偏微分方程的离散化方法研究

1、
一阶前差商
忽略截断误差 O ( x )
P Pi P P ( x x ) P ( x ) P ， i 1 x x x i x
2、
一阶后差商
忽略截断误差 O ( x )
P Pi 1 P P ( x ) P( x x ) P ， i x x x i x
3、网格类型 常规网格系统： （1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 （2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标 块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只 有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界， 点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统： （1）局部网格加密 （2）混合网格 （3）多边形网格
1、
二阶差商
将方程(*)正负相加,可得:
4 x P( x x) P ( x x) 2 P( x) x 2 P '' ( x) P ( 4 ) ( x) ......... 12
上式两端同除 x ,整理得:
2
P '' ( x )
P( x x) 2 P( x) P( x x) 2 O ( x ) 2 x
P
前差商 后差商 中心差商
x
函数 P(x+Δ x)利用 Talor 公式逼近导数
x 2 x 3 x 4 ( 4 ) P( x x) P( x) xP ( x) P ( x) P ( x) P ( x) (*) 2! 3! 4! P( x) xP ( x) O(x) (x / 2) 2 (x / 2) 3 x x P( x ) P( x) P ( x) P ( x) P ( x) 2 2 2! 3! x x P ( x) P ( x) O( ) 2 2
三对角矩阵形式
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P P 2 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 3 4 5 1 2 3 4 5
2、椭圆型方程： 二维不稳定渗流方程
2P 2P P x 2 y 2 t 采用：等距网格差分 （1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
2 2
x
， x
1 ( x1 x2 ) 2
u( x x1 , y , t ) u( x, y , t ) u( x, y , t ) u( x x 2 , y , t ) u u ， x1 x 2 x x x1 x x x1
3、Crank_Nicolson 差分格式
n n n n 1 n 1 n 1 Pi ,nj1 Pi ,nj 1 Pi 1, j 2 Pi , j Pi 1, j Pi 1, j 2 Pi , j Pi 1, j ( ) 2 2 2 x x t
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建， 将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：
n n n Pi 1, j 2 P i, j P i 1, j
x 2

Pi ,nj 1 2 Pi ,nj Pi ,nj 1 y 2

Pi ,nj1 Pi ,nj t
n n n n n n Pi ,nj1 Pi ,nj ( Pi 2 P P ) ( P 2 P P 1, j i, j i 1, j i , j 1 i, j i , j 1 )

t
x
2
，
t
y
2
，截断误差： O ( t x 2 y 2 )
该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，用到（i，j） ， （i+1，j） ， （i-1， j） ， （i，j+1） ， （i，j-1）五个点。 —显式：只有一个方程，1 个未知数，简单，精度较差，时间步长受到严格限制， 基本不用。
2 2
u k x x
k
x
x1 2
u( x x1 , y , t ) u( x, y , t ) u ( x , y , t ) u ( x x 2 , y , t ) k x2 x x1 x2 2 x
Δx
Δ x1
Δ x2
三、有限差分方程的建立
2P P 1、抛物型方程：一维不稳定渗流方程： 2 x t （1）显示差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向前差商和关于 x 的二阶差商，在 点（i，n）的差分方程。
n n n Pi Pi n 1 Pi n 1 2P i P i 1 x 2 t
n n Pi n 1 (1 2 ) Pi n ( Pi 1 P i 1 ) ，
整理： P
n 1 i 1, j
n 1 n 1 n 1 n 1 其一般形式是： ci , j Pi ,nj11 a i , j Pi 1, j ei , j Pi , j bi , j Pi 1 d i , j P i . j 1 f i , j （形成五对
角矩阵）
五对角矩阵形式
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 2 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 3 4 5 1 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
n 1 Pi ,nj11 Pi 1, j ( 4
1

n 1 n ) Pi ,nj1 Pi P 1, j i , j 1
1

Pi ,nj
该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，也要用到（i，j） ， （i+1，j） ， （i-1，j） ， （i，j+1） ， （i，j-1）五个点，但时刻不同。 —隐式：只有一个方程，5 个未知数，稳定，广泛使用。
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
n 1 n 1 n 1 Pi Pi Pi n 1 Pi n 1 2P i 1 2 x t n 1 n 1 n (1 2 ) Pi n 1 ( Pi 1 P i 1 ) P i
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段，
在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步
长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pi n ，为了求得第 n+1 时刻（下 步时间）的值 Pi n 1 ，必须解一个线性代数方程组。即：要想求出 Pi n 1 值，需用 到第 n 时刻的 P 值，也要用到第 n+1 时刻的 P 值。这种差分格式是隐式差分格 式。在隐式差分格式中：在点（i，n+1） ，用到（i-1，n+1） 、 （i+1，n+1） 、 （i，n） 三点。在隐式差分格式中：只有一个方程，2~3 个未知数，但稳定，精度好，广 泛使用。 以上方程的一般形式： ci Pi 1 a i Pi bi Pi 1 d i ，形成三对角矩阵。
偏微分方程的 离散化方法
一、离散化的概念
油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微
分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。
目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分 法等。 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的， 并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的 均质的问题——非线性问题线性化。 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计 算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变 差些。 微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化
y
x
无效网格 有效网格
点中心Hale Waihona Puke Baidu格
块中心网格
z
x y
局部网格加密
模拟区网格图（井位、边界、断层）
五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图
五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图
z
r
混合网格
二、有限差分法----导数的差商逼近
P P( x x ) P( x ) lim x x0 x P P( x ) P( x x ) lim x x0 x P P( x x ) P( x x ) lim x x0 2x
（2）隐式差分：在点（i，j，n+1）的差分方程（图示）
n 1 n 1 n 1 Pi 2 P P 1, j i, j i 1, j
x
2

Pi ,nj11 2 Pi ,nj1 Pi ,nj11 y
2

Pi ,nj1 Pi ,nj t
若取正方形网格：则： x y
3、
一阶中心差商
2 O ( x ) 忽略截断误差
P Pi 1 P P ( x x ) P ( x x ) P ， i 1 x 2 x x i 2x
P Pi 1 / 2 P P ( x x / 2) P ( x x / 2) P ， i 1 / 2 忽略截断误差 O (( x / 2) 2 ) x x x i x
如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三
维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。 2、 等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是 相等的，反之称为不等距网格。
t 2 ，截断误差： O ( t x ) x 2
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pi n ，就可以求得第 n+1 时刻（下步时间）的值 Pi n 1 。因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定， 就可以依次求得以后各时间的 P 值。 这种差分格式是显式差分格式。 在显式差分 格式中：只有一个未知数 Pi n 1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间 步长受到严格限制，基本不用。
2 O ( x ) 忽略二阶截断误差
Pi 1 2 Pi Pi 1 2 P P( x x ) 2 P( x ) P( x x ) 2 P ， (用节点位置) 2 2 2 2 x i x x x
1、
一种常用二阶差商处理方法
k x x u u k k x x x 1 x x x2