归纳法原理与反归纳法

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数学证明中的归纳法原理

数学证明中的归纳法原理

数学证明中的归纳法原理数学证明是数学学科中最重要的一环,它不仅需要严密的逻辑推理,还需要运用各种数学方法和原理。

在众多证明方法中,归纳法是一种常用且有效的方法。

归纳法原理是数学证明中的重要工具,它可以帮助我们证明一类问题的通用性质。

本文将探讨数学证明中的归纳法原理,并分析其应用。

归纳法原理的基本思想是:首先证明当n等于某个特定值时命题成立,然后假设当n=k时命题成立,再证明当n=k+1时命题也成立。

这样就建立起了一个递推的关系,从而可以推导出当n为任意正整数时命题均成立。

归纳法的思路类似于搭积木,我们首先从一个基础的积木开始,然后逐渐添加更多的积木,最终构建出一个完整的结构。

在数学证明中,我们首先证明了当n等于某个特定值时命题成立,相当于搭建了一个基础的积木。

然后通过归纳假设,假设当n=k时命题成立,相当于在这个基础上添加了一个积木。

最后,通过证明当n=k+1时命题也成立,相当于再添加了一个积木。

这样,我们就能够逐步构建出一个完整的证明过程。

归纳法的应用非常广泛,几乎可以用于证明任何与正整数相关的命题。

例如,我们可以使用归纳法证明1+2+3+...+n的等差数列和公式。

首先,当n=1时,等差数列和为1,命题成立。

然后,假设当n=k时等差数列和的公式成立,即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

我们需要证明当n=k+1时等差数列和的公式也成立。

根据等差数列的性质,我们可以将1+2+3+...+k+(k+1)拆分为1+2+3+...+k与(k+1)两部分。

根据归纳假设,1+2+3+...+k=k(k+1)/2,所以1+2+3+...+k+(k+1)=(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。

因此,当n=k+1时等差数列和的公式也成立。

由此可见,归纳法可以帮助我们证明等差数列和的公式的通用性。

除了等差数列和公式,归纳法还可以应用于证明数列的递推关系、不等式的成立、图形的性质等等。

数学归纳法的逻辑基础

数学归纳法的逻辑基础

数学归纳法的逻辑基础数学归纳法是数学中一种非常重要的证明方法,它的逻辑基础可以追溯到数学的基本原理和逻辑规律。

在数学归纳法的证明过程中,我们通过推理和逻辑推断来证明一个命题在所有自然数上都成立。

本文将从逻辑基础的角度来探讨数学归纳法的原理和应用。

首先,我们来看一下数学归纳法的基本原理。

数学归纳法的核心思想是:如果我们能够证明一个命题在某个特定的自然数上成立,并且能够证明它在任意一个自然数上成立的话,那么我们就可以得出这个命题在所有自然数上都成立的结论。

这个过程可以用以下的逻辑推理来表示:1. 基础步骤:证明命题在某个特定的自然数上成立;2. 归纳步骤:假设命题在一个自然数上成立,然后证明它在下一个自然数上也成立;3. 综合步骤:由基础步骤和归纳步骤可以推导出命题在所有自然数上成立。

数学归纳法的逻辑基础可以通过这个逻辑推理过程来解释。

首先,在基础步骤中,我们需要证明命题在某个特定的自然数上成立。

这个步骤相当于我们在数学中常用的“边界条件”,它是我们证明命题的起点。

接下来是归纳步骤,我们假设命题在一个自然数上成立,并证明它在下一个自然数上也成立。

这个步骤相当于我们在数学中常用的“递推关系”,通过递推关系我们可以将命题从一个自然数推广到下一个自然数,进而推广到所有自然数。

最后是综合步骤,通过基础步骤和归纳步骤的推导,我们可以得出命题在所有自然数上都成立的结论。

这个步骤相当于我们在数学中常用的“推理”和“推导”,通过逻辑推理我们可以得出一个普遍的结论。

数学归纳法的逻辑基础使得它成为了解决许多数学问题的有效方法。

在数学中,我们经常遇到需要证明一个命题在所有自然数上成立的情况,而数学归纳法正是为这种情况提供了一种简单而有效的证明方法。

例如,我们可以利用数学归纳法证明自然数的加法结合律。

首先,在基础步骤中,我们证明加法在自然数1上成立,即1+1=2。

然后,在归纳步骤中,假设加法在一个自然数n上成立,我们证明它在下一个自然数n+1上也成立,即n+1+1=(n+1)+1。

数学归纳法及其应用

数学归纳法及其应用

数学归纳法及其应用发表时间:2019-01-23T16:43:27.747Z 来源:《教育学》2019年1月总第166期作者:折小妹[导读] 数学归纳法是数学证明的一种重要工具,它常用来证明与自然数有关的命题。

