曲线与方程 课件
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第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
新知导学 1．在建立了直角坐标系之后，平面内的点与它的坐标即 有序实数对之间就建立了一一对应关系，那么对应于符合某种 条件的一切点，它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束， 所以探求符合某种条件的点的轨迹问题，就变为探求这些点的 横坐标与纵坐标受怎样的约束条件的问题，两个变数x、y的方 程f(x，y)＝0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束，一 般由已知条件列出等式，再将点的坐标代入这个等式，就得到 x、y的方程，于是符合某种条件的点的集合，就变换到x、y的 二元方程的解的集合，当然要求两集合之间有一一对应的关系， 也就是：
第二章 圆锥曲线与方程
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4．下列方程各表示什么曲线，为什么？ (1)x2＋xy－x－y＝0； (2)(x－2)2＋ y2－4＝0. [解析] (1)原方程⇔(x＋y)(x－1)＝0⇔x＋y＝0或x－1＝0. 故原方程表示两条直线． (2)原方程等价于x－2＝0且y2－4＝0，即x＝2且y＝±2.故 原方程表示两点(2，－2)和(2,2)．
第二章 圆锥曲线与方程
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(1)曲线C上的点的坐标都是___方_程__f_(x_，__y_)＝__0___的解； (2)以_方__程__f(_x_，__y)_＝__0__的解为坐标的点都在曲线C上． 这样一来，一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点 的全体组成的曲线；二元方程所表示的x、y之间的关系，就是 以(x，y)为坐标的点所符合的条件．这样方程f(x，y)＝0就叫做 _曲__线__C_____ 的 方 程 ； 反 过 来 ， 曲 线方程Cf(x就，y叫)＝0做 ________________的曲线．
“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 根据曲线方程的概念“曲线C的方程是f(x，y)＝0”
包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)＝0的解”和
“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．
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曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
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曲线与方程 温故知新 1．在必修2中我们通过直线与圆的方程讨论过曲线与方程 的关系，请回顾复习直线与直线的方程、圆与圆的方程的关系， 回顾复习用待定系数法求直线、圆的方程的一般步骤． 思维导航 1．想一想曲线与方程是怎样的关系？
第二章 圆锥曲线与方程
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3．方程(x＋y－1) x－1＝0 所表示的曲线是________． [答案] 射线 x＋y－1＝0(x≥1)和直线 x＝1 [解析] 原方程等价于xx－＋1y－≥10＝，0， 或 x＝1. 即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
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2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( ) A．直线2x－y＝0 B．直线2x＋y＋3＝0 C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0 D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0 [答案] C [解析] ∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝ (2x－y)(2x＋y＋3)， ∴原方程表示两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何， 解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示曲线的_方__程_____； (2)通过曲线的_方__程____，研究曲线的性质．
第二章 圆锥曲线与方程
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牛刀小试
1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是
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在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关 系(1)和(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方 程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线 C上的所有点组成的点集，B是所有以方程f(x，y)＝0的实数解 为坐标的点组成的点集．则由关系(1)可知A⊆B，由关系(2)可 知B⊆A；同时具有关系(1)和(2)，就有A＝B.
