第六讲 天体运动中的四大难点

能力提升课

第六讲 天体运动中的四大难点

热点一 近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题 (师生共研) 三种匀速圆周运动的参量比较

[典例1] (2019·山西大学附中模块诊断)同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )

A.v 1v 2＝r

R B ．v 1v 2＝⎝ ⎛⎭⎪

⎫R r

C.a 1a 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫r R 2 D ．a 1a 2

＝r R

解析：对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供做

匀速圆周运动所需向心力，得：G mM

r 2＝m v 2

r

，得

v ＝

GM

r ，则得

v 1v 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫R r ，A

错误，B 正确．因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a 1＝ω2

r ，a 2＝ω2

R 可得：a 1a 2

＝r

R ，D 正确，C 错误．

答案：BD

热点二 双星及多星模型 (自主学习)

1．模型特征 (1)多星系统的条件 ①各星彼此相距较近．

②各星绕同一圆心做匀速圆周运动． (2)多星系统的结构

由两星之间的万有引力提供，故运行所需向心力都由其余行星对

2－1.[双星模型] 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在万有引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过

程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3

k 2T B ．n 3k T C.

n 2k T

D ．

n k T

解析：如图所示，设两恒星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1和r 2.根

据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM 1M 2(r 1＋r 2)2

＝M 1(2πT )2r 1＝M 2(2πT )2

r 2，解得

G (M 1＋M 2)(r 1＋r 2)2＝(2πT )2·(r 1＋r 2)，即GM (r 1＋r 2)3

＝(2πT )2

①，当两星的总质量变为原来的k

倍，它们之间的距离变为原来的n 倍时，有GkM (nr )3＝(2πT ′

)2

②，联立①②两式可得T ′＝

n 3

k T ，故B 项正确．

答案：B

2－2.[三星模型] (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M ，并设两种系统的运动周期相同，则( )

A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同

B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πR

R

5GM

C ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝

312

5R

D ．三角形三星系统的线速度大小为1

2 5GM R

解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A 错误；三星系统中，对直线三星系统有G M 2R 2＋G M 2(2R )2

＝M 4π2

T 2R ，解得T ＝4πR

R

5GM ，B 正

确；对三角形三星系统根据万有引力定律可得2G M 2L 2 cos 30°＝M 4π2T 2·L

2cos 30°，

联立解得L ＝3125R ，C 正确；三角形三星系统的线速度大小为v ＝

2πr

T ＝2π(L

2cos 30°)

T ，代入解得v ＝36·3125·5GM

R ，D 错误． 答案：BC

热点三 卫星的变轨问题 (师生共研)

人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论．

1．变轨原理及过程

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上． (2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．一些物理量的定性分析

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .因在A 点加速，则v A ＞v 1，因在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .

(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B 点时加速度也相同．

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别

为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律a 3

T 2＝k 可知T 1＜T 2＜T 3.

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1＜E 2＜E 3. 3．卫星变轨的两种方式

一是改变提供的向心力(一般不采用这种方式)． 二是改变需要的向心力(通常采用这种方式)．

[典例2] (2016·北京卷)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )

A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同

B ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同

C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度

D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度

解析：卫星在轨道1上运行到P 点，经加速后才能在轨道2上运行，故A 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM

r 2，由此式可知B 正确、C 错；卫星在轨道2上的任何位置具有的速度大小相等，但方向不同，故D 错． 答案：B [易错提醒]

卫星做圆周运动的加速度要根据实际运动情况分析.v 2r 与GM

r 2相等时，卫星才可以做稳定的匀速圆周运动；v 2r ＞GM

r 2时，卫星将做离心运动．

3－1.[变轨运行参数分析] (多选)小行星绕恒星运动的同时，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动．则经过足够长的时间后，小行星运动的( )