陕西省大柳塔第一小学719315摘要:数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。

本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析,并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。

关键词:数学归纳法数列不等式一、数学归纳法的概述1.归纳法与数学归纳法。

(1)归纳法。

①完全归纳法。

②不完全归纳法。

③典型归纳推理。

(2)数学归纳法。

数学归纳法是数学证明的一种重要工具,它常用来证明与自然数有关的命题。

它基于自然数的一个重要性质:任意一个自然数的集合,如果包含数1,并且假设包含数k,也一定包含k的后继数k+1,那么这个集合包含所有的自然数。

这一重要性质,为解决有限与无限的矛盾提供了理论依据。

也就是说,如果能证明:①当n=1时命题成立。

②假设当n=k时命题成立,有n=k+1时命题成立。

那么我们就能由n=1时命题成立,推出n=1+1=2时命题成立;由n=2时命题成立,推出n=2+1=3时命题也成立;如此继续下去,虽然我们没有对所有的自然数一一逐个加以验证,但根据自然数的重要性质,实质上已经对所有的自然数做了验证。

这样的证明方法叫作数学归纳法,可见数学归纳法是一种完全归纳法。

2.数学归纳法的基础。

严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后,意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。

递归推理的思想方法是指:它首先确定命题对于第一个自然数是正确的,然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性,即如果一个命题对于第一个自然数是正确的,那么作为一种逻辑必然,它对于该数的后继数也是正确的。

3.数学归纳法的原理。

数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。

数学归纳法原理与应用例题和知识点总结

数学归纳法原理与应用例题和知识点总结

数学归纳法原理与应用例题和知识点总结数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的重要方法。

它不仅在数学领域中有着广泛的应用,对于培养逻辑思维和推理能力也具有重要意义。

一、数学归纳法的原理数学归纳法基于两个基本步骤:基础步骤:首先证明当 n = 1 时命题成立。

归纳步骤:假设当 n = k 时命题成立,证明当 n = k + 1 时命题也成立。

通过这两个步骤,就可以得出对于任意自然数 n,命题都成立的结论。

为什么通过这两个步骤就能证明命题对所有自然数都成立呢?我们可以这样理解:基础步骤证明了命题在起点(n = 1)时是正确的。

而归纳步骤则像是一个传递机制,假设在某个位置(n = k)命题成立,能够推出下一个位置(n = k + 1)命题也成立。

就像一排多米诺骨牌,只要第一块倒下(基础步骤),并且每一块倒下都能导致下一块倒下(归纳步骤),那么所有的骨牌都会倒下,即命题对于所有自然数都成立。

二、数学归纳法的应用例题例 1:证明 1 + 2 + 3 +… + n = n(n + 1) / 2 对任意自然数 n都成立。

证明:基础步骤:当 n = 1 时,左边= 1,右边= 1×(1 + 1) / 2 = 1,左边=右边,命题成立。

归纳步骤:假设当 n = k 时命题成立,即 1 + 2 + 3 +… + k =k(k + 1) / 2 。

当 n = k + 1 时,左边= 1 + 2 + 3 +… + k +(k + 1)= k(k + 1) / 2 +(k + 1)=(k + 1)(k / 2 + 1)=(k + 1)(k + 2) / 2右边=(k + 1)(k + 2) / 2 ,左边=右边,命题成立。