第二章 圆锥曲线与方程
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曲线与方程的概念 如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x，y)＝0， 则以下说法正确的是( ) A．曲线 l 的方程是 F(x，y)＝0 B．方程 F(x，y)＝0 的曲线是 l C．坐标不满足方程 F(x，y)＝0 的点不在曲线 l 上 D．坐标满足方程 F(x，y)＝0 的点在曲线 l 上 [答案] C
第二章 圆锥曲线与方程
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2．根据曲线方程的意义，可以由两条曲线的方程，求出这 两条曲线的交点的坐标．
已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x，y)＝0，G(x，y) ＝0，则交点的坐标必须满足上面的两个方程．反之，如果(x0， y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0，y0)为坐标的点必定是两 条曲线的交点．因此，求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标，只要
Fx，y＝0， 解方程组_G_Байду номын сангаас_x，__y__＝__0_，_就可以得到．
第二章 圆锥曲线与方程
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3．坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成 满足某条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满 足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方__程_____的性质间接 地来研究曲线的性质，这就叫坐标法．
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新知导学 1．在建立了直角坐标系之后，平面内的点与它的坐标即 有序实数对之间就建立了一一对应关系，那么对应于符合某种 条件的一切点，它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束， 所以探求符合某种条件的点的轨迹问题，就变为探求这些点的 横坐标与纵坐标受怎样的约束条件的问题，两个变数x、y的方 程f(x，y)＝0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束，一 般由已知条件列出等式，再将点的坐标代入这个等式，就得到 x、y的方程，于是符合某种条件的点的集合，就变换到x、y的 二元方程的解的集合，当然要求两集合之间有一一对应的关系， 也就是：
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4．下列方程各表示什么曲线，为什么？ (1)x2＋xy－x－y＝0； (2)(x－2)2＋ y2－4＝0. [解析] (1)原方程⇔(x＋y)(x－1)＝0⇔x＋y＝0或x－1＝0. 故原方程表示两条直线． (2)原方程等价于x－2＝0且y2－4＝0，即x＝2且y＝±2.故 原方程表示两点(2，－2)和(2,2)．
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(1)曲线C上的点的坐标都是___方_程__f_(x_，__y_)＝__0___的解； (2)以_方__程__f(_x_，__y)_＝__0__的解为坐标的点都在曲线C上． 这样一来，一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点 的全体组成的曲线；二元方程所表示的x、y之间的关系，就是 以(x，y)为坐标的点所符合的条件．这样方程f(x，y)＝0就叫做 _曲__线__C_____ 的 方 程 ； 反 过 来 ， 曲 线方程Cf(x就，y叫)＝0做 ________________的曲线．
“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 根据曲线方程的概念“曲线C的方程是f(x，y)＝0”
包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)＝0的解”和
“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．
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曲线与方程
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曲线与方程 温故知新 1．在必修2中我们通过直线与圆的方程讨论过曲线与方程 的关系，请回顾复习直线与直线的方程、圆与圆的方程的关系， 回顾复习用待定系数法求直线、圆的方程的一般步骤． 思维导航 1．想一想曲线与方程是怎样的关系？
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3．方程(x＋y－1) x－1＝0 所表示的曲线是________． [答案] 射线 x＋y－1＝0(x≥1)和直线 x＝1 [解析] 原方程等价于xx－＋1y－≥10＝，0， 或 x＝1. 即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1.
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2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( ) A．直线2x－y＝0 B．直线2x＋y＋3＝0 C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0 D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0 [答案] C [解析] ∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝ (2x－y)(2x＋y＋3)， ∴原方程表示两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何， 解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示曲线的_方__程_____； (2)通过曲线的_方__程____，研究曲线的性质．
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1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是
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在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关 系(1)和(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方 程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线 C上的所有点组成的点集，B是所有以方程f(x，y)＝0的实数解 为坐标的点组成的点集．则由关系(1)可知A⊆B，由关系(2)可 知B⊆A；同时具有关系(1)和(2)，就有A＝B.
第二章 圆锥曲线与方程
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曲线与方程的概念 如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x，y)＝0， 则以下说法正确的是( ) A．曲线 l 的方程是 F(x，y)＝0 B．方程 F(x，y)＝0 的曲线是 l C．坐标不满足方程 F(x，y)＝0 的点不在曲线 l 上 D．坐标满足方程 F(x，y)＝0 的点在曲线 l 上 [答案] C
第二章 圆锥曲线与方程
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2．根据曲线方程的意义，可以由两条曲线的方程，求出这 两条曲线的交点的坐标．
已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x，y)＝0，G(x，y) ＝0，则交点的坐标必须满足上面的两个方程．反之，如果(x0， y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0，y0)为坐标的点必定是两 条曲线的交点．因此，求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标，只要
Fx，y＝0， 解方程组_G_Байду номын сангаас_x，__y__＝__0_，_就可以得到．
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3．坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成 满足某条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满 足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方__程_____的性质间接 地来研究曲线的性质，这就叫坐标法．