AB=8，AC=10，则四边形ADEF 的周长是（ ）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．18

2．如图所示，已知P 、R 分别是四边形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么EF 的长（ ）

A ．逐渐增大

B ．逐渐变小

C ．不变

D ．先增大，后变小

3．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，过点O 作OE ⊥BD ，交AD 点E ，连接BE ，若∠ABE=20°，则∠AOE 的大小是（ ）

A ．10°

B ．15°

C ．20°

D ．30°

4．如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，且∠BOC=120°，则AC 的长

为 ．

5．如图，等边△ABC 的边长是4，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF=BC ，连接CD 和EF ．

（1）求证：DE=CF ；

（2）求EF 的长；

（3）求四边形DEFC 的面积．

6．矩形ABCD 的两边分别为AB=2厘米，BC=6厘米，求对角线BD 的长和矩形ABCD 的面积．

7．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，BF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AE=DF．

8．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E，求证：△ACE是等腰三角形．

9．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．

10．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．

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6 【目标检测题】

1．如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于

点F ，若BC=6，则DF 的长是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=7，AO=5，则四边形DEFG 的周长为（ ）

A ．10

B ．12

C ．14

D ．24

3．如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M ，N 分别为线段

BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN

的中点，则EF 长度的最大值为（ ）

A ．8

B ．6

C ．4

D ．5 4．矩形的一条对角线长8cm ，两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩

形的面积是（ ）

A ．8cm 2

B ．8cm 2

C ．16cm 2

D ．16cm 2

5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且DE ∥AC ，CE ∥BD ，若AC=2，则四边形OCED 的周长为（ ）

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ．已知∠EAD=3∠BAE ，求∠EAO 的度数（ ）

A ．22.5o

B ．67.5o

C ．45o

D ．60o

7．下列说法正确的是（ ）

A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形

B ．对角线互相平分的四边形是矩形

C ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

D ．对角互补的平行四边形是矩形

8．在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且OA=OC ，OB=OD ，如果再增加条件AC=BD ，则四边形一定是（ ）

A ．矩形

B ．正方形

C ．菱形

D ．平行四边形