综上,1 + 2 + 3 +… + n = n(n + 1) / 2 对任意自然数 n 都成立。

例 2:证明对于任意自然数 n,n³ n 能被 3 整除。

证明:基础步骤:当 n = 1 时,n³ n = 1³ 1 = 0,能被 3 整除,命题成立。

数学归纳法原理:【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】

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数学归纳法原理(六种):【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌,如果都充分地靠近在一起(即留有适当间隔),那么只要推倒第一个,这一行骨牌都会倒塌;竖立的梯子,已知第一级属于可到达的范围,并且任何一级都能到达次一级,那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级;一串鞭炮一经点燃,就会炸个不停,直到炸完为止;……,日常生活中这样的事例还多着呢!数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题.若(I)命题P(1)成立;(Ⅱ)对所有的自然数k,若P(k)成立,推得P(k+1)也成立.由(I)、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立.我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明,运用数学归纳法原理证题的方法,是中学数学中的一个重要的方法,它是一种递推的方法,它与归纳法有着本质的不同.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法,用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律,但是,仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定,这就需要采用数学归纳法证明它的正确性.一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明,证明的步骤为:(I)验证当n取第1个值no时,命题P(no)成立,这一步称为初始验证步.(Ⅱ)假设当n=k(k∈N,后≥no)时命题P(k)成立,由此推得命题P(k+1)成立.这一步称为归纳论证步.(Ⅲ)下结论,根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定,对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立.这一步称为归纳断言步,为了运用好数学归纳法原理,下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍.运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第三步是递推的过程与结论.三步缺一不可.数学归纳法的其他几种形式还有:第二数学归纳法;跳跃数学归纳法;倒推数学归纳法(反向归纳法);分段数学归纳法二元有限数学归纳法;双向数学归纳法;跷跷板数学归纳法;同步数学归纳法等。

最新数学归纳法原理:【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】

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数学归纳法原理(六种):【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌,如果都充分地靠近在一起(即留有适当间隔),那么只要推倒第一个,这一行骨牌都会倒塌;竖立的梯子,已知第一级属于可到达的范围,并且任何一级都能到达次一级,那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级;一串鞭炮一经点燃,就会炸个不停,直到炸完为止;……,日常生活中这样的事例还多着呢!数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题.若(I)命题P(1)成立;(Ⅱ)对所有的自然数k,若P(k)成立,推得P(k+1)也成立.由(I)、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立.我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明,运用数学归纳法原理证题的方法,是中学数学中的一个重要的方法,它是一种递推的方法,它与归纳法有着本质的不同.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法,用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律,但是,仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定,这就需要采用数学归纳法证明它的正确性.一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明,证明的步骤为:(I)验证当n取第1个值no时,命题P(no)成立,这一步称为初始验证步.(Ⅱ)假设当n=k(k∈N,后≥no)时命题P(k)成立,由此推得命题P(k+1)成立.这一步称为归纳论证步.(Ⅲ)下结论,根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定,对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立.这一步称为归纳断言步,为了运用好数学归纳法原理,下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍.运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第三步是递推的过程与结论.三步缺一不可.数学归纳法的其他几种形式还有:第二数学归纳法;跳跃数学归纳法;倒推数学归纳法(反向归纳法);分段数学归纳法二元有限数学归纳法;双向数学归纳法;跷跷板数学归纳法;同步数学归纳法等。

