(完整版)抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析,推荐文档

y2 = 2px
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例 2】 过抛物线 y 2 2 pxp 0的焦点 F 作直线交抛物线于 Ax1, y1 , B x2 , y2 两点，求证：
（1） AB x1 x2 p
(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：○1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为
直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式： A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) 是抛物线上两点，则
p2 4
， y1 y2
p2 。
(2)
若 AB 是抛物线 y2
2 px( p 0) 的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为 α，则
AB
2P sin2
（α≠0）。
(3) 已知直线 AB 是过抛物线 y2 2 px( p 0) 焦点 F , 1 1 AF BF AB 2 AF BF AF BF AF BF p
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 k 2 | x1 x2 |
1 1 k2
|
y1 y2
|
【经典例题】
（1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其
离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美， 又生出多少华丽的篇章.
参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.
右
左
上
下
标 准方 程
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0)
x2 2 py( p 0)
焦 点位 置 焦 点坐 标 准 线方 程
范围
X正
( p , 0) 2
x p 2
x 0, y R
X负
( p , 0) 2
y1
p 2
(x1 x2 ) p
( y1 y2 ) p
Y轴
AF
y1
p 2
( y1 y2 ) p
焦点弦长
以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切
1
AB 的补充
A(x1, y1) B(x2 , y2 )
若
AB
的倾斜角为
，Байду номын сангаас
AB
2p sin2
x1x2
p2 4
若 AB 的倾斜角为 ，则 AB 2 p cos2
且 QH
OF
p
.作 MN⊥y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的
2
中位线， MN 1 OF PQ 1 PH 1 PF .故以
2
2
2
PF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则
分别是相离或相交的.
Y HQ P
NM
O F ( p ,0)
X
2
l:x=- p 2
Y
A1
A(x,y) 11
B1
F
B
(
x2,
y)
2
X
l
当
AB
与
x
轴不垂直时，设焦点弦
AB
的方程为：
y
k
x
p 2
.代入抛物线方程：
k2
x
p 2
2
2 px .化简得：
k 2 x2
p
k2 2
x
p2 k2 0 4
1
∵方程（1）之二根为
x1，x2，∴ x 1
x2
k2 4
.
3
11 11 1 1
（2） 1 1 2 AF BF p
【证明】（1）如图设抛物线的准线为 l ，作
AA1 l A1, BB1 l于B，1 则AF
AA1
x1
p
，
2
BF
BB1
x2
p
.两式相加即得：
2
AB x1 x2 p
（2）当 AB⊥x 轴时，有
AF BF p， 1 1 2 成立； AF BF p
抛物线及其性质
【考纲说明】
1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。
【知识梳理】
1．抛物线定义：平面内到一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
图形
参数 p 几何意义 开口方向
y1 y2 p2
1 1 AF BF AB 2 AF BF AF BF AF BF p
3．抛物线 y 2 2 px( p 0) 的几何性质：
(1)范围 因为 p>0，由方程可知 x≥0，所以抛物线在 y 轴的右侧， 当 x 的值增大时，| y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2
【例 1】P 为抛物线 y 2 2 px 上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 位置由 P 确定
【解析】如图，抛物线的焦点为
F
p 2
,
0
，准线是
l : x p .作 PH⊥ l 于 H，交 y 轴于 Q，那么 PF PH ， 2
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．
(3)顶点（0，0），离心率： e 1，焦点 F ( p , 0) ，准线 x p ，焦准距 p．
2
2
(4) 焦点弦：抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点弦 AB ， A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则| AB | x1 x2 p ．
x p 2
x 0, y R
Y正
(0, p ) 2
y p 2
y 0, x R
Y负
(0, p ) 2
y p 2
y 0, x R
对 称轴 顶 点坐 标
离心率 通径 焦半径 A(x1, y1)
焦点弦长 AB
X轴
AF
x1
p 2
(x1 x2 ) p
X轴
Y轴
（0,0）
AF
x1
p 2
e 1
2p
AF
弦长|AB|=x1+x2+p,当 x1=x2 时，通径最短为 2p。
p 4．焦点弦的相关性质：焦点弦 AB ， A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ，焦点 F ( 2 , 0)
(1)
若 AB 是抛物线 y2
2 px( p 0) 的焦点弦（过焦点的弦），且 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则： x1x2
x1 x2 p
AF
BF
AA1
BB1
x1
p 2
x2
p 2
x1x2
p 2
x1
x2
p2 4
p2 4
x1 x2 p
p 2
x1
x2
p2 4
x1 x2 p
p 2
x1
x2
p
2
.
p
故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直，恒有 1 1 2 成立. AF BF p