归纳法原理与反归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法

数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明．

定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法）

证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1．

设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈'

所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．

下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证

6

)

12)(1(2

12

2

2

++=

+++n n n n

证明 (1)当n =1时，有

16

)

112()11(11

2

=+⨯++⨯=

所以n =1，公式正确．

(2)假设当k =n 时，公式正确，即

6

)

12)(1(2

12

2

2

++=

+++n n n n

那么当k =n ＋１时，有

=+++++=+++++2

22

22

2

2

2

)

1()2

1()

1(2

1n n n n

=++++2

)

1(6

)

12)(1(n n n n

=++++6

)

1(6)12)(1(2

n n n n

=++++6

)]

1(6)12()[1(n n n n

=+++6

)

672)(1(2

n n

n

=+++6)

32)(2)(1(n n n

=+++++6

)

1)1(2)(1)1)((1(n n n

所以公式对n +1也正确．

在利用数学归纳法证明某些命题时，证明的过程往往归纳到n -1或n -2，而不仅仅是n -1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第二数学归纳法．在叙述第二归纳法以前，我们先证明几个与自然数有关的命题．

命题１ 若b a >，则c b c a +>+． 证明 因为b a > 所以 k b a +=

k c b c k b c a ++=++=+)(

所以 c b c a +>+

命题２ １是自然数中最小的一个． 证明 若1≠a ，则a 有前元b ，所以

.)1(1,>+=='a b a a b

命题3 若a b >，则1+≥a b ．

（即数a 与a ＋１是邻接的两个数，中间没有其他自然数，不存在b ，使得a b a >>+1．）

证明 若a b >,则k a b +=．

因为1≥k ，所以1+≥+a k a ，即1+≥a b ．

由上述有关自然数大小的命题，我们得出下面定理，有时也称为最小数原理．

定理1.20 自然数的任何非空集合Ａ含有一个最小数，即存在一个数A a ∈，使得对集合Ａ中任意数b ，均有a b ≥．

证明 设M 是这样的集合：

对于M 中任意元素M m ∈，对A 中任意元素a ，均有

m a ≥ 则M 是非空集合．

因为M ∈1，由归纳公理(4)知，一定存在一个元素M m ∈． 但M m ∉'，即M m ∉+1，

否则由M m M m ∈'⇒∈得Ｍ＝Ｎ，这显然不可能．

现在我们证明 A m ∈．因为若

A m ∉，

则Ａ中任意元素m a >

1+≥m a

所以M m ∈+1，与M m ∉+1矛盾，所以m 即为Ａ中最小元素．

上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第二数学归纳法．（第二数学归纳法）

定理1.21 对于一个与自然数有关的命题Ｔ，若 (1)当n =１时命题Ｔ正确；

(2)假设命题T 对k n <正确，就能推出命题T 对k n =正确． 则命题T 对一切自然数正确．

证明 如果命题Ｔ不是对所有自然数都成立，那么使命题不成立的自然数集合Ｍ就是非空集合，由定理1.20，Ｍ中含有一个最小数k ，且1>k （∵k =1命题正确），所以对一切k n <,命题T 成立，又由(2)推出命题T 对k 正确．结论矛盾．

下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法而不能应用第一归纳法解题的例子．

例２ 已知数列 n a a a a a 2101,,-，有

2123---=n n n a a a 且 2,2

301==

-a a

求证12+=n

n a ．

证明 对n =1，有122

322323101+'=⨯-⨯=-=a a a

所以命题对n =1正确．

假设命题对k n <正确，则

=+-+=-=----)12

(2)12

(3232

1

21k k k k k a a a

12

22

32

31

1

+=--+∙--k

k k

所以命题对n =k 正确．

由第二数学归纳法本题得证．

例３ 已知任意自然数N n ∈均有

2

1

1

3

}{∑∑

===n

i i n

i i

a a （这里0>i a ）

求证n a n = 证明

(1)当n =1时，由2

13

1a a =，得11=a 所以命题对n =1正确．

(2)假设对k n ≤命题正确，这时

k a a a k ===,,2,121 ，

当n =k +1时，

3

11

2

311

31

13

)

(+=+=+=+=+=

∑∑

∑

k k

i i k k

i i k i i

a a a a a

(1)

但是

=+==+=+=+=∑∑∑

2

11

11

2

1

13

)

()

(k k

i i k i i k i i

a a a a

2

111

1

1

2

)(2)

(+++==++∑∑k k k i i k

i i a a a a

(2)

又因为归纳假设对k n ≤命题正确，所以

k a a a k ===,,2,121

所以

2

)

1(1

+=

∑

=k k a k

i i

由(1)和(2)式得