第13讲数学归纳法

第13讲数学归纳法

第13讲数学归纳法本节主要内容有数学归纳法的原理,第二数学归纳法;数学归纳法的应用.通常那些直接或间接与自然数n有关的命题,可考虑运用数学归纳法来证明.一.数学归纳法的基本形式第一数学归纳法:设P(n)是关于正整数n的命题,若1°P(1)成立(奠基);2°假设P(k)成立,可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切正整数n都成立.如果P(n)定义在集合N-{ 0,1,2,…,r-1},则1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立”取代.第一数学归纳法有如下“变着”;跳跃数学归纳法:设P(n)是关于正整数n的命题,若1°P(1),P(2),…,P(l)成立;2°假设P(k)成立,可以推出P(k+l)成立,则P(n)对一切正整数n都成立.第二数学归纳法:设P(n)是关于正整数一的命题,若l°P(1)成立;2°假设n≤k(k为任意正整数)时P(n)(1≤n≤k)成立,可以推出P(k+1))成立,则P(n)对一切自然数n都成立.以上每种形式的数学归纳法都由两步组成:“奠基”和“归纳”,两步缺一不可.在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提.二.数学归纳法证明技巧1.“起点前移”或“起点后移”:有些关于自然数n的命题P(n),验证P(1)比较困难,或者P(1),P(2),…,P(p -1)不能统一到“归纳”的过程中去,这时可考虑到将起点前移至P(0)(如果有意义),或将起点后移至P(r)(这时P(1),P(2),…,P(r-1)应另行证明).2.加大“跨度”:对于定义在M={n0,n0+r,n0+2r,…,n0+mr,…}( n0,r,m∈N*)上的命题P(n),在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法,即第一步验证P(n0),第二步假设P(k)(k∈M)成立,推出P(k+r)成立.3.加强命题:有些不易直接用数学归纳法证明的命题,通过加强命题后反而可能用数学归纳法证明比较方便.加强命题通常有两种方法:一是将命题一般化,二是加强结论.一个命题的结论“加强”到何种程度为宜,只有抓住命题的特点,细心探索,大胆猜测,才可能找到适宜的解决方案.本节主要内容有数学归纳法的原理,第二数学归纳法;数学归纳法的应用A类例题例1n个半圆的圆心在同一直线上,这n个半圆每两个都相交,且都在l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?解设这些半圆最多互相分成f(n)=段圆弧,则f(1)=1,f(2)=4=22, f(3)=9=33,猜想:f(n)=n2, 用数学归纳法证明如下:1°当n=1时,猜想显然成立2°假设n=k时,猜想正确,即f(k)=k2,则当n=k+1时,我们作出第k+l圆,它与前k个半圆均相交,最多新增k个交点,第k+1个半圆自身被分成了k+1段弧,同时前k个半圆又各多分出l段弧,故有f(k+1)= f(k)+k+k+1=k2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时,猜想也正确.所以对一切正整数n,f(n)=n2.例2已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ (1)证明;,21N n a a n n ∈<<+(2)求数列}{n a 的通项公式a n . (2005年全国高考江西卷)分析 本题考查数列的基础知识,考查运算能力和推理能力.第(1)问是证明递推关系,联想到用数学归纳法,第(2)问是计算题,也必须通过递推关系进行分析求解. 解 (1)方法一 用数学归纳法证明:1°当n=1时,,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ,命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 ).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知,对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二:用数学归纳法证明:1°当n=1时,,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ; 2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立,令)4(21)(x x x f -=,)(x f 在[0,2]上单调递增,所以由假设 有:),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立,所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 (2)下面来求数列的通项:],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =-1,所以1212)21(22,)21(---=+=-=nnn n n b a b 即.说明 数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的步骤.情景再现1.求证对任何正整数n,方程x 2+y 2=z n 都有整数解.2. 已知{ a n }是由非负整数组成的数列,满足a 1=0,a 2=3,a n+1· a n =(a n +2)(a n -2 +2) (1)求a 3;(2)证明a n =a n -2+2,n=3,4,5,…;(3)求{ a n }的通项公式及其前n 项和S n .B 类例题例3.试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n >7,n ∈N)分的邮资. 证明 1°当n=8时,结论显然成立.2°假设当n=k(k >7,k ∈N)时命题成立.若这k 分邮资全用3分票支付,则至少有3张,将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资; 若这k 分邮资中至少有一张5分票,只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资. 故当n=k+1时命题也成立.综上,对n >7的任何自然数命题都成立.说明 上述证明的关键是如何从归纳假设过渡到P(k+1),这里采用了分类讨论的方法.本例也可以运用跳跃数学归纳法来证明.另证1 °当n=8,9,10时,由8=3+5,9=3+3+3,10=5+5知命题成立.2° 假设当n=k(k >7,k ∈N)时命题成立.则当n=k+3时,由1。

数学归纳法相关知识点总结

数学归纳法相关知识点总结

数学归纳法相关知识点总结数学归纳法是一种常用且重要的证明方法,广泛应用于数学和计算机科学等领域。

它是建立在自然数的基础上,通过确定基本情况成立和对于任意情况的假设进行推理,来证明任意情况成立的方法。

以下是与数学归纳法相关的知识点总结。

一、数学归纳法的基本思想1.1 证明基本情况成立:通过直接验证第一个情况是否成立来确保归纳法的开始。

1.2 假设第k个情况成立:假设前k个情况均成立,即假设第k个情况成立。

1.3 推导第k+1个情况成立:根据第k个情况的成立,推导第k+1个情况的成立。

1.4 利用数学归纳法原理:基于第一个情况成立、第k个情况成立能推导第k+1个情况成立,所以根据数学归纳法原理,可以得出所有情况均成立。

二、数学归纳法的应用场景2.1 整数证明:证明与整数相关的等式或不等式。

2.2 数列证明:证明数列的性质,如递推关系、通项公式等。

2.3 集合证明:证明集合的性质,如集合的元素个数等。

2.4 图论证明:证明与图论相关的问题,如图的染色问题、路径问题等。

三、数学归纳法常见误区及注意事项3.1 遗漏基本情况:在使用数学归纳法时,必须验证基本情况的成立,否则无法进行后续推导。

3.2 假设过强:假设第k个情况成立时,注意不要假设第k-1个情况也成立,否则可能导致推导错误。

3.3 步骤不清晰:数学归纳法需要严谨的逻辑推导,每一步的推导必须明确、清晰,不能存在模棱两可的推理。

3.4 漏掉递归关系:在推导第k+1个情况成立时,需要明确并合理利用第k个情况的假设,也即递归关系的应用。

四、数学归纳法的拓展应用4.1 强归纳法:相比于数学归纳法只假设前一个情况成立,强归纳法假设前k个情况均成立。

4.2 双重归纳法:在证明数学命题时,先对整数n归纳,再对其他相关数值归纳。

4.3 递归定义证明:对于递归定义的数列或集合,可以通过数学归纳法来证明其性质。

五、数学归纳法在计算机科学中的应用5.1 证明算法的正确性:通过数学归纳法来证明算法在各个情况下的正确性。

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1.5 归纳法原理与反归纳法数学归纳法是中学教学中经常使用的方法.中学教材中的数学归纳法是这样叙述的:如果一个命题与自然数有关,命题对n =1正确;若假设此命题对n -1正确,就能推出命题对n 也正确,则命题对所有自然数都正确.通俗的说法:命题对n =1正确,因而命题对n =2也正确,然后命题对n =3也正确,如此类推,命题对所有自然数都正确.对于中学生来说,这样形象地说明就足够了;但是毕竟自然数是无限的,因而上述描述是不够严格的,有了皮阿罗公理后,我们就能给出归纳法的严格证明.定理1.19 如果某个命题T,它的叙述含有自然数,如果命题T对n =1是正确的,而且假定如果命题T对n 的正确性就能推出命题T对n +1也正确,则命题T对一切自然数都成立.(第一数学归纳法)证明 设M是使所讨论的例题T正确的自然数集合,则 (1) M ∈1.设M n ∈,则命题T对n 正确,这时命题对n n '=+1也正确,即 (2) M n ∈'所以由归纳公理D,M含有所有自然数,即命题T对所有自然数都成立.下面我们给出一个应用数学归纳法的命题. 例1 求证6)12)(1(21222++=+++n n n n证明 (1)当n =1时,有16)112()11(112=+⨯++⨯=所以n =1,公式正确.(2)假设当k =n 时,公式正确,即6)12)(1(21222++=+++n n n n那么当k =n +1时,有=+++++=+++++22222222)1()21()1(21n n n n=++++2)1(6)12)(1(n n n n=++++6)1(6)12)(1(2n n n n=++++6)]1(6)12()[1(n n n n=+++6)672)(1(2n nn=+++6)32)(2)(1(n n n=+++++6)1)1(2)(1)1)((1(n n n所以公式对n +1也正确.在利用数学归纳法证明某些命题时,证明的过程往往归纳到n -1或n -2,而不仅仅是n -1,这时上述归纳法将失败,因而就有了第二数学归纳法.在叙述第二归纳法以前,我们先证明几个与自然数有关的命题.命题1 若b a >,则c b c a +>+. 证明 因为b a > 所以 k b a +=k c b c k b c a ++=++=+)(所以 c b c a +>+命题2 1是自然数中最小的一个. 证明 若1≠a ,则a 有前元b ,所以.)1(1,>+=='a b a a b命题3 若a b >,则1+≥a b .(即数a 与a +1是邻接的两个数,中间没有其他自然数,不存在b ,使得a b a >>+1.)证明 若a b >,则k a b +=.因为1≥k ,所以1+≥+a k a ,即1+≥a b .由上述有关自然数大小的命题,我们得出下面定理,有时也称为最小数原理.定理1.20 自然数的任何非空集合A含有一个最小数,即存在一个数A a ∈,使得对集合A中任意数b ,均有a b ≥.证明 设M 是这样的集合:对于M 中任意元素M m ∈,对A 中任意元素a ,均有m a ≥ 则M 是非空集合.因为M ∈1,由归纳公理(4)知,一定存在一个元素M m ∈. 但M m ∉',即M m ∉+1,否则由M m M m ∈'⇒∈得M=N,这显然不可能.现在我们证明 A m ∈.因为若A m ∉,则A中任意元素m a >1+≥m a所以M m ∈+1,与M m ∉+1矛盾,所以m 即为A中最小元素.上述定理也称为最小数原则,有的作者把它当成公理,用它也可以证明数学归纳法,下面我们给出所谓第二数学归纳法.(第二数学归纳法)定理1.21 对于一个与自然数有关的命题T,若 (1)当n =1时命题T正确;(2)假设命题T 对k n <正确,就能推出命题T 对k n =正确. 则命题T 对一切自然数正确.证明 如果命题T不是对所有自然数都成立,那么使命题不成立的自然数集合M就是非空集合,由定理1.20,M中含有一个最小数k ,且1>k (∵k =1命题正确),所以对一切k n <,命题T 成立,又由(2)推出命题T 对k 正确.结论矛盾.下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法而不能应用第一归纳法解题的例子.例2 已知数列 n a a a a a 2101,,-,有2123---=n n n a a a 且 2,2301==-a a求证12+=nn a .证明 对n =1,有122322323101+'=⨯-⨯=-=a a a所以命题对n =1正确.假设命题对k n <正确,则=+-+=-=----)12(2)12(3232121k k k k k a a a122232311+=--+∙--kk k所以命题对n =k 正确.由第二数学归纳法本题得证.例3 已知任意自然数N n ∈均有2113}{∑∑===ni i ni ia a (这里0>i a )求证n a n = 证明(1)当n =1时,由2131a a =,得11=a 所以命题对n =1正确.(2)假设对k n ≤命题正确,这时k a a a k ===,,2,121 ,当n =k +1时,31123113113)(+=+=+=+=+=∑∑∑k ki i k ki i k i ia a a a a(1)但是=+==+=+=+=∑∑∑211112113)()(k ki i k i i k i ia a a a2111112)(2)(+++==++∑∑k k k i i ki i a a a a(2)又因为归纳假设对k n ≤命题正确,所以k a a a k ===,,2,121所以2)1(1+=∑=k k a ki i由(1)和(2)式得2111312+=+++=∑k ki i k k a a a a消去1+k a ,得121)1(++++=k k a k k a解得k a k a k k -=+=++11(1舍去)所以命题对n =k +1也正确.上边的两个例子,实际上例2命题归结到n -1和n -2,而例3则需要归结到1,2,…k ,由此可见,第二数学归纳法的作用是不能由第一归纳法所替代的.现在我们继续讲数学归纳法.当然,归纳并一定从n =1开始,例如例2数列的例子,也可以从某数k 开始.数学归纳法还有许多变形,其中著名的有跳跃归纳法、双归纳法、反归纳法以及跷跷板归纳法等,下面我们就逐个介绍这些归纳法.跳跃归纳法 若一个命题T对自然数l ,2,1,都是正确的;如果由假定命题T对自然数k 正确,就能推出命题T对自然数l k +正确.则命题对一切自然数都正确.证明 因为任意自然数l r rq l n <≤+∙=0由于命题对一切l r <<0中的r 都正确,所以命题对 kl r l r l r l +++2,,都正确,因而对一切n 命题都正确.下面我们给出一个应用跳跃归纳法的一个例子.例4 求证用面值3分和5分的邮票可支付任何n (n ≥8)分邮资.证明 显然当n =8,n =9,n =10时,可用3分和5分邮票构成上面邮资(n =8时,用一个3分邮票和一个5分邮票,n =9时,用3个3分邮票,n =10时,用2个5分邮票).下面假定k =n 时命题正确,这时对于k =n +3,命题也正确,因为n 分可用3分与5分邮票构成,再加上一个3分邮票,就使3+n 分邮资可用3分与5分邮票构成.由跳跃归纳法知命题对一切n ≥8都成立.下面我们介绍双归纳法,所谓双归纳法是所设命题涉及两个独立的自然数对(m ,n ),而不是一个单独的自然数n .双归纳法 若命题T与两个独立的自然数对m 与n 有关, (1)若命题T对m =1与n =1是正确的;(2)若从命题T对自然数对(m ,n )正确就能推出该命题对自然数对(m +1,n )正确,和对自然数对(m ,n +1)也正确.则命题T对一切自然数对(m ,n )都正确.关于双归纳法的合理性证明我们不予说明,只给出一个例子. 例5 求证对任意自然数m 与n 均有nnm m >∙2证明(1)当1,1==n m 时,命题显然正确,即12,12111>>⨯(2)设命题对自然数对m 与n 正确,即nnm m >∙2这时nnnnnnm nm m m m )1()2(2222)1(+>=∙>∙=∙∙+即命题对数对(m +1,n )正确;另一方面mmmmmnm n m n n n)1()2(2222)1(+>=∙>∙=∙+即命题对数对(m ,n +1)也正确,由双归纳法知,命题对一切自然数对(m ,n )都成立.反归纳法 若一个与自然数有关的命题T,如果 (1)命题T对无穷多个自然数成立; (2)假设命题T对n =k 正确,就能推出命题T对n =k -1正确.则命题T对一切自然数都成立;上述归纳法称为反归纳法,它的合理性我们做如下简短说明:设M是使命题T不正确的自然数,如果M是非空集合,则M中存在最小数m ,使得命题T对k =m 不正确;由于命题对无穷多个自然数正确,所以存在一个m n >0,且命题T 对0n 正确;由于命题T 对m 不正确,所以命题对1+='m m 也不正确,否则由命题T 对1+='m m 正确就推出命题T 对m 正确.矛盾!这样,命题T对m +2也不正确,经过m n -0次递推后,可得命题T对0n 也不正确.这与已知矛盾,所以M是空集合.反归纳法又称倒推归纳法,法国数学家柯西(1789-1857)首次用它证明了n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值.例6 求证n 个正实数的算术平均值大于或等于这n 个数的几何平均值,即nn na a a na a a 2121≥+++证明 当n=2时,21212a a a a ≥+因此命题对n =2正确.当n =4时,443212432214321)4()2()2(a a a a a a a a a a a a +++≤+∙+≤因此命题对n =4正确同理可推出命题对n =23=8,n =24,…,n =2s …都正确(s 为任意自然数),所以命题对无穷多个自然数成立.设命题对n =k 正确,令1,121121-+++=+++=--k a a a s ka a a s k k kk则ks a a a s k k k 11211---++++=(容易证明上述是一个恒等式.) 由归纳假设命题对n =k 正确,所以112111211)(-----≥++++=k k k k kk s a a a ks a a a s所以2111---≥k k k a a a s即11211211---≥-+++k k k a a a k a a a命题对n =k -1也正确,由反归纳法原理知,命题对一切自然数成立. 由于上述不等式是著名不等式,我们再给出几种证明:前已证明,命题对n =2m 时正确,设n <2m ,令,,,,2211n n a b a b a b ===s na a a mb b b nn n =++====++ 21221这时我们有=+++<⨯=-mmmmmnn n bb b Sa a a bb b b 2221221221)2()(mmssn ns mm 22)2)2((=-+即nn s a a a < 21命题对n <2m 正确利用数学归纳法证明不妨设n 个数为n a a a ≤≤≤< 210,显然当n =1时命题正确. 设命题对k n =正确,令ka a a s kk +++=21则 kk k a a a s 21≥111111211+-+=++=++++=++++k s a s k a ks k a a a s kk k k k k k因为k k s a ≥+1,所以011≥+-+k s akk++-∙+=+-+=+++++++)1)1(11111111k s a S C S k s a S S kk kk k k kk kk k k k121111)(++++≥=-+≥k k k kk k k kk k ka a a a a S s a S S所以命题对n =k +1正确,由第一归纳法知,命题对一切自然数成立.另一个有趣的证明是由马克罗林给出的,我们知道,若保持s a a =+21和不变,以221a a +分别代替1a 和2a ,这时两个数221a a +的和仍然是s ,但两个数的积却增加了,即21221)2(a a a a ≥+实际上两个数的算术平均值大于几何平均值,只有当两个数相等时才有等号成立.现在我们变动诸数n a a a ,,21,但保持它们的和s a a a n =++ 21不变,这时乘积nn a a a 21必然在n a a a ==21时取极大值.因为若ji aa =,用2ji aa +分别代替i a 与j a 则s a a a n =+++ 21仍然不变,但它们的乘积n j i n ji ji a a a a a a a a a a a a212122>++却增加了.而当n a a a === 21时,na a a a a a nnn +++=2121所以n 个数的算术平均值大于等于几何平均值.下面我们给出应用上述不等式的例子.例7 在体积一定的圆柱形中,求其中表面积最小的一个(即在容积一定罐头中,求表面积最小的一个).解 设圆柱的高为x ,底圆半径为y ,体积为V=常数,表面积为S,则2xyV π=222y xy S ππ+=其中V为常数,欲求S的极小值.已知22222y xy xy y xy S πππππ++=+=,所以22232yxy xy yxy xy ππππππ∙∙≥++即2422322)3(Vyx S πππ=≥显然只有当22y xy xy πππ==时,S取最小值.即当x=2y 时,S值最小.例8 求证在所有具有相同面积的凸四边形中,正方形的周长最短. 证明 用abcd 表示四边形的四条边,ϕ为a 与b 的夹角,ϕ为c 与d 的夹角,如图1―1.用A表示四边形的面积,则)2(cos 2cos 2)1(sin sin 22222ϕϕϕϕcd dcab bacd ab A -+=-++=由(2)式得 ϕϕϕϕsin sin 8sin4sin 4162222222abcd dc b a A++=ϕϕϕϕϕcos cos 84cos 4)cos 2cos 2()(2222222222abcd dc b a cd ab d c ba-+=-=--+由(1)式得=--++222222)(16d c baA-++)cos cos sin )(sin (8442222ϕϕϕϕabcd dc baθcos 8442222abcd dc ba -+其中ϕϕθ+=再利用半角公式12cos2cos 2-=θθ,得=--++222222)(16d c baA=--+)12cos2)((84422222θabcd d c ba2cos16)(42θabcd cd ab -+所以2cos16)()(41622222222θabcd d c b a cd ab A ---+-+==2cos 16)]()(2)][()(2[222222222θ---+++--+-+d c b a cd ab d c b a cd ab=22cos 16])()][()()[(2222θabcd d c b a b a d c ---+--+=2cos 16))()()((2θabcd d c b a c d b a b d a c a b d c --++-++-++-++如令==+++p d c b a 2四边形周长,得2cos))()()((2cos16))()()((16162222θθabcd d p c p b p a p Aabcd d p c p b p a p A -----=-----=因为02cos2≥θabcd ,所以=-+-+-+-≤----≤42)4())()()((dp c p b p a p d p c p b p a p A44)2()424(p pp =-42)2(P A≤要使p 最小(A 为常数),只有当上式取等号时.即当d c b a ===, 且90,02cos2==θθ°,这样的四边形只能是正方形.最后,我们给出跷跷板归纳法.有两个与自然数有关的命题A n 与B n ,若 (1)A 1成立;(2)假设A k 成立,就推出B k 成立,假设B k 成立就推出A k+1成立. 则对一切自然数n , A n 与B n 都成立. A 1 B 1A 2B 2A kB kA k+1这里我们只给出一个例子说明上述归纳法. 例 已知2,1,1,1011≥+=+=<<-n a a a a a a n n求证a a n -<<111证明 令aa A k k -<11:,1:>k k a B(1)当n =1时,aaaa a -<--=+=111112所以A 1成立.(2)=++=+=a aa a a 11112aa aa aa a -<+=++<+++1111)1(1122所以A 2成立.设A k 成立,则1111111=+-=+->+=-a a a a a a a k k1>k a即Bk 成立.若Bk 成立,则aaaa a a a kk -<--=+<+=+11111121即A k+1成立.由跷跷板归纳法知,一切A n 和B n 都成立.练习1.5(1)用数学归纳法证明n n n 21321+=++++ .(2)求证N n n n n n n n∈-∙∙∙=+++),12(5312)()2)(1( .(3)已知1->x ,且2,,0≥∈≠n N n x ,求证nx x n+>+1)1(.